浙江省温州市台州第一中学高三数学理联考试题含解析

浙江省温州市台州第一中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若函数

(ω>0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω=

A．3

B．2

C．

D．参考答案：C

本题考查了三角函数的单调性以及取得最值的条件，难度中等。.由条件易知，，又，因此.故选C.2.若平面α,β满足α⊥β,α∩β=l,P∈α,Pl,则下列命题中是假命题的为（）A．过点P垂直于平面α的直线平行于平面βB．过点P垂直于直线l的直线在平面α内C．过点P垂直于平面β的直线在平面α内D．过点P在平面α内作垂直于l的直线必垂直于平面β参考答案：B略3.已知关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的的值之和是A.13 B.18 C.21 D.26参考答案：C4.已知单位向量的夹角是，那么=（

）

参考答案：B5.设函数f（x）=﹣，[x]表示不超过x的最大整数，则y=[f（x）]的值域是（）A．{0，1} B．{0，﹣1} C．{﹣1，1} D．{1，1}参考答案：B【考点】函数的值域．【分析】对f（x）进行化简，可得f（x）=﹣=﹣，分析讨论求出其值域，再根据定义，[x]表示不超过x的最大整数，进行求解；【解答】解：函数f（x）=﹣，[x]表示不超过x的最大整数，∴f（x）=﹣，分析可得，﹣＜f（x）＜，∴[f（x）]={0，﹣1}，故选B；6.等差数列的前项和为，若，且，则(

)A.10

B.20

C.30

D.40参考答案：A7.△ABC中，若sinB既是sinA，sinC的等差中项，又是sinA，sinC的等比中项，则∠B的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．90°参考答案：C略8.在数列中，“对任意的，”是“数列为等比数列”的（

）（A）充分而不必要条件

（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件

（D）既不充分也不必要条件参考答案：B9.在△ABC中，若b=2，A=120°，三角形的面积S=，则三角形外接圆的半径为（）A． B．2 C．2 D．4参考答案：B【考点】正弦定理．【分析】由条件求得c=2=b，可得B的值，再由正弦定理求得三角形外接圆的半径R的值．【解答】解：△ABC中，∵b=2，A=120°，三角形的面积S==bc?sinA=c?，∴c=2=b，故B==30°．再由正弦定理可得=2R==4，∴三角形外接圆的半径R=2，故选：B．10.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，则不同的赠送方法共有(A)4种

(B)10种

(C)18种

(D)20种参考答案：B本题主要考查了排列组合和均匀分组问题.难度不大.分给4人可以是2本画册2本集邮册，分法为,还可以1本画册3本集邮册，分法为,所以分法有10种。二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.的展开式中的系数等于

参考答案：1512.不等式对于任意非零实数，均成立，则实数的最大值为

▲

.参考答案：，设，（）得：无解，所以，即的最大值为

13.已知为实数集，集合，则=___▲_.参考答案：14.设为实数，定义{}为不小于的最小整数，例如{5.3}=6，{-5.3}=-5，则关于的方程{3+4}=2+的全部实根之和为

．参考答案：-615.（选修4—4坐标系与参数方程）已知点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值是

.参考答案：16.某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月2日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时至12时的销售额为

万元．参考答案：10【考点】频率分布直方图．【分析】由直方图可以看出11时至12时的销售额应为9时至10时的销售额的4倍，利用9时至10时的销售额即可求出11时至12时的销售额【解答】解：由直方图可以看出11时至12时的销售额应为9时至10时的销售额的4倍，因为9时至10时的销售额为2.5万元，故11时至12时的销售额应为2.5×4=10，故答案为：10．17.已知复数z1，z2满足|z1|≤1，﹣1≤Rez2≤1，﹣1≤Imz2≤1，若z=z1+z2，则z在复平面上对应的点组成的图形的面积为．参考答案：12+π【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】数系的扩充和复数．【分析】由题意设出z1、z2，结合z=z1+z2得到z的轨迹（x﹣a）2+（y﹣b）2=1，由圆心变化得到z所对应点的图形，则面积可求．【解答】解：∵复数z1，z2满足|z1|≤1，﹣1≤Rez2≤1，﹣1≤Imz2≤1，则可设z1=cosθ+isinθ，z2=a+bi（﹣1≤a≤1，﹣1≤b≤1），由z=z1+z2，得z=（a+cosθ）+（b+sinθ）i，设z=x+yi，则，∴（x﹣a）2+（y﹣b）2=1．当a，b变化时，z点的轨迹如图：则z在复平面上对应的点组成的图形的面积为：图中内部边长为2的正方形面积+四个长为2宽为1的长方形面积+四个四分之一圆的面积．等于．故答案为：12+π．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查数形结合的解题思想方法，关键是对题意的理解，属中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数．（1）求证：f（x）≥2；（2）若f（2）＜4，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）由条件利用绝对值三角不等式求得f（x）≥|a|+||，再利用基本不等式证得|a|+||≥2，从而证得结论．（2）f（2）＜3，即|2+|+|2﹣a|＜3，再分类讨论求得a的范围，综合可得结论．【解答】（1）证明：由a＞0，得|x+|+|x﹣a|≥|（x+）﹣（x﹣a）|=|+a|=+a≥2，即f（x）≥2．（2）解：由f（2）＜4，得|2+|+|2﹣a|＜4，①当0＜a＜2时，|2+|+|2﹣a|＜4，故2++2﹣a＜4，解得：1＜a＜2，②当a≥2时，|2+|+||2﹣a|＜4，故2++2﹣a＜4，解得：2≤a＜2+，综上得：1＜a＜2+，即实数a的取值范围是（1，2+）．19.在某海域，以点E为中心的7海里以内海域是危险区域，点E正北55海里处有一个雷达观察站A，某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东且与点A相距海里的位置B，经过40分钟又测得该船只已行驶到点A北偏东（其中，）且与A相距海里的C．

（1）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；（2）若该船不改变方向继续行驶，判断它是否会进入危险水域．并说明理由．参考答案：（1）如图．．；，由余弦定理得：行驶速度为（海里/小时）（2）以A为坐标原点，建立直角坐标系．设

，BC与x轴交点为D由题：

经过BC的直线斜率为，直线BC的方程为又点到直线的距离船会进入危险水域．20.已知函数．（1）当a=2时，解不等式；（2）设不等式的解集为M，若，求实数a的取值范围．参考答案：（1）当时，原不等式可化为，

……1分①当时，，解得，所以；…………2分②当时，，解得，所以；…3分③当时，，解得，所以．…………4分综上所述，当时，不等式的解集为．

…………5分（2）不等式可化为，依题意不等式在上恒成立，……………6分所以，即，即，…………8分所以，解得，故所求实数的取值范围是．

………………10分21.（本小题满分13分）某幼儿园准备建一个转盘,转盘的外围是一个周长为米的圆.在这个圆上安装座位,且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连。经预算,转盘上的每个座位与支点相连的钢管的费用为元/根,且当两相邻的座位之间的圆弧长为米时,相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为元.假设座位等距分布,且至少有两个座位,所有座位都视为点,且不考虑其他因素,记转盘的总造价为元.(1)试写出关于的函数关系式,并写出定义域;(2)当米时,试确定座位的个数,使得总造价最低?参考答案：（1）设转盘上共有个座位，则，

……3分定义域

……5分（2），令

……9分

…13分22.（本小题满分13分）已知数列满足，，且．（1）求证：数列是等差数列；（2）设，求数列的前项和公式．参考答案：（1）∵依题意只需证明，………1分

∵∴

∴只需证………3分

即只需证，即只需证

即只需证或………5分

∵不符合∴只需证

显然数列是等差数列，且满足，以上各步都可逆

∴数列是等差数列………………7分（2）由（1）可知，∴………