2024年八年级数学下册提练第6招根与系数的关系的常见应用习题

第6招根与系数的关系的常见应用典例剖析

例已知关于x的方程(a－5)x2－4x－1＝0.(1)若方程有实数根，求a的取值范围；解题秘方：1.对于二次项系数含有字母的方程，当方程未指明是一元二次方程或有两个根时，必须将方程按二次项系数为0和不为0两种情况进行分类讨论；2.解答与一元二次方程有关的存在性问题，一般先假设存在，根据根与系数的关系列出关于字母系数的方程，求出字母系数的值，再看它是否满足根的判别式大于或等于零，最后确定字母值的存在性．解：当a＝5时，方程为－4x－1＝0，方程有实数根；当a≠5时，方程为一元二次方程，要使方程有实数根，则(－4)2＋4(a－5)＝4a－4≥0，解得a≥1.综上，a的取值范围为a≥1.典例剖析(2)是否存在这样的实数a，使方程的两根x1，x2满足x1＋

x2＋x1x2＝3？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．分类训练应用已知方程一根，求另一根及待定系数11.已知关于x的方程x2＋kx－6＝0的一根为2，求方程的另一根及k的值．

分类训练2.若x1，x2是方程x2－4x－2025＝0的两个实数根，求代数式x12－2x1＋2x2的值．应用已知方程，求有关两根的代数式的值2解：∵x1，x2是方程x2－4x－2025＝0的两个实数根，∴x1＋x2＝4，x12－4x1－2025＝0，即x12－4x1＝2025.则原式＝x12－4x1＋2x1＋2x2＝x12－4x1＋2(x1＋x2)＝2025＋2×4＝2025＋8＝2033.分类训练3.应用已知两方程，求含两未知数的代数式的值3分类训练应用已知方程，求字母系数的取值范围44.已知关于x的一元二次方程x2－3x＋k＋1＝0的两根的平方和小于5，求k的取值范围．

分类训练5.已知关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，且两个根的平方和比两个根的积大21，求m的值．应用已知方程，求字母系数的值5解：∵方程有两个实数根，∴

[2(m－2)]2－4×1×(m2＋4)≥0.解得m≤0.设方程的两个实数根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－2(m－2)，x1x2＝m2＋4.∵x12＋x22－x1·x2＝21，∴(x1＋x2)2－3x1·x2＝21.∴[－2(m－2)]2－3(m2＋4)＝21.整理得m2－16m－17＝0.解得m1＝－1，m2＝17.

又∵m≤0，∴m＝－1.6.不解方程，判断方程2x2＋3x－7＝0两个根的符号．应用已知方程，判断根的符号6分类训练7.已知－1和3是某个关于x的一元二次方程的两个根，且方程中二次项系数为1，请写出这个方程．解：设这个方程为x2＋ax＋b＝0.由题意得－1＋3＝－a，－1×3＝b，∴a＝－2，b＝－3.∴这个方程为x2－2x－3＝0.应用已知两根，求一元二次方程7分类训练8.已知实数x，y，z满足x＝6－y，z2＝xy－9.求证：x＝y.应用结合根的判别式证明等式8分类训练证明：由题意知x＋y＝6，xy＝z2＋9，∴x，y可以看成是关于t的一元二次方程

t2－6t＋z2＋9＝0①的两个实数根，∴b2－4ac＝36－4(z2＋9)＝－4z2≥0，∴z＝0，则b2－4ac＝0.故方程①有两个相等的实数根，∴x＝y.9.应用结合根的判别式证明不等式9分类训练证明：由题意知bc＝a2－a＋1，b＋c＝2a2－2bc＋2＝2