9.2.2总体百分位数的估计高一数学下学期人教A版2019

9.2.2总体百分位数的估计给出以下10个数据:49，64，50，48，65，52，56，46，54，51.（1）请将上述10个数据按从小到大排序；解：46，48，49，50，51，52，54，56，64，65．（2）上述数据的中位数是多少?解：

51.5（3）在上述数据中，有多少个数据不超过51.5，所占的百分比是多少?解：5个，所占的百分比是50%．复习引入前面我们用频率分布表、频率分布直方图描述了居民用户月均用水量的样本数据，通过对图表的观察与分析，得出了一些样本数据的频率分布规律，并由此推测了该市全体居民用户月均用水量的分布情况，得出了“大部分居民用户的月均用水量集中在一个较低值区域”等推断．接下来的问题是，如何利用这些信息，为政府决策服务呢？下面我们对此进行讨论．探究：总体百分位数的估计思考１：如果该市政府希望使80%的居民用户生活用水费支出不受影响，根据9.2.1节中100户居民用户的月均用水量数据，你能给市政府提出确定居民用户月均用水量标准的建议吗?9.013.614.95.94.07.16.45.419.42.02.28.613.85.410.24.96.814.02.010.52.15.75.116.86.011.11.311.27.74.92.310.016.712.012.47.85.213.62.622.43.67.18.825.63.218.35.12.03.012.022.210.85.52.024.39.93.65.64.47.95.124.56.47.54.720.55.515.72.65.75.56.016.02.49.53.717.03.84.12.35.37.88.14.313.36.81.37.04.91.87.128.010.213.817.910.15.54.63.221.69.013.614.95.94.07.16.45.419.42.02.28.613.85.410.24.96.814.02.010.52.15.75.116.86.011.11.311.27.74.92.310.016.712.012.47.85.213.62.622.43.67.18.825.63.218.35.12.03.012.022.210.85.52.024.39.93.65.64.47.95.124.56.47.54.720.55.515.72.65.75.56.016.02.49.53.717.03.84.12.35.37.88.14.313.36.81.37.04.91.87.128.010.213.817.910.15.54.63.221.6首先要明确一下问题：根据市政府的要求确定居民月均用水量标准，就是要寻找一个数a，使全市居民用户月均用水量中不超过a的占80%，大于a的占20%.80%20%1.31.31.82.02.02.02.02.12.22.32.32.42.62.63.03.23.23.63.63.73.84.04.14.34.44.64.74.94.94.95.15.15.15.25.35.45.45.55.55.55.55.65.75.75.96.06.06.46.46.86.87.07.17.17.17.57.77.87.87.98.18.68.89.09.59.910.010.110.210.210.510.811.111.212.012.012.413.313.613.613.813.814.014.915.716.016.716.817.017.918.319.420.521.622.222.424.324.525.628.0将100个数据按从小到大的顺序排列如下：先将80%换成50%50%50%6.8.因为50%×100=50，所以得到第50个和第51个数据分别为6.8和6.8.我们取这两个数的平均数这个平均数能把样本数据分成符合要求的两部分1.31.31.82.02.02.02.02.12.22.32.32.42.62.63.03.23.23.63.63.73.84.04.14.34.44.64.74.94.94.95.15.15.15.25.35.45.45.55.55.55.55.65.75.75.96.06.06.46.46.86.87.07.17.17.17.57.77.87.87.98.18.68.89.09.59.910.010.110.210.210.510.811.111.212.012.012.413.313.613.613.813.814.014.915.716.016.716.817.017.918.319.420.521.622.222.424.324.525.628.0将100个数据按从小到大的顺序排列如下：80%13.7.80%20%因为80%×100=80，所以得到第80个和第81个数据分别为13.6和13.8.区间(13.6,

13.8)内的任意一个数，都能把样本数据分成符合要求的两部分.我们一般取这两个数的平均数我们称13.7为这组数据的第80百分位数,或80%分位数.根据样本数据的第80百分位数，我们可以估计总体数据的第80百分位数为13.7左右．由于样本的取值规律与总体的取值规律之间会存在偏差，而在决策问题中，只要临界值近似为第80百分位数即可．因此为了实际中操作的方便，可以建议市政府把月均用水量标准定为14t，或者把年用水量标准定为168t．不一定,尽管这组数据中80%的居民用户用水不超过14t，但因为它来自样本观测数据，只是总体80%分位数的一个估计值，抽样方法和样本的随机性都可能导致样本百分位数估计总体百分位数的误差．思考２：你认为14t这个标准一定能够保证80%的居民用水不超标吗?如果不一定，那么哪些环节可能会导致结论的差别？一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值．第一步:按从小到大排列原始数据；第二步:计算i=n×p%；第三步:若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数.直观来说，一组数据的第p位百分位数指的是把这组数按照从小到大的顺序排列后，处于p％位置的数．归纳总结1.第p百分位数的概念：2.计算一组n个数据第p百分位数的步骤：p%(100-p)%第p百分位数1.在居民用户月均用水量标准制定的问题中，根据教科书中的调查数据，如果要让60%的居民不超出标准，居民用户月均用水量标准定为多少合适?9.013.614.95.94.07.16.45.419.42.02.28.613.85.410.24.96.814.02.010.52.15.75.116.86.011.11.311.27.74.92.310.016.712.012.47.85.213.62.622.43.67.18.825.63.218.35.12.03.012.022.210.85.52.024.39.93.65.64.47.95.124.56.47.54.720.55.515.72.65.75.56.016.02.49.53.717.03.84.12.35.37.88.14.313.36.81.37.04.91.87.128.010.213.817.910.15.54.63.221.6练习课本203页1.31.31.82.02.02.02.02.12.22.32.32.42.62.63.03.23.23.63.63.73.84.04.14.34.44.64.74.94.94.95.15.15.15.25.35.45.45.55.55.55.55.65.75.75.96.06.06.46.46.86.87.07.17.17.17.57.77.87.87.98.18.68.89.09.59.910.010.110.210.210.510.811.111.212.012.012.413.313.613.613.813.814.014.915.716.016.716.817.017.918.319.420.521.622.222.424.324.525.628.0解：将100个数据按从小到大的顺序排列如下：因此居民用户月均用水量标准定为8.0t.2.一个容量为20的样本，其数据按从小到大的顺序排列为：1，2，2，2，5，6，6，7，8，8，9，10，13，13，14，14，17，17，18，18，则该组数据的第25百分位数为_______；第50百分位数为_______；第75百分位数为_______.解：因为数据个数为20，而且20×25%＝5，20×50%＝10，20×75%＝15.第86百分位数为_______.四分位数

25%第一四分位数（下四分位数）50%75%中位数第三四分位数（上四分位数）归纳总结中位数相当于是第50百分位数，常用的分位数还有第25百分位数，第75百分位数，这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数.其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数等，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数等．另外，像第1百分位数，第5百分位数，第95百分位数，第99百分位数也常用．百分位数的特点：(1)第0百分位数为数据组中的最小数，第100百分位数为数据组中的最大数；(2)一组数据的百分位数既可能是这组数据中的数，也可能不是这组数据中的数；(3)一组数据的某些百分位数可能是同一个数．例题例1：根据节问题3中27名女生的样本数据,估计树人中学高一年级女生的第25,50,75百分位数.解:把27名女生的样本数据按从小到大排序,可得据此估计树人中学高一年级女生的第25,50,75百分位数155.5，161，164.

163.0

164.0

161.0

157.0

162.0

165.0

158.0

155.0

164.0

162.5

154.0

154.0

164.0

149.0

159.0

161.0

170.0

171.0

155.0

148.0

172.0

162.5

158.0

155.5

157.0

163.0

172.0

148.0149.0154.0154.0155.0155.0155.5157.0157.0

158.0158.0159.0161.0161.0

162.0162.5162.5163.0

163.0164.0164.0164.0165.0170.0171.0172.0172.0课本202页练习根据节问题3中男生的样本数据,请你估计树人中学高一年级男生的第25,50,75百分位数.如果要减少估计的误差，你觉得应该怎么做？173.0174.0166.0172.0

170.0165.0165.0

168.0164.0173.0172.0173.0175.0168.0170.0172.0176.0175.0168.0173.0167.0170.0175.0解:把23名男生的样本数据按从小到大排序,可得据此估计树人中学高一年级男生的第25,50,75百分位数168.0，172.0，173.0.164.0164.0165.0166.0167.0168.0168.0168.0170.0170.0170.0172.0172.0172.0173.0173.0173.0173.0174.0175.0175.0175.0176.0通过增加样本量，可以减少估计的误差.课本203页例２：根据课本表9.2-1或图9.2-1，估计月均用水量的样本数据的80%和95%分位数.分析：在某些情况下,我们只能获得整理好的统计表或统计图,与原始数据相比，它们损失了一些信息.例如由表9.2-1，我们知道[16.2,19.2)内有5个数据，但不知道这5个数据具体是多少.此时，我们通常把它们看成均匀地分布在此区间上.课本202页解：由表可知，月均用水量在13.2t以下的居民用户所占比例为23%+32%+13%+9%=77%.在16.2t以下的居民用户所占的比例为77%+9%=86%.因此,80%分位数一定位[13.2,16.2)内.可以估计月均用水量的样本数据的80%分位数约为14.2.由表9.2-1可知，月均用水量在22.2t以下的居民用户所占比例为23%＋32%＋13%＋9%＋5%＋3%=94%，在25.2t以下的居民用户所占的比例为94%+4%=98%．因此，95%分位数一定位于[22.2，25.2)内．可以估计月均用水量的样本数据的95%分位数约为22.95．0.320.130.090.090.050.030.040.020.23解:由频率分布直方图依次算出各小组的频率为：0.23，0.32，0.13，0.09，0.09，0.05，0.03，0.04，0.02.所以月均用水量在13.2t以下的居民所占比例为：0.23+0.32+0.13+0.09=0.77，月均用水量在16.2t以下的居民所占比例为：0.77+0.09=0.86.

所以，第80百分位数一定位于[13.2，16.2）内.

设第80百分位数为m,则

0.77+（m-13.2）×0.030=0.80，

解得m=14.2.所以，可以估计月均用水量的样本数据的80%分位数约为14.2.原始数据：13.7频率分布表：14.2频率分布直方图：14.20.320.130.090.090.050.030.040.020.23由频率分布直方图依次算出各小组的频率为：0.23，0.32，0.13，0.09，0.09，0.05，0.03，0.04，0.02.所以月均用水量在22.2