新教材高中数学必修第一册第3章《函数的概念与性质》章末复习课

章末复习课

要点回顾形成体系

［网络构建］

|函数概念||函数表示|居数性呢||函数类型||函数的应用|

L

变

量

」

刻

画

函

数

［核心归纳］

1.函数表示法

函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等.解析法：必

须注明函数的定义域.图象法：描点法作图时要确定函数定义域，化简函数的解

析式，观察函数特征.列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特

征.

分段函数：由于分段函数在不同的定义域上函数的表达式不同，故分段函数可将

不同的函数融合在同一题目中，体现知识的重组.

2.函数性质

研究函数往往从定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性入手，分析函数的图象

及其变化趋势.

3.函数最大（小）值

求函数最值问题，常利用二次函数的性质（配方法）；利用图象；或利用函数单调

性，如果函数人x）在区间出，加上单调递增，在出，c］上单调递减，则函数y=/（x）

在龙=6处有最大值人力，最小值为五。）与火。）中的较小者.

4.解决函数应用题关键在于理解题意，提高阅读能力.一方面要加强对常见函数模

型的理解，弄清其产生的实际背景，把数学问题生活化；另一方面，要不断拓宽

知识面.

要点聚焦分类突破

要点一求函数的定义域

求函数定义域的类型与方法

(1)已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合.

⑵实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有

意义.

⑶复合函数问题：

①若火X)的定义域为[a,b],Ag(x))的定义域应由aWg(x)W6解出；

②若五g(x))的定义域为[a,b],则五x)的定义域为g(x)在[a,加上的值域.

注意：a.y(x)中的x与兀?。))中的g(x)地位相同；

b.定义域是指X的范围.

【例1】(1)函数人x)=/、+(2x—1)。的定义域为()

A(-8,gB.g1)

c[T1)D1—8,加右1)

(2)已知函数y=/(x—1)的定义域是[—1,2],则y=/(l—3x)的定义域为()

11

-OB--3

A.-V-V

C.[0,1]D.-g,1

1-x>0,i

解析(1)由题意知L一八解得x<i且后9，

即五x)的定义域是(一8,Oug,1).

(2)由y=/(x—1)的定义域是[―1,2],则x—1©[—2,1],即危)的定义域是[-2,

1],令一2W1—3xWl,解得OWxWl,即y=/(l—3x)的定义域为[0,1].

答案(1)D(2)C

【训练1】若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这

些函数为“同族函数”，那么函数解析式为y=f,值域为｛1,4｝的“同族函数”

共有()

A.7个B.8个

C.9个D.10个

解析由题意知，问题的关键在于确定函数定义域的个数.函数解析式为y=》2,

值域为{1,4},

当x=±l时，y=l；

当x=±2时，y=4,

则定义域可以为{1,2},{1,-2},{-1,2},{-1,-2},{1,-1,2},{1,

—1,—2},{—1,2,—2},{1,~2,2},{1,—1,2,—2),因此“同族函

数”共有9个.

答案C

要点二求函数的解析式

求函数解析式的题型与相应的解法

(1)已知形如Hg(x))的解析式求人X)的解析式，使用换元法或配凑法.

(2)已知函数的类型(往往是一次函数或二次函数，使用待定系数法).

(3)含汽x)与八一x)或汽x)与妁，使用解方程组法.

(4)已知一个区间的解析式，求另一个区间的解析式，可用奇偶性转移法.

【例2】(1)已知4c—1)=2尤+5,则火x)的解析式为.

(2)设/x)是定义在R上的函数，且满足汽0)=1,并且x,y©R,都有汽x—y)

=»-y(2x-y+l),则汽x)=.

解析⑴法一(换元法)设x—1=3则x=/+l,

•••汽。=2«+1)+5=27+7,.\»=2x+7.

法二(配凑法)>-l)=2x+5=2(x-l)+7,所以五x)=2x+7,即函数的解析式

为汽x)=2x+7.

(2)法一由已知条件得五0)=1,

又f(x—y)=f(x)—y(2x—y+1),

设y=x,则y)=/(0)=/(x)—x(2x—尤+1)=1,

所以<x)+x+1.

法二令x=o,得五o—y)=A。)一M—y+D，

即五―y)=i—y(—y+i)，

将一丁用x代换得人防=%2+尤+1.

答案(l)/(x)=2x+7(2)好+尤+1

【训练2】根据如图所示的函数五x)的图象，写出函数的解析式.

，y

<—————卜——/9

\-2-1/]■,

-3123、

解当一3Wx<—1时，函数八%)的图象是一条线段(右端点除外)，设«X)=QX+

37

仇aWO),将点(一3,1),(―1,—2)代入,可得火%)=—/%一万；

当一1WX<1时，同理，可设出O=cx+d(cWO),将点(一1,—2),(1,1)代入，

31

可得40=那一]；

当1W%<2时，於)=1.

「37

一/一2?一3W%<—1,

综上所述，危)=1116—0<1,

<1,1Wx<2.

要点三分段函数

1.求分段函数的函数值的方法：先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间，

然后代入该段的解析式求值.当出现用3))的形式时，应从内到外依次求值.

2.已知分段函数的函数值，求自变量的值的方法：先假设自变量的值在分段函数

定义域的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要检验.

3.在分段函数的前提下，求某条件下自变量的取值范围的方法：先假设自变量的

值在分段函数定义域的各段上，然后求出在相应各段定义域上自变量的取值范

围，再求它们的并集即可.

【例3】设於)=]：二若%)W+D，则孜=()

A.2B.4

C.6D.8

解析当0<。<1时，。+1>1,五。)=如，五。+l)=2(a+l—l)=2a,

*.,y(a)=y(tz+l),：.y[a=2a,解得。=/

•••4》=汽4)=2X(4—1)=6.

当a>l时,a+l>2,・\/(a)=2(a—1),五a+l)=2(a+l—l)=2a,

2(a—l)=2a,无解.

当a=l时，a+l=2,汽1)=0,汽2)=2,不符合题意.

综上，£)=6.

答案c

lx,x>0,(4、(4、

【训练3]⑴已知於尸vc则『?+启等于(

J(%十1)9X\：O,')'，)

A.-2B.4C.2D.-4

x,xW—2,

x+1，—2<x<4,若3,则a的取值范围是

{3x,x》4,

=2X3=y

(2)当。W—2时，汽a)=a<—3,此时不等式的解集是(一8,-3)；

当一2<a<4时，>/(a)=a+l<—3,此时不等式无解；

当a>4时，1a)=3a<—3,此时不等式无解.

故a的取值范围是(一8,-3).

答案(1)B(2)(—8,-3)

要点四函数的概念与性质

函数单调性与奇偶性应用的常见题型

(1)用定义判断或证明函数的单调性和奇偶性.

(2)利用函数的单调性和奇偶性求单调区间.

(3)利用函数的单调性和奇偶性比较大小，解不等式.

(4)利用函数的单调性和奇偶性求参数的取值范围.

YYijP,-I_2S

【例4】已知函数小尸三下一是奇函数，且人2）=右

IfbJ

⑴求实数机和”的值；

⑵求函数人》）在区间［—2,—1］上的最值.

解（1）:/（%）是奇函数，.\/（—；0=一五》）,

.Z7JX2+2mx2-\-2/7ir2+2

—3x+n3X+H—3x—n

比较得〃=—n,72=0.

又/2）=。,解得加=2.

八3o3

因此，实数相和〃的值分别是2和0.

»,。2/+22x,2

（2）由（1）知於）=-我一=可+互

任取XI,X2^［―2,—1］,且无1<%2,

则y（xi）-y（x2）=l（xi—%2）fi—

J\人］儿〃

•:I2WXI<%2W—1,X2<0,X1X2>1,X1X2-l>0,

•'•Am—/(X2)<O,即/%1)</(X2).

・•.函数次x)在［—2,—1］上为增函数，

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.'•7(X)max=K_1)=-g,1/(X)min=/(—2)——

f—X2+2X,X>0,

【训练4】已知函数五x)=｛。，x=0,是奇函数.

Vx^+mx,x<0

⑴求实数机的值；

(2)若函数人x)在区间［—1,a—2］上单调递增，求实数a的取值范围.

解(1)设了<0,则一%>0,

所以八一x)=—(―x/+2(—x)=一%2—2》.

又兀0为奇函数，所以五―x)=—«r),

所以x<0时，j［x)=x1-\-2x=x1-\-mx,

所以m=2.

（2）要使人x）在［―1,。-2］上单调递增,

结合人防的图象（如图所示）知,

a—2W1,

所以l<aW3,

故实数。的取值范围是（1,3］.

要点五函数的图象及应用（选用）

作函数图象的方法

（1）描点法——求定义域；化简；列表、描点、连线.

（2）变换法一熟知函数的图象的平移、伸缩、对称、翻转.

左加右减

①平移:y=/(1)—,y=/（z士分）；

上加下减

y=fS--------------=土屋其中h>0,k>0).

②对称：y=——

“、关于T轴对称“、

y=fkx）-*------------------=—fkx）;

e、一关于原点对称、r\

/=/（］）■*------------>y=_/（（一］）.

特别提醒：要利用单调性、奇偶性、对称性简化作图.

【例5】已知函数五x）是定义在R上的偶函数，且当xWO时，兀0=r+2%.

（1）现已画出函数人x）在y轴左侧的图象，如图所示，请把函数人x）的图象补充完

整，并根据图象写出函数人x）的增区间；

（2）写出函数五x）的值域.

解（1）由40为偶函数可知，其图象关于y轴对称，如图所示，作出已知图象关

于y轴对称的图象，即得该函数的完整图象.

由图可知，函数Hx)在(一8,—1)上单调递减，在(一1,0)上单调递增，在(0,

1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，所以函数人X)的增区间是(一1,0),(1,

+°°).

⑵由题意知，当xWO时，兀0的最小值为八一1)=(-1>+2X(—1)=—1.由偶函

数的性质可得—1,即函数的值域为［—1,+-).

【训练5】对于任意x©R,函数兀r)表示一x+3,|x+1,x2—4x+3中的较大

者，则1X)的最小值是

解析首先应理解题意，“函数於)表示一x+3,|x+W，f—以+3中的较大者”

是指对某个区间而言，函数人x)表不一x+3,$+3，x2—4x+3中最大的一个.

如图，分别画出三个函数的图象，得到三个交点A(0,3),B(l,2),C(5,8).

^x2—4x+3(无WO),

一尤+3(0<xWl),

从图象观察可得函数Hx)的表达式：Hx)=<31

,无+,(1<%W5),

~％2—4x+3(x>5).

1Ax)的图象是图中的实线部分，图象的最低点是点3(1,2),所以人x)的最小值是

2.

答案2

要点六幕函数的应用

易函数丁=产的性质

⑴当a>0时，

①图象都通过点(0,0),(1,1)；

②在第一象限内，函数值随x的增大而增大；

③在第一象限内，a>l时，图象是向下凸上升的；0<a<l时，图象是向上凸上升

的；

④在第一象限内，过点(1,1)后，图象向右上方无限伸展.

⑵当a<0时，

①图象都通过点(1,1);

②在第一象限内，函数值随x的增大而减小，图象是向下凸的；

③在第一象限内，图象向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近；

④在第一象限内，过点(1,1)后，⑸越大，图象下降的速度越快.

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【例6】已知募函数兀0=%—于>2+0+]5£2在(0,+8)上是增函数，且在

定义域上是偶函数.

(1)求p的值，并写出相应的函数人X)的解析式.

(2)对于(1)中求得的函数人为，设函数g(x)=—5次x))+(2q—1)而0+1,问是否存

在实数q(q<0)，使得g(x)在区间(-8,—4]上是减函数，且在区间(一4,0)上是

增函数？若存在，请求出q；若不存在，请说明理由.

解(1)由已知«v)在(0,+8)上是增函数，

1、3

因而一gr+p+]>0,解得一l<p<3.

又因而p=0或1或2.

3

当p=0或p=2时，兀¥)=巨，不是偶函数；

当p=l时，J(x)=x2,符合题意.

(2)由(1)知g(x)=—W»)+(2q—1)人功+1=—^(x)+(2q—1求x)+L

»=x2^0,因而，当xG(—8,一引时，火工)=炉©[16,+8)；

当xG(—4,0)时，兀0=虫£(0,16).

若g(x)在区间(一8,—4]上是减函数，且在区间(一4,0)上是增函数,则一会十

=16,即q=一4，也就是存在q=一4满足题设条件.

【训练6】已知募函数1x)=x—/+2m+3(mGZ)为偶函数，且在(0,+°0)

上是增函数.

(1)求人x)的解析式；

(2)设函数g(x)=Mf(x)+2x+c,若g(x)>2对任意x©R恒成立，求实数c的取

值范围.

解(1)嘉函数五x)=x一机2+2机+3(机©Z)为偶函数，且在(0,+8)上是增函数，

则一机2+2机+3为偶数，且一机2+2m+3>0,得一1<冽<3,机=0或m=1或机=

2.

当机=0与机=2时，一源+2m+3=3是奇数，不合题意，当机=1时，加)=上

(2)由⑴知g(x)=x1+2x+c=(x+1)2+c—1,若g(x)>2恒成立,则c-l>2,即c>3.

故实数c的取值范围为(3,+°°).

要点七函数的应用

【例7】食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用给人民群众

的健康带来了一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农业合作社每年投

入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，

其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往种菜经验，发现种西红柿的年收

入P(单位：万元)、种黄瓜的年收入。(单位：万元)与投入a(单位：万元)满足尸

=80+4/,Q=5+120,设甲大棚投入为x(单位：万元)，每年两大棚的收益

为兀0(单位：万元).

(1)成50)的值；

⑵试问如何安排甲乙两个大棚的投入，才能使总收益人x)最大？

解(1)因为甲大棚投入50万元，则乙大棚投入1