高考文数一轮课件11第十一章复数算法推理与证明第一节数系的扩充与复数的引入

第一节数系的扩充与复数的引入总纲目录教材研读1.复数的有关概念考点突破2.复数的几何意义3.共轭复数的概念考点二复数的几何意义考点一复数的有关概念4.复数的模5.复数的加法与减法6.复数的乘法与除法考点三复数的代数运算1.复数的有关概念(1)形如①

a+bi

(a,b∈R)的数叫做复数.复数通常用字母z表示,即z=a

+bi,其中a与b都是实数,a叫做复数z的实部,b叫做复数z的虚部.对于复数a+bi(a,b∈R),当且仅当b=0时,它是实数;当b≠0时,叫做虚数;当②

a=0且b≠0

时,叫做纯虚数.(2)复数的相等如果a,b,c,d都是实数,那么a+bi=c+di⇔a=c且b=d;a+bi=0⇔③

a=0且b=0

.教材研读2.复数的几何意义建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴,y轴叫做

虚轴.实轴上的点都表示实数;除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数;各象

限内的点都表示虚数.复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的,复数集C与复

平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的.3.共轭复数的概念当两个复数的实部相等、虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭

复数,复数z的共轭复数用

表示,即若z=a+bi(a,b∈R),则

=④

a-bi

.4.复数的模(1)定义:复数z=a+bi(a,b∈R)对应的向量

的模叫做z的模,记作|z|或|a+bi|,|z|=|a+bi|=

.(2)性质:|z1·z2|=|z1|·|z2|,

=

,|zn|=|z|n,|

|=|z|.5.复数的加法与减法(1)复数的加减法运算法则(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i(a,b,c,d∈R).(2)复数加法的运算律复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z1、z2、z3∈C,有z1+z2=z2+z1,

(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).(3)复数的加减法的几何意义a.复数加法的几何意义若复数z1、z2对应的向量分别为

、

,设

=

+

,则复数z1+z2是向量

所对应的复数.b.复数减法的几何意义若复数z1,z2对应的向量分别为

,

,则复数z1-z2是向量

所对应的复数.6.复数的乘法与除法设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R).(1)复数的乘法z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i;交换律:z1·z2=⑤

z2·z1

;结合律:(z1·z2)·z3=⑥

z1·(z2·z3)

;分配律:z1(z2+z3)=⑦

z1z2+z1z3

.(2)复数的除法(a+bi)÷(c+di)=

+

i(c+di≠0).7.i4k=1,i4k+1=i,i4k+2=-1,i4k+3=-i,其中k∈N*.

1.(2015北京东城一模)在复平面内,复数z=1-2i(i为虚数单位)对应的点的

坐标为

()A.(1,2)

B.(2,1)C.(1,-2)

D.(2,-1)答案

C复数z=1-2i对应的点的坐标为(1,-2).故选C.C2.(2018北京海淀高三期末)已知i是虚数单位,若i(a+i)=-1+i,则实数a的值

为

()A.1

B.0

C.-1

D.-2答案

A

i(a+i)=ai+i2=-1+ai=-1+i,∴a=1,故选A.A3.(2016北京房山一模)在复平面内,复数z对应的点的坐标为(2,-1),则|z|=

()A.

B.5

C.3

D.1答案

A|z|=

=

.A4.(2016北京朝阳一模)已知i为虚数单位,则复数

=

()A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i答案

A

=

=

=1+i.A5.(2018北京东城高三期末)已知i为虚数单位,则复数-i+

=

.答案-2i解析-i+

=-i-i=-2i.-2i6.(2017北京西城二模)在复平面内,复数z对应的点是Z(1,-2),则复数z的

共轭复数

=

.答案1+2i解析∵复数z对应的点是Z(1,-2),∴z=1-2i,∴z的共轭复数

=1+2i.1+2i考点一复数的有关概念考点突破典例1(1)设i是虚数单位,如果复数

的实部与虚部相等,那么实数a的值为

()A.

B.-

C.3

D.-3(2)已知i为虚数单位,若复数z满足z(1-i)=|1-i|+i,则z的实部为

()A.

B.

-1

C.1

D.

(3)已知

=1-yi,其中x,y是实数,i是虚数单位,则x+yi的共轭复数为

(

)A.1+2iB.1-2iC.2+iD.2-i(4)(2017北京东城一模)如果(x2-1)+(x-1)i(i是虚数单位)是纯虚数,那么实

数x=

.答案(1)C(2)A(3)D(4)-1解析(1)

=

,由题意知

=

,解得a=3.(2)由z(1-i)=|1-i|+i,得z=

=

=

+

i,故z的实部为

,故选A.(3)

=

(x-xi)=1-yi,∴

解得x=2,y=1,则x+yi的共轭复数为2-i,故选D.(4)∵(x2-1)+(x-1)i是纯虚数,∴

解得x=-1.方法技巧解决复数有关概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应的点位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满

足的条件问题,只需把复数化为代数形式,列出实部和虚部满足的方程

(不等式)组,解之即可.(2)解题时一定要先看复数是否为a+bi(a,b∈R)的形式,以确定实部和虚

部.1-1设复数z=-1-i(i为虚数单位),z的共轭复数为

,则|(1-z)·

|=

()A.

B.2

C.

D.1答案

A|(1-z)·

|=|1-z|·|

|=|2+i|·|z|=

×

=

.故选A.1-2

(2017北京海淀一模)已知复数z=a(1+i)-2(i为虚数单位)为纯虚数,

则实数a=

.A答案2解析∵z=a(1+i)-2=a+ai-2=(a-2)+ai为纯虚数,∴

解得a=2.2典例2(1)(2016北京石景山一模)设i是虚数单位,则复数

在复平面内对应的点位于

()A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限(2)(2017北京,2,5分)若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,

则实数a的取值范围是

()A.(-∞,1)

B.(-∞,-1)C.(1,+∞)

D.(-1,+∞)考点二复数的几何意义

(3)(2016北京东城二模)如图所示,在复平面内,点A对应的复数为z,则复数z=

.答案(1)B(2)B(3)2-i解析(1)

=

=

=-1+i,在复平面内对应的点为(-1,1),位于第二象限.(2)本题考查复数的运算.∵复数(1-i)(a+i)=a+1+(1-a)i在复平面内对应的点在第二象限,∴

∴a<-1.故选B.(3)由题图知A(2,-1),∴点A对应的复数z=2-i.方法技巧(1)复数z、复平面上的点Z及向量

相互联系,即z=a+bi(a,b∈R)⇔Z(a,b)⇔

=(a,b).(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系,因此可把复数、

向量与解析几何联系在一起,解题时可运用数形结合的方法,使问题简

单化.2-1

(2015北京西城一模)复数z满足z·i=3-i(i是虚数单位),则在复平面

内,复数z对应的点位于

()A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限答案

C∵z=

=

=

=-1-3i,∴z在复平面内对应的点为(-1,-3),位于第三象限,故选C.C2-2

(2018北京西城高三期末)在复平面内,复数

(i为虚数单位)对应的点的坐标为

()A.(1,1)

B.(-1,1)C.(-1,-1)

D.(1,-1)答案

B∵

=

=-1+i,∴复数

在复平面内对应的点的坐标为(-1,1),故选B.B典例3(1)(2016北京,2,5分)复数

(i为虚数单位)=

()A.iB.1+iC.-iD.1-i(2)已知复数z满足z+i=

(i为虚数单位),则|z|=

()A.

B.

C.

D.1考点三复数的代数运算(3)(2016湖南长沙模拟)已知(a+bi)(1-2i)=5(i为虚数单位,a,b∈R),则a+b

的值为

()A.-1

B.1

C.2

D.3(4)(2016北京海淀二模)已知

=i,其中i为虚数单位,a∈R,则a=

.答案(1)A(2)A(3)D(4)-2解析(1)

=

=

=

=i,故选A.(2)由题意可得z=

-i=

=1-2i,故|z|=

,选A.(3)因为(a+bi)(1-2i)=a+2b+(b-2a)i=5,故

解得a=1,b=2,故a+b=3,故选D.(4)∵

=i,∴2+i=i(1+ai),∴2+i=i-a,∴a=-2.方法技巧(1)复数四则运算的解答策略复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算,除法的关键是分

子、分母同乘分母的共轭复数,解题中要注意把i的幂写成最简形式.(2)几个常用结论在进行复数的代数运算时,记住以下结论,可提高计算速度.①(1±i)2=±2i;

=i;

=-i.②i(a+bi)=-b+ai,a,b∈R.③i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0,n∈N*.3-1

(2014北京,9,5分)若(x+i)i=-1+2i(i为虚数单位,x∈R),则x=

.