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第七节高阶偏导数

高阶偏导数

求混合偏导数与求导顺序无关的定理本节关键概念和理论1多元函数的高阶导数与一元函数的情形类似.

一般说来,在区域内,函数z=f(x,y)的偏导数仍是变量x,y

的多元函数,如果偏导数的二阶偏导数.依此类推,可定义多元函数的更高阶的导数.仍可偏导,则它们的偏导数就是原来函数高阶偏导数2

一般地,若函数f(X)的m－1阶偏导数仍可偏导,则称其偏导数为原来函数的m

阶偏导数.二阶和二阶以上的偏导数均称为高阶偏导数,其中,关于不同变量的高阶导数,称为混合偏导数.3例例4高阶偏导数还可使用下列记号二元函数的二阶偏导数共22=4项5例例6例例7例例8例例共23=8项.9求高阶导数与求导顺序有关10例求的二阶偏导数.先求一阶偏导数：再求二阶偏导数：例解11例求的二阶偏导数.例解二阶混合偏导数：两个混合偏导数相等这里的两个混合偏导数均连续12例设求需按定义求函数在点(0,0)处的偏导数:00不相等例解13定理若的二阶混合偏导数在内存在且在点处连续,则必有该定理的结论可推广到更高阶的混合偏导数的情形.14引入记号：在内有直到k阶的连续偏导数,记为时,则在求n阶及n阶以下的偏导数时,可大大减少运算次数.自变量的个数越多,求导与求导顺序无关的作用越二元函数的n阶偏导数就有2n项,当

明显.15例例解16例例解17例例解18例这是求隐函数的高阶偏导数.例解1920例练练21例利用变量代换将方程化为关于变

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