梯形的性质与辅助线

第五讲：梯形的性质与辅助线第一局部：知识模块与方法知识模块一：梯形的性质与判别1．梯形的定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。平行的两边叫做梯形的底，不平行的两边叫做梯形的腰，夹在两底之间的垂线段叫做梯形的高。2．等腰梯形的定义：两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。3．直角梯形的定义：一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。4．等腰梯形的性质：〔1〕等腰梯形的两腰相等。〔2〕等腰梯形同一底上的两个内角相等。〔3〕等腰梯形的对角线相等。〔4〕梯形的中位线与两底同时平行，且等于两底和的一半。5．等腰梯形的判别方法：〔1〕两条腰相等的梯形是等腰梯形。〔定义法〕〔2〕同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。〔3〕对角线相等的梯形是等腰梯形。知识、题型、方法梯形的性质例1：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，延长线段CB到E，使BE=AD，连接AE、AC。〔1〕求证：△ABE≌△CDA；〔2〕假设∠DAC=40°，求∠EAC的度数。变式练习〔2012，南京〕如图，梯形ABCD中，AD平行于BC，AB=CD，ACBD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点。〔1〕求证：四边形EFGH为正方形；〔2〕假设AD=2，BC=4，求四边形EFGH的面积。例2：〔2011，苏州〕如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，∠A=90°，BC=BD，CE⊥BD，垂足为E。〔1〕求证：△ABD≌△ECB；〔2〕假设∠DBC=50°，求∠DCE的度数。变式练习：〔2011，重庆潼南〕如图,在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AB=BC，且AE⊥BC。〔1〕求证：AD=AE；〔2〕假设AD=8，DC=4，求AB的长。课堂练习一：1．〔2011，四川绵阳〕如图，在等腰梯形ABCD中，AB//CD，对角线AC、BD相交于O，∠ABD=30°，AC⊥BC，AB=8cm，那么△COD的面积为〔〕A.B.C.D.2．〔2011，江苏宿迁〕如以下图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC的平分线与∠BDC的平分线的交点E恰在AB上。假设AD＝7cm，BC＝8cm，那么AB的长度是cm。3．〔2012，咸宁〕如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，，BE平分∠ABC且交CD于E，E为CD的中点，EF∥BC交AB于F，EG∥AB交BC于G，当，时，四边形BGEF的周长为。ABCABCDFEG〔第3题图〕ABCDE4．ABCDE5．〔2012，巴中〕如右图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BD⊥DC，点E是BC的中点，且DE∥AB，那么∠BCD的度数是____________。6．〔2011，山东枣庄〕如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，，交AB于E，DF平分∠EDC交BC于F，连结EF。〔1〕证明：；〔2〕当时，求EF的长。FFDBAEC等腰梯形与直角梯形的判别例3：〔2012，湖北襄阳〕如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为BC的中点，BC＝2AD，EA＝ED＝2，AC与ED相交于点F．〔1〕求证：梯形ABCD是等腰梯形；〔2〕当AB与AC具有什么位置关系时，四边形AECD是菱形？请说明理由，并求出此时菱形AECD的面积．AACBDEF变式练习：1．如下图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BDCD，ABCD，且∠ABC为锐角。假设AD，BC，E为BC边上一点。问：当CE分别为何值时，四边形ABED是等腰梯形、直角梯形？请分别说明理由。ADBC2．〔2011，茂名改编〕如图，在等腰△ABC中，点D、E分别是两腰AC、BC上的点，连接AE、BD相交于点O，∠1=∠2。〔1〕求证：OD=OE；〔2〕求证：四边形ABＥD是等腰梯形；〔3〕假设AB=3DE，DE2，AD4，求四边形ABED的面积。知识模块二：梯形问题中的辅助线梯形问题中常见辅助线做法：〔1〕平移梯形一腰即过梯形上底或下底的一个端点作一腰的平行线，将梯形分割成三角形和平行四边形，并出现上下底的差，利用这些条件解决所给的问题。〔2〕平移梯形的一条对角线即过梯形上底或下底的一个端点作一条对角线的平行线，将梯形割补成与之等积的三角形，并出现上下底的和，利用这些条件解决所给的问题〔3〕过上底的两个端点作梯形的高线，将梯形分成两个直角三角形和一个矩形.〔4〕延长梯形两腰交于一点，构成两个三角形.〔5〕连结上底的一端点与一腰的中点，延长交下底的延长线于一点，将梯形割补成与之等积的三角形.〔6〕连结两腰中点，作中位线。知识、题型、方法例4：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＋∠B＝90º，AB＝7cm，BC＝3cm，AD＝4cm，那么CD＝cm。例5：〔2012，呼和浩特〕：在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD=3，BC=7，那么梯形的面积是。AADBC例6：〔2011，临沂〕如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，AD＝2，BC＝6，∠B＝60°，那么梯形ABCD的周长是〔〕A．12B．14C．16D．18例7：〔2011，重庆〕如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB＝45°，CD＝2，BD⊥CD。过点C作CE⊥AB于E，交对角线BD于F．点G为BC中点，连结EG、AF。〔1〕求EG的长；〔2〕求证：CF＝AB＋AF。课堂练习二：1．〔2011，湖北武汉〕如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD=DC=CB，假设∠ABD＝25°，那么∠BAD的大小是〔〕

A．40°．B．45°．

C．50°．D．60°．第7题图第7题图ABCD2．〔2012，临沂〕如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，以下结论不一定正确的选项是〔〕A．AC=BDB．OB=OCC．∠BCD=∠BDCD．∠ABD=∠ACD3．〔2012，广州〕如图，在等腰梯形ABCD中，BC∥AD，AD=5，DC=4，DE∥AB交BC于点E，且EC=3，那么梯形ABCD的周长是〔〕A．26B．25C．21D．204．〔2011邵阳〕如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，AC⊥BC，∠B=60°，BC=2cm，那么上底DC的长是_______cm。5．〔2012，四川内江〕如下图，四边形ABCD是梯形，BD＝AC且BD⊥AC，假设AB＝2，CD＝4，那么S梯形ABCD＝。AABDC6．〔2011，南京〕等腰梯形的腰长为5㎝，它的周长是22㎝，那么它的中位线长为____㎝。7．〔2011，江苏连云港〕一等腰梯形两组对边中点连线段的平方和为8，那么这个等腰梯形的对角线长为_______。8．〔2011，山东烟台〕如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点。两底差是6，两腰和是12，那么△EFG的周长是。AABCDEFG〔第8题图〕9．〔2009，齐齐哈尔〕在梯形中，，，，，，那么的长为。10．〔2009，山东威海〕在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=60°，∠B=30°，AD=CD=6，那么AB的长度为。11．〔2009，益阳〕如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BD⊥AD，BC=CD，∠A=60°，CD=2cm。〔1〕求∠CBD的度数；〔2〕求下底AB的长。ABABCD60°12．〔2011，东营改编〕如图，在四边形ABCD中，DB平分∠ADC，∠ABC=120°，∠C=60°，∠BDC=30°，延长CD到点E，连接AE，使得∠E∠C。〔1〕求证：四边形ABDE是平行四边形；〔2〕假设DC=12，求AD的长；〔3〕求四边形ABCD的面积。13．〔2012，杭州〕如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，分别以AB，CD为边向外侧作等边三角形ABE和等边三角形DCF，连接AF，DE．〔1〕求证：AF=DE；〔2〕假设∠BAD=45°，AB=a，△ABE和△DCF的面积之和等于梯形ABCD的面积，求BC的长。第二局部：模型思维与思想证明线线段相等的方法总结证明线段相等，首选全等三角形，利用全等三角形对应边相等证得线段相等：〔1〕直接证明两三角形全等〔此种类型比拟容易〕；〔2〕通过构造全等三角形〔此种类型主要为猜测探究型题目，较难〕〔常用技巧：作垂线构造旋转形全等三角形；加倍中线构造中心对称型全等三角形；截长补短法构造全等三角形〕其次选择等量代换技巧；〔1〕证等腰三角形，利用等腰三角形两腰相等证得线段相等；〔2〕考查一些几何图形的性质，如：直角三角形斜边中线等于斜边一半；平行四边形对边相等；等腰梯形两腰相等；角平分线上的点到角两边的距离相等；线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。同学们，此上两种方法为证明线段相等的重要方法，这两种方法有时可以独立使用，有时可相互运用，一定要多加体会。知识、题型、方法利用全等三角形对应边相等证明线段相等例8：〔2008，义乌〕如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE。我们探究以下图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：〔1〕猜测如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；〔2〕将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断。变式练习：1.〔2011，山东临沂〕如图1，奖三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角板的一边交CD于点F，另一边交CB的延长线于点G。 〔1〕求证：EF＝EG；如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，〔1〕中的结论是否仍然成立？假设成立，给予证明；假设不成立，说明理由。2.〔2011，成都节选〕如图，线段AB∥CD，AD与BC相交于点K，E是线段AD上一动点。连接BE，假设BE平分∠ABC，且当AE=AD时，猜测线段AB、BC、CD三者之间有怎样的等量关系?请写出你的结论并予以证明。例9：利用等腰三角形两腰相等证明线段相等〔2012，江苏盐城〕如下图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BDC=900，E为BC上一点，∠BDE=∠DBC。〔1〕求证：DE=EC。〔2〕假设AD=BC，试判断四边形ABED的形状，并说明理由。变式练习：1.如图，△ABC〔ABAC〕中，D、E在BC上，且DEEC，AE平分∠BAC，过D作DF∥BA交AE于点F。求证：ACDF。AFBDEC〔2011，重庆〕如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB＝45°，CD＝2，BD⊥CD。过点C作CE⊥AB于E，交对角线BD于F．点G为BC中点，连结EG、AF。〔1〕求EG的长；〔2〕求证：CF＝AB＋AF。课堂练习三：1.如图，ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，于E，，交AG于F。求证：。DCDCBAEFG2.图2〔2008，重庆〕：如图2，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E。图2求证：〔1〕△BFC≌△DFC；〔2〕AD=DE〔2012，重庆〕：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E,∠1=∠2。〔1〕假设CE=1，求BC的长；〔2〕求证AM=DF+ME。〔2009，山西节选〕在中，将绕点顺时针旋转角得交于点，分别交于两点。〔1〕如图1，观察并猜测，在旋转过程中，线段与有怎样的数量关系？并证明你的结论；〔2〕如图2，当时，试判断四边形的形状，并说明理由。AADBECFADBECF图1