专题15 解直角三角形中的母抱子模型(解析版)2

专题15解直角三角形中的母抱子模型【模型展示】特点通过在三角形外作高AC，构造出两个直角三角形求解，其中公共边AC是解题的关键.在Rt△ABC和Rt△ADC中，AC为公共边，DC+BD=BC.结论“母包子”型的关键是找到两个直角三角形外的公共高【题型演练】一、单选题1．如图，胡同左右两侧是竖直的墙，一架米长的梯子BC斜靠在右侧墙壁上，测得梯子与地面的夹角为45°，此时梯子顶端B恰巧与墙壁顶端重合．因梯子阻碍交通，故将梯子底端向右移动一段距离到达D处，此时测得梯子AD与地面的夹角为60°，则胡同左侧的通道拓宽了（

）A．米 B．3米 C．米 D．米【答案】D【分析】根据等腰直角三角形的性质分别求出EC、EB，根据正切的定义求出DE，结合图形计算得到答案．【详解】解：在中，，（米，在中，，（米，米，故选：D．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．2．如图，在点F处，看建筑物顶端D的仰角为32°，向前走了15米到达点E即米，在点E处看点D的仰角为64°，则的长用三角函数表示为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根据题目条件，利用外角的性质，得出△DEF是等腰三角形，在Rt△DEC中，利用∠DEC的正弦即可表示出CD的长度．【详解】∵∠F=32°，∠DEC=64°，∴∠DEF=,∴,由题可知，△DCE为直角三角形，在Rt△DEC中，即：,∴,故选：C【点睛】本题考查三角形的外角，等腰三角形的性质，解直角三角形的运算，解题关键是利用三角形的外角得出等腰三角形．3．一天，小战和同学们一起到操场测量学校旗杆高度，他们首先在斜坡底部C地测得旗杆顶部A的仰角为45°，然后上到斜坡顶部D点处再测得旗杆顶部A点仰角为37°（身高忽略不计）．已知斜坡CD坡度i=1：2.4，坡长为2.6米，旗杆AB所在旗台高度EF为1.4米，旗台底部、台阶底部、操场在同一水平面上．则请问旗杆自身高度AB为（）米．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）A．10.2 B．9.8 C．11.2 D．10.8【答案】B【分析】如图，作交的延长线于，延长交的延长线于，作于．设，在中，根据，构造方程解决问题即可．【详解】解：如图，作DH⊥FC交FC的延长线于H，延长AB交CF的延长线于T，作DJ⊥AT于J．由题意四边形EFTB、四边形DHTJ是矩形，∴BT=EF=1.4米，JT=DH，在Rt△DCH中，∵CD=2.6米，=，∴DH=1（米），CH=2.4（米），∵∠ACT=45°，∠T=90°，∴AT=TC，设AT=TC=x．则DJ=TH=（x+2.4）米，AJ=（x﹣1）米，在Rt△ADJ中，∵tan∠ADJ==0.75，∴=0.75，解得x=2，∴AB=AT﹣BT=AT﹣EF=11.2﹣1.4=9.8（米），故选：B．【点睛】本题考查解直角三角形的应用测量高度问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，要熟练掌握仰角，坡度等概念，为中考常见题型．4．如图，在处测得点在北偏东方向上，在处测得点在北偏东方向上，若米，则点到直线距离为（

）．A．米 B．米 C．米 D．米【答案】B【分析】设点到直线距离为米，根据正切的定义用表示出、，根据题意列出方程，解方程即可．【详解】解：设点到直线距离为米，在中，，在中，，由题意得，，解得，（米，故选：．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义、正确标注方向角是解题的关键．二、填空题5．如图所示，为了测量出某学校教学大楼的高度，数学课外小组同学在处，测得教学大楼顶端处的仰角为45°；随后沿直线向前走了15米后到达处，在处测得处的仰角为30°，已知测量器高1米，则建筑物的高度约为______米．（参考数据：，，结果按四舍五入保留整数）【答案】21【分析】设AG=x米，由∠AEG=45°得EG=AG=x，FG=EG+EF=x+15，根据利用特殊角三角函数值可得关于x的方程，解之可得答案．【详解】解：由题意可得四边形FDCE，四边形ECBG，四边形FDBG均为矩形设AG=x米，由∠AEG=45°得EG=AG=x，FG=EG+EF=x+15，在Rt△AFG中，解得：∴故答案为：21【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是利用数形结合的思想找出各边之间的关系，然后找出所求问题需要的条件．6．永定塔是北京园博园的标志性建筑，其外观为辽金风格的八角九层木塔，游客可登至塔顶，俯瞰园博园全貌．如图，在A处测得∠CAD＝30°，在B处测得∠CBD＝45°，并测得AB＝52米，那么永定塔的高CD约是_____米．（≈1.4，≈1.7，结果保留整数）【答案】74【分析】首先证明BD＝CD，设BD＝CD＝x，在Rt△ACD中，由∠A＝30°，推出AD＝CD，由此构建方程即可解决问题．【详解】如图，∵CD⊥AD，∠CBD＝45°，∴∠CDB＝90°，∠CBD＝∠DCB＝45°，∴BD＝CD，设BD＝CD＝x，在Rt△ACD中，∵∠A＝30°，∴AD＝CD，∴52+x＝x，∴x＝≈74（m），故答案为74，【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．7．如图，在一笔直的海岸线上有相距的两个观测站，站在站的正东方向上，从站测得船在北偏东的方向上，从站测得船在北偏东的方向上，则船到海岸线的距离是________．【答案】【分析】过点C作CD⊥AB于点D，然后根据等腰三角形和判定和性质以及解直角三角形的应用即可求出答案．【详解】过点C作CD⊥AB于点D，根据题意得：∠CAD=90°-60°=30°，∠CBD=90°-30°=60°，∴∠ACB=∠CBD-∠CAD=30°，∴∠CAB=∠ACB，∴BC=AB=4km，在Rt△CBD中，∴CD=BC•sin60°()∴船C到海岸线的距离是．故答案为：．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质以及解直角三角形的应用－方向角问题，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义．8．如图，为了测量某条河的宽度，先在河的一岸边任选一点A，又在河的另一岸边取两个点B、C，测得∠a=30°，∠β=45°，量得BC的长为200米，则河的宽度为_________．（结果保留根号）【答案】（+1）m【分析】直接过点A作AD⊥BC于点D，利用tan30°==，进而得出答案．【详解】过点A作AD⊥BC于点D，∵∠β=45°，∠ADC=90°，∴AD=DC，设AD=DC=xm，则tan30°=，解得：x=100（+1），答：河的宽度为100（+1）m．故答案是：100（+1）m．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用、特殊角的的三角函数值，正确得出AD=CD是解题关键．9．如图，校园内有一棵与地面垂直的树，数学兴趣小组两次测量它在地面上的影子，第一次是阳光与地面成60°角时，第二次是阳光与地面成30角时，已知两次测量的影长相差8米，则树高AB为多少？___．（结果保留根号）【答案】米【分析】设，利用正切的定义以及特殊角的正切值，表示出和，然后求解即可．【详解】解：设米在中，，则在中，，则，即，解得即米故答案为米【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，涉及正切的定义，解题的关键是掌握正切三角函数的定义以及特殊角的正切值．三、解答题10．某数学兴趣小组学过锐角三角函数后，计划测量中原福塔的总高度．如图所示，在B处测得福塔主体建筑顶点A的仰角为45°，福塔顶部桅杆天线AD高120m，再沿CB方向前进20m到达E处，测得桅杆天线顶部D的仰角为53.4°．求中原福塔CD的总度．（结果精确到1m．参考数据：sin53.4°≈0.803，cos53.4°≈0.596．tan53.4°≈1.346）【答案】中原福塔CD的总高度约为389m．【分析】设AC为xm，则CD=（x+120）m，在Rt△ACB中，可得BC=AC=x，从而得到CE=x+20，然后在Rt△DCE中，利用锐角三角函数，可得到tan∠DEC=，即可求解．【详解】解：如图，设AC为xm，则CD=（x+120）m，在Rt△ACB中，∠ABC=45°，∴BC=AC=x，∴CE=x+20，在Rt△DCE中，tan∠DEC=，∠DEC=53.4°，即≈1.346，解得：x≈269.0，∴CD=x+120=389.0≈389米，答：中原福塔CD的总高度约为389m．【点睛】本题主要考查了解直角三角形及其应用，明确题意，熟练掌握锐角三角函数关系是解题的关键．11．如图，在数学综合实践活动中，某小组想要测量某条河的宽度，小组成员在专业人员的协助下利用无人机进行测量，在处测得，两点的俯角分别为45°和30°（即，）．若无人机离地面的高度为120米，且点，，在同一水平直线上，求这条河的宽度．（结果精确到1米）．（参考数据：，）【答案】88米【分析】在Rt△APQ和Rt△BPQ中，利用锐角三角函数，用PQ表示出AQ、BQ的长，然后计算出AB的长．【详解】解：，，，在Rt△APQ中，，，（米），在Rt△BPQ，，（米），（米），答：这条河的宽度约为88米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角、俯角问题．解决本题的关键是用含PQ的式子表示出AQ和BQ．12．如图，某大楼的顶部竖有一块宣传牌，小明在斜坡的坡脚处测得宣传牌底部的仰角为，沿斜坡向上走到处测得宣传牌顶部的仰角为，已知斜坡的坡度，米，米，求宣传牌的高度．（测角器的高度忽略不计，参考数据：，，【答案】宣传牌的高度为2米．【分析】过E分别作CD、AC的垂线，设垂足为F、C，则CF=EG，CG=EF，然后在、、中解直角三角形即可．【详解】解：过分别作、的垂线，设垂足为、，则，，在中，斜坡的坡度，米，设米，米，，，米，米，在中，，米，（米），在中，（米），（米）．答：宣传牌的高度为2米．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用-仰角、俯角问题，正确作出辅助线、构建直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．13．如图，山顶上有一个信号塔AC，已知信号塔高AC＝16米，在山脚下点B处测得塔底C的仰角是30°，塔顶A的仰角是45°，求山高CD（点A，C，D在同一条竖直线上）．（结果保留根号）【答案】【分析】分别解和，得到、，根据即可求解．【详解】解：在中，，∴，在中，，∴，∵，∴，解得，∴．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，掌握正切的定义是解题的关键．14．二七纪念塔位于郑州市二七广场，是独特的仿古，它是为纪念京汉铁路工人大罢工而修建的纪念性建筑物．学完三角函数知识后，某校”数学社团”的刘明和王华决定用自己学到的知识测量二七纪念塔的高度．如图，CD是高为1米的测角仪，在D处测得塔顶端A的仰角为，向塔方向前进38米在E处测得塔顶端A的仰角为，求二七纪念塔AB的高度（精确到1米，参考数据）．【答案】二七纪念塔AB的高度约为62米【分析】由题意根据正切的定义分别用AG表示出，进而根据列出算式求出AG的长，计算即可．【详解】解：在中，，，在中，，，，，，．答：二七纪念塔AB的高度约为62米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握仰角俯角的概念以及熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．15．如图，某轮船在海上向正东方向航行，在点处测得小岛在北偏东方向，之后轮船继续向正东方向行驶到达处，这时小岛在船的北偏东方向海里处．（1）求轮船从处到处的航速．（2）如果轮船按原速继续向正东方向航行，再经过多少时间轮船才恰好位于小岛的东南方向？【答案】（1）海里/小时．（2）小时．【分析】（1）过作，利用特殊三角函数解直角三角形，分别求得OC、BC、AC的长，进而可求得AB的长，再根据速度=路程÷时间解答即可；（2）如图，根据题意可判断△OCD为等腰直角三角形，则CD=OC，进而可得BD的长，再由时间=路程除速度求解即可．【详解】（1）过作，由题意得海里，，，（海里），（海里），（海里），（海里），速度：（海里/小时）．（2）如图，由题意，，点在的东南方向，∴△OCD为等腰直角三角形，∴（海里），（海里），（小时），经过小时后到达．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，特殊角的三角函数值，理解方位角的概念，熟练运用三角函数解直角三角形是解答的关键．16．如图，在一次空中表演中，水平飞行的歼——10飞机在点发现航展观礼台在俯角为21°方向上.飞机继续向前飞行了800米到达点.此时测得点在点俯角为45°的方向上.请你计算当飞机飞到点的正上方点时（点、、在同一直线上），竖直高度约为多少米？（结果保留整数，参考数值：，，）【答案】竖直高度约为490米．【分析】根据题意直接利用解直角三角形的方法进行求解即可．【详解】解：如图：∴∵∴∵∴∴．答：竖直高度约为490米．【点睛】本题主要考查解直角三角形，关键是根据题意利用三角函数进行求解即可．17．科技改变生活，时代将对我们的生活产生意想不到的改变．某数学兴趣小组要测量信号塔的高度，如图，在起点处用高米(米)的测量仪测得信号塔的顶端的仰角为，在同一剖面沿水平地面向前走米到达处，测得顶端的仰角为，求信号塔的高度约为多少米?(精确到米．参考数据：)【答案】该信号塔的高度约为米【分析】本题首先假设AB的长度为x，继而表示BE的长度，利用正切三角函数表示DE，进一步表示CE，最后再次利用正切三角函数列式求解．【详解】由已知得：，，设为米，则米，在中，，，，在中，．，求解得：（米）．故该信号塔的高度约为米．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，解题关键在于对各种三角函数概念的理解，并结合具体图形情况，适时选取合适的三角函数以提升解题效率．18．小明和小华进行社会实践活动时，想利用所学的知识测量某旗杆AB的高度．小明站在点D处利用测倾器测得旗杄顶端A的仰角为45°，小华在BD之间放置一个镜子，并调整镜子的位置，当镜子恰好放在点E处时，位于点D处的小明正好在镜子中看到旗杆顶端A，此时DE的距离为1.4米，已知测倾器的高为1.75米．请你根据以上信息，计算旗杆AB的高度．【答案】旗杆AB的高度为15.75米【分析】过点C作CF⊥AB于点F，可得四边形FBDC是矩形，根据入射角等于反射角可得，∠CED＝∠AEB，所以tan∠CED＝tan∠AEB，进而可求AF的长，最后求出AB的长．【详解】解：如图，过点C作CF⊥AB于点F，可得四边形FBDC是矩形，∴FB＝CD＝1.75，FC＝BD＝BE+1.4，根据题意，得∠ACF＝45°，∴AF＝CF，根据入射角等于反射角可知：∠CED＝∠AEB，∴tan∠CED＝tan∠AEB，∴，∴，∵AF＝FC，∴解得AF＝14，∴AB＝AF+FB＝14+1.75＝15.75（米）．答：旗杆AB的高度为15.75米．【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，涉及到入射角和反射角的问题，能够正确理解正切的含义是解题的关键．19．周日，妈妈带小岚到商场的攀岩墙处玩耍如图，是一攀岩墙，小岚从攀岩墙底部处向上攀爬，妈妈站在距离攀岩墙的处，当他到达处时，妈妈看向他的仰角为，当他到达墙顶处时，妈妈看向他的仰角为(小岚妈妈的身高均忽略不计)，此时攀岩教练开始释放手中的绳子，使小岚以的速度下落到处，再减速下落到地面，则他从处下落到处需要多长时间?(结果保留整数，参考数据：)

【答案】小岚从处下落到处需要【分析】在中，利用三角函数解直角三角形可得CD；在中，利用三角函数解直角三角形可得AD，进而得到AC的长度，即可求解．【详解】解：根据题意可知，在中，即∴（m）在中，即答：小岚从处下落到处需要．【点睛】此题主要考查利用三角形函数解直角三角形，熟练掌握锐角的三角函数概念是解题关键．20．炎黄二帝巨型塑像位于河南省郑州市西北部三十公里之处的黄河风景名胜区向阳山（始祖山）上，炎黄二帝巨塑背依邙山，面向黄河．数学活动小组的同学为测量像体的整体高度，在地面上选取两点和，且点，及其中像体在同一平面内，像体底部与点，在同一条直线上，同学们利用高1m的测倾仪在处测得像顶的仰角为，在处测得像顶的仰角为，且．根据测量小组提供的数据，求该塑像的高度．（结果精确到1m，参考数据：，，．）【答案】该塑像的高度约为．【分析】延长CD交MN于E，则CE⊥MN，NE=BD=AC=1m，∠MDE=45°，∠MCE=35°，CD=AB=45m，在Rt△DEM中，求出ME=DE，在Rt△CEM中，利用勾股定理求出ME的长，即可得出答案．【详解】延长交于，如图所示：由题意得：，，，，在中，，∴，在中，，∴，解得：，∴；答：该塑像的高度约为．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角问题；通过作辅助线得出直角三角形，正确求解是解题的关键．21．如图，某楼房顶部有一根天线，为了测量天线的高度，在地面上取同一条直线上的三点，，，在点处测得天线顶端的仰角为，从点走到点，测得米，从点测得天线底端的仰角为，已知，，在同一条垂直于地面的直线上，米．（1）求与之间的距离；（2）求天线的高度．（参考数据：，结果保留整数）【答案】（1）之间的距离为30米；（2）天线的高度约为27米．【分析】（1）根据题意，∠BAD=90°，∠BDA=45°，故AD=AB，已知CD=5，不难算出A与C之间的距离．（2）根据题意，在中，，利用三角函数可算出AE的长，又已知AB，故EB即可求解．【详解】（1）依题意可得，在中，，米，米，米.即之间的距离为30米．（2）在中，，米，（米），米，米．由．并精确到整数可得米．即天线的高度约为27米．【点睛】（1）本题主要考查等腰直角三角形的性质，掌握等腰直角三角形的性质是解答本题的关键．（2）本题主要考查三角函数的灵活运用，正确运用三角函数是解答本题的关键．22．为了维护我国海洋权力，海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理．如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时60海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东方向上，海监船继续向东航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东方向上．（1）求B处到灯塔P的距离；（2）已知灯塔P的周围50海里内有暗礁，若海监船继续向正东方向航行是否安全？【答案】（1）B处到灯塔P的距离为60海里；（2）海监船继续向正东方向航行是安全的【分析】（1）作PD⊥AB于D．求出∠PAB、∠PBA、∠P的度数，证得△ABP为等腰三角形，即可解决问题；（2）在Rt△PBD中，解直角三角形求出PD的值即可判定．【详解】（1）过点P作PD⊥AB于点D，由题意得，AB=60（海里），∠PAB=30°，∠PBD=60°，∴∠APB=∠PBD-∠PAB=60°-30°=30°=∠PAB，∴PB=AB=60（海里），答：B处到灯塔P的距离为60海里；（2）由（1）可知∠APB=∠PAB=30°，∴PB=AB=60（海里）在Rt△PBD中，PD=BPsin60°60（海里），∵，∴海监船继续向正东方向航行是安全的．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，正确根据题意画出图形、准确标注方向角、熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．23．如图，在港口A处的正东方向有两个相距的观测点B、C，一艘轮船从A处出发，北偏东方向航行至D处，在B、C处分别测得，求轮船航行的距离AD(参考数据：，，，，，）【答案】20km【分析】过点作，垂足为，通过解和得和，根据求得DH，再解求得AD即可．【详解】解：如图，过点作，垂足为在中，在中，在中，（km）因此，轮船航行的距离约为【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，锐角三角函数，勾股定理．作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．24．位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道上架设测角仪，先在点处测得观星台最高点的仰角为，然后沿方向前进到达点处，测得点的仰角为．测角仪的高度为，求观星台最高点距离地面的高度(结果精确到．参考数据：)；“景点简介”显示，观星台的高度为，请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议．【答案】（1）12.3m；（2）0.3m，多次测量，求平均值【分析】（1）过点A作AE⊥MN交MN的延长线于点E，交BC的延长线于点D，根据条件证出四边形BMNC为矩形、四边形CNED为矩形、三角形ACD与三角形ABD均为直角三角形，设AD的长为xm，则CD=AD=xm，BD=BC+CD=（16+x）m，在Rt△ABD中，解直角三角形求得AD的长度，再加上DE的长度即可；（2）根据（1）中算的数据和实际高度计算误差，建议是多次测量求平均值．【详解】解：（1）如图，过点A作AE⊥MN交MN的延长线于点E，交BC的延长线于点D，设AD的长为xm，∵AE⊥ME，BC∥MN，∴AD⊥BD，∠ADC=90°，∵∠ACD=45°，∴CD=AD=xm，BD=BC+CD=（16+x）m，由题易得，四边形BMNC为矩形，∵AE⊥ME，∴四边形CNED为矩形，∴DE=CN=BM=，在Rt△ABD中，，解得：，即AD=10.7m，AE=AD+DE=10.7+1.6=12.3m，答：观星台最高点距离地面的高度为12.3m．（2）本次测量结果的误差为：12.6-12.3=0.3m，减小误差的合理化建议：多次测量，求平均值．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．25．学完三角函数知识后，某校