湖南重点大学附中2023-2024学年八年级上学期数学期末考试试卷

湖南重点大学附中2023-2024学年八年级上学期数学期末考试试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1．我国古代数学家祖冲之推算出π的近似值为355113，它与π的误差小于0.0000003.将0.0000003A．0.3×10−6 B．3×10−6 C．2．下列三个分式12x2，5x−1A．4x(m−n) B．2x2(m−n) C．13．下列式子中，是最简二次根式的是（）A．12 B．53 C．8a 4．若a2=bA．45 B．−45 C．55．化简54×A．52 B．63 C．3 6．如图，点C所表示的数是（）A．5 B．−3 C．1−5 7．若(x−3)2=3−xA．x≥3 B．x≤3 C．x>3 D．x<38．已知命题；①若a>b，则a2>b2；②若a≠2，则(a−2)0=1A．4 B．3 C．2 D．19．若关于x的分式方程xx−1+1=mA．m≤1且m≠−1 B．m≥−1且m≠1 C．m<1且m≠−1 D．m>−1且m≠110．已知xx2+1A．18 B．8 C．16 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。11．在实数范围内分解因式：3a212．已知5x=3，5y=213．若x+1x−1在实数范围内有意义，则x的取值范围是14．若2m−n=3，则4−4m+2n=．15．如图，小明想知道学校旗杆的高度，他将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端6m处，发现此时绳子底端距离打结处2m，则旗杆的高度为m.16．“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，在如图所示的弦图中，大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的.若AB=5，∠CED=∠CDE，则△CDE的面积为三、解答题：本题共8小题，共67分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．计算：(−118．先化简，再求值：(1+4x−3)÷19．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AB=3，BD=2，DC=1，求AC的值．20．已知：x=3−13（1）求x+y的值．（2）求xy21．如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN=30°，在A处有一所中学，AP=120米，此时有一辆消防车在公路MN上沿PN方向以每秒8米的速度行驶，假设消防车行驶时周围100米以内有噪音影响．（1）学校是否会受到影响？请说明理由．（2）如果受到影响，则影响时间是多长？22．有两款售价相同的汽车，信息如下表所示：燃油车新能源汽车油箱容积：50升电池容量：80千瓦时油价：7.2元/升电价：0.6元/千瓦时续航里程：a千米续航里程：a千米每千米行驶费用：50×7.2a每千米行驶费用：____元（1）新能源车的每千米行驶费用是元；(用含a的代数式表示)（2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.52元．

①分别求出这两款车的每千米行驶费用；

②若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为4600元和7200元，则每年行驶里程在什么范围时，新能源车的年费用更低？(年费用=年行驶费用+年其它费用)23．如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，AE平分∠CAB交CB于点E，AD=3，BD=163，（1）求证：∠ACB=90°；（2）求点E到AB边的距离．24．压轴题（1）已知x，y，z为△ABC的三边长，且有(x+y（2）已知x，y满足xy+3y−x−10=0，且x，y都是整数，求x的值．（3）在平面直角坐标系中，已知点A(0，3)，B(−4，0)，在y轴上求一点C，使得△ABC是等腰三角形，求C（4）如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，∠ABC=135°，AB=32，BC=1，在AD、CD上分别找一点E、F，使得△BEF的周长最小，求△BEF（5）我们定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”.如M=2x2−x+6与N=−2x2+x−1互为“对消多项式”，它们的“对消值”为5.已知关于x的多项式C=mx2+8x+2与D=−m(x+1)(x+n)

答案解析部分1．【答案】C【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数【解析】【解答】0.0000003=3×10−7，

故答案为：C.

【分析】科学记数法的表示形式为a×102．【答案】D【知识点】最简公分母【解析】【解答】∵三个分式的分母分别是2x2、4（m-n）、x，

∴最简公分母是4x2(m−n)，

3．【答案】B【知识点】最简二次根式【解析】【解答】A：12，被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意；

B：53，是最简二次根式，符合题意；

C：8a，被开方数含有可开方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；

D：0.3被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意；4．【答案】D【知识点】求代数式的值-化简代入求值【解析】【解答】∵a2=b3≠0，

∴a=23b，

∴a+ba−2b5．【答案】D【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算【解析】【分析】先根据二次根式的乘法法则和二次根式的性质化简，再合并同类二次根式.

【解答】54×126．【答案】C【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理【解析】【解答】根据题意可得：OB=2，OA=1，∠BOA=90°，

在Rt△ABO中，AB=OB2+OA2=5，

∴AC=AB=5，

∵点A表示的数是1，

∴7．【答案】B【知识点】二次根式的性质与化简【解析】【解答】∵(x−3)2=|3−x|=3−x，

∴3-x≥0，

解得：x≤3，

8．【答案】C【知识点】真命题与假命题；逆命题【解析】【解答】①∵命题“若a>b，则a2>b2”的逆命题是“若a2>b2，则a>b”是假命题，∴①不符合题意；

②∵命题“若a≠2，则(a−2)0=1”的逆命题是“若(a−2)0=1，则a≠2”是真命题，∴②符合题意；

③∵命题“两个全等的三角形的面积相等”的逆命题是“如果两个三角形的面积相等，则这两个三角形是全等三角形”是假命题，∴③不符合题意；

9．【答案】A【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程【解析】【解答】解：xx−1+1=m1−x，

两边同乘（x-1），去分母可得：x+x-1=-m，

移项、合并同类项可得：2x=1-m，

系数化为1可得：x=1−m2，

∵原分式方程的解为非负数，

∴1−m2≥01−m2≠1，

解得：m≤1且10．【答案】A【知识点】求代数式的值-整体代入求值；求代数式的值-化简代入求值【解析】【解答】∵xx2+1=13，

∴x2+1=3x，

∴x2-3x+1=0，

∴x≠0，

∴x−3+1x=0，

∴x+1x=3，

∴x4+x11．【答案】3(a+【知识点】实数范围内分解因式【解析】【解答】3a2−18=3(a+6)(a−6)12．【答案】9【知识点】同底数幂的除法；幂的乘方【解析】【解答】∵5x=3，5y=2，

∴52x−3y=52x÷53y=5x213．【答案】x≥−1且x≠1【知识点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件【解析】【解答】根据题意可得：x+1≥0x−1≠0，

解得：x≥−1且x≠1，

故答案为：x≥−1且x≠1.

14．【答案】−2【知识点】求代数式的值-整体代入求值【解析】【解答】∵2m−n=3，

∴4−4m+2n=4−2（2m−n）=4−2×3=4−6=−2，

故答案为：-2.

【分析】先将代数式4−4m+2n变形为4−4m+2n=4−2（2m−n），再将2m−n=3代入计算即可.15．【答案】8【知识点】勾股定理的应用【解析】【解答】设旗杆的高度为x米，则绳子的长为（x+2）米，

根据题意可得：（x+2）2=x2+62，

解得：x=8，

∴旗杆的高度为8米，

故答案为：8.

【分析】设旗杆的高度为x米，则绳子的长为（x+2）米，再利用勾股定理可得（x+2）2=x2+62，再求出x的值即可.16．【答案】3【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定（HL）；勾股定理的应用【解析】【解答】∵∠CED=∠CDE，

∴CE=CD，

∵∠CFE=∠CGD=90°，DG=CF，

∴Rt△CEF≌Rt△DCG（HL），

∴EF=CG，

∴AE=EH=EF=BF=CG=FG，

∵AB2=AE2+BE2=AE2+（2AE）2=（5）2，

∴AE=1，BE=2，

∴EH=DH=1，

∴DE=2，

连接CH交DE于点M，如图所示：

∴CH垂直平分DE，

∴DM=12DE=22，∠CMD=90°，

∴CM=CD2−DM2=322，

∴S△CDE=12DE×CM=12×2×322=17．【答案】解：(−13)−2+【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的性质与化简【解析】【分析】先利用负指数幂、二次根式的性质、0指数幂的性质化简，再计算即可.18．【答案】解：原式=x−3+4x−3⋅2(x−3)(x+1)2

=x+1x−3【知识点】分式的化简求值；分母有理化【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简可得2x+119．【答案】解：∵AB=3，BD=2，∴AD=AB2−B又∵∠ADC=90°，∴AC=AD2+C∴AC的值是6【知识点】勾股定理【解析】【分析】首先在Rt△ABD中，根据AB=3，BD=2，应用勾股定理，求出AD的长度是多少；然后在Rt△ACD中，根据AD、CD的长度，应用勾股定理，求出AC的值是多少即可．20．【答案】（1）解：∵x=3−13+1=(（2）解：∵x+y=4，xy=(2+3)(2−3)=1，

【知识点】分式的化简求值；分母有理化【解析】【分析】（1）先利用分母有理化将x、y化简，再将x、y的值代入x+y计算即可；

（2）先利用分式的加减法可得xy+yx+2=21．【答案】（1）解：学校会受到噪音影响，理由如下：

如图，过点A作AB⊥MN于点B，

∵AP=120米，∠QPN=30°，

∴AB=12AP=12×120=60(米)，

∵60米<100米，

∴（2）解：设从点E开始学校受到影响，点F结束，则AE=AF=100米，

∵AB⊥MN，

∴BE=BF，

在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE=AE2−AB2=1002−602=80(米)，

∴EF=2BE=2×80=160(米)，

【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理的应用【解析】【分析】（1）过点A作AB⊥MN于点B，利用含30°角的直角三角形的性质求出AB=12AP=22．【答案】（1）48（2）解：①∵燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.52元，

50×7.2a−48a=0.52，

解得：a=600，

∴50×7.2600=0.6(元)，

48600=0.08(元)，

答：燃油车的每千米行驶费用为0.6元，新能源车每千米行驶费用0.08元；

②设每年行驶里程为x千米，新能源车的年费用更低，根据题可得，

【知识点】用代数式表示实际问题中的数量关系；求代数式值的实际应用【解析】【解答】解：（1）∵新能源的总费用为：80×0.6=48（元），续航里程为a千米，

∴新能源车的每千米行驶费用是48a元，

故答案为：48a.

【分析】（1）先求出总费用，再利用“每千米的费用=总费用÷总里程”求解即可；

（2）①先根据“燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.52元”列出方程求出a的值，再将a的值分别代入燃油车和新能源每千米行驶费用的表达式求解即可；

②设每年行驶里程为x千米，根据题意列出不等式23．【答案】（1）解：证明：∵CD⊥AB，

∴∠ADC=∠BDC=90°，

∵AD=3，BD=163，CD=4，

∴AC=AD2+CD2=5，BC=（2）解：过点E作EF⊥AB，

∵∠ACB=90°，AE平分∠CAB，

∴CE=EF，

∵S△ABC=12×AC×CE+12×AB×EF=12×AC×BC，

∴5×EF+25【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理【解析】【分析】（1）先利用勾股定理求出AC和BC的长，再结合AB2=(AD+BD)2=6259可得24．【答案】（1）解：∵(x+y+z)2=3(xy+xz+yz)．

∴x+y+z+2xy+2xz+2yz=3xy+3yz+3xz，

∴x+y+z−xy−（2）解：∵xy+3y−x−10=0，

∴y=x+10x+3=1+7x+3，

∵x，y是整数，

∴x=−2或10（3）解：如图，

∵A(0，3)，B(−4，0)，

∴AB=5，

设C(0，a)，

①当AB=AC=5时，a=8或−2，

∴C(0，8)或(0，−2)；

②当AB=BC=5时，OA=OC，

∴C(0，−3)；

③当AC=BC时，点C在AB的垂直平分线上，过点C作CD⊥AB，

∴AD=BD=52，

∴∠AOB=∠ADC=90°，

∴△AOB∽△ADC，

∴ACAB=ADAO，即AC5=523，

解得AC=256，

（4）解：分别作点B关于AD，CD的对称点M，N，连接MN交AD，CD于点E，F连接BE，BF，

此时△BEF的周长最小，最小值为MN，延长AB，过点M作MH⊥AB，

∵AB=32，BC=1，

∴BM=2，BN=62，

∵∠ABC=135°，

∴∠HBM=45°，

∴△BHM是等腰直角三角形，

∴BH=HM=2，

∴HN=72，

在Rt△HMN中，MN=HN2（5）解：∵C=mx2+8x+2和D=−m(x+1)(x+n)=−mx2−(mn+m)x−mn；

∴C+D=(8−mn−m)x+(2−mn)，

∵C与D互为“对消多项式”且“对消值”为t，

∴8−mn−m=0，t=2−mn，

∴mn+m=8，mn=8−m，

∵a−b=m，b−c=mn，

∴a−c=(a−b)+(b−c)=m+mn=8，

∴a2+b2+c2−ab−bc−ac+2t

=12[(a−b)2【知识点】等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；相似三角形的判定与性质；定义新运算；配方法的应用；三角形的综合【解析】【分析】（1）将原式变形为(x−y)2+(x−z)2−(y−z)2=0，再利用非负数之和为0的性质可得x−y=0，x−z=0，y−z=0，再求出x=y=z，即可得到△ABC是等边三角形；

（2）将原式变形为y=x+10x+3=1+7x+3，再结合“x，y都是整数”求出x的值即可；

（3）设C(0，a)，分类讨论：①当AB=AC=5时，②当AB=BC=5时，③当AC=BC时，点C在AB的垂直平分线上，过点C作CD⊥AB，再分别求出a的值即可；

（4）分别作点B关于AD，CD的对称点M，

试题分析部分1、试卷总体分布分析总分：120分分值分布客观题（占比）39.0(32.5%)主观题（占比）81.0(67.5%)题量分布客观题（占比）13(54.2%)主观题（占比）11(45.8%)2、试卷题量分布分析大题题型题目量（占比）分值（占比）选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。10(41.7%)30.0(25.0%)填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。6(25.0%)18.0(15.0%)解答题：本题共8小题，共67分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。8(33.3%)72.0(60.0%)3、试卷难度结构分析序号难易度占比1普通(75.0%)2容易(12.5%)3困难(12.5%)4、试卷知识点分析序号知识点（认知水平）分值（占比）对应题号1求代数式的值-化简代入求值6.0(5.0%)4,102分式有意义的条件3.0(2.5%)133含30°角的直角