河北省秦皇岛市启明高级中学高三数学文测试题含解析

河北省秦皇岛市启明高级中学高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知实数满足，则下列关系式恒成立的是（

）A．

B.C.

D.参考答案：【知识点】指数函数的图像与性质．L4

【答案解析】A

解析：∵实数满足，∴x＞y，A．当x＞y时，，恒成立，B．当x=π，y=时，满足x＞y，但不成立．C．若，则等价为x2＞y2成立，当x=1，y=﹣1时，满足x＞y，但x2＞y2不成立．D．若，则等价为x2+1＜y2+1，即x2＜y2，当x=1，y=﹣1时，满足x＞y，但x2＜y2不成立．故选：A．【思路点拨】本题主要考查不等式的大小比较，利用函数的单调性的性质是解决本题的关键．2.若两个函数的图象有一个公共点，并在该点处的切线相同，就说明这两个函数有why点，已知函数f（x）=lnx和g（x）=ex+m有why点，则m所在的区间为（）A．（﹣3，﹣e） B．（﹣e，﹣） C．（﹣，﹣） D．（﹣，﹣2）参考答案：C【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】新定义；函数的性质及应用；导数的概念及应用．【分析】设f（x）和g（x）的公共点为（a，b），（a＞0），求导数，建立方程组，求得alna=1，确定a的范围，再由m=﹣lna﹣a=﹣（a+）确定单调递增，即可得到m的范围．【解答】解：设f（x）和g（x）的公共点为（a，b），（a＞0），函数f（x）=lnx的导数为f′（x）=，g（x）=ex+m有的导数为g′（x）=ex+m，即有=ea+m，lna=ea+m，即为alna=1，令h（a）=alna﹣1，可得h（）=ln﹣1＜0，h（2）=2ln2﹣1＞0，即有＜a＜2，则m=﹣lna﹣a=﹣（a+）∈（﹣，﹣），而﹣＞﹣，故选C．【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，解题的关键是分离参数，确定函数的单调性，属于中档题．3.阅读材料：空间直角坐标系O﹣xyz中，过点P（x0，y0，z0）且一个法向量为=（a，b，c）的平面α的方程为a（x﹣x0）+b（y﹣y0）+c（z﹣z0）=0；过点P（x0，y0，z0）且个方向向量为=（u，v，w）（uvw≠0）的直线l的方程为==，阅读上面材料，并解决下面问题：已知平面α的方程为3x﹣5y+z﹣7=0，直线l是两个平面x﹣3y+7=0与4y+2z+1=0的交线，则直线l与平面α所成角的大小为（）A．arcsin B．arcsin C．arcsin D．arcsin参考答案：A【考点】直线与平面所成的角．【分析】求出直线l的方向向量，平面α的法向量即可．【解答】解：∵平面α的方程为3x﹣5y+z﹣7=0，∴平面α的法向量可取平面x﹣3y+7=0的法向量为，平面4y+2z+1=0的法向量为，设两平面的交线的方向向量为，由取，则直线l与平面α所成角的大小为θ，sinθ=|cos|=．∴，故选A．4.已知是第四象限角，，则（

）A.－5

B.5

C.－7

D.7参考答案：D【分析】先根据的正弦值和角所在的象限，求得的值，根据两角差的正切公式求得所求表达式的值.【详解】因为，且为第四象限角，则，，故选D.所以.【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查两角差的正切公式，属于基础题.5.已知函数，且，若关于的方程有3个不同实根，则实数k的取值范围是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C6.下列四种说法中，①命题“存在x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“对于任意x∈R，x2﹣x＜0”；②命题“p且q为真”是“p或q为真”的必要不充分条件；③已知幂函数f（x）=xα的图象经过点（2，），则f（4）的值等于；④已知向量=（3，﹣4），=（2，1），则向量在向量方向上的投影是．说法错误的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C【考点】命题的真假判断与应用．【分析】命题①是考查特称命题的否定，特称命题的否定是全称命题；命题②先由“p且q为真”推出p、q的真假，然后判断“p或q”的真假，反之再加以判断；命题③直接把点的坐标代入幂函数求出α，然后在幂函数解析式中取x=4求值；命题④向量在向量的方向上的投影为：，即可得出结论．【解答】解：①命题“存在x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“对于任意x∈R，x2﹣x≤0”，故①不正确；②命题“p且q为真”，则命题p、q均为真，所以“p或q为真”．反之“p或q为真”，则p、q不见得都真，所以不一定有“p且q为真”所以命题“p且q为真”是“p或q为真”的充分不必要条件，故命题②不正确；③由幂函数f（x）=xα的图象经过点（2，），所以2α=，所以α=﹣，所以幂函数为f（x）=，所以f（4）=，所以命题③正确；④∵向量=（3，﹣4），=（2，1），∴?=3×2+（﹣4）×1=2，||=，∴向量在向量的方向上的投影为：=，故④不正确．故选：C．7.已知某几何体的三视图如右图所示，其中俯视图是圆，且该几何体的体积为；直径为2的球的体积为．则A．

B． C．

D．参考答案：C8.不等式组的解集为(

)A.

B.

C.

D.参考答案：C 9.若展开式的常数项为（

）A.120

B.160

C.200

D.240参考答案：B10.《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现有一月（按30天计），共织390尺布”，则该女最后一天织多少尺布？（）A．18 B．20 C．21 D．25参考答案：C【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】设出等差数列的公差，由题意列式求得公差，再由等差数列的通项公式求解．【解答】解：设公差为d，由题意可得：前30项和S30=390=30×5+d，解得d=．∴最后一天织的布的尺数等于5+29d=5+29×=21．故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在等比数列中，若公比q=4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式__________．参考答案：略12.已知函数f(x)＝3sin(ω＞0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x∈，则f(x)的取值范围是________．参考答案：13.如图，在直三棱柱中，，

，，则异面直线与所成角的

大小是

（结果用反三角函数值表示）．参考答案：答案：解析：异面直线与所成角为，易求，。14.若复数在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数a=

．参考答案：1复数,在复平面内所对应的点在虚轴上，所以，解得.答案为：1.

15.若在△ABC中，，则△ABC的形状为_________参考答案：等腰直角三角形略16.圆x2+y2=1的切线与椭圆+=1交于两点A，B，分别以A，B为切点的+=1的切线交于点P，则点P的轨迹方程为．参考答案：

【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】设圆的切线方程为：y=kx+b，A（x1，x2），B（x2，y2），则1+k2=b2，圆的切线PA、PB的方程分别为：3x1x+4y1y=12、3x2x+4y2y=12、求出交点即点P的参数方程为﹣，利用1+k2=b2消去k、b【解答】解：设圆的切线方程为：y=kx+b，A（x1，x2），B（x2，y2），则1+k2=b2，椭圆的切线PA、PB的方程分别为：3x1x+4y1y=12、3x2x+4y2y=12，则PA，PB的交点的纵坐标yp=…代入3x1x+4y1y=12得PA，PB的交点的横坐标xp=；即点P的参数方程为﹣，利用1+k2=b2消去k、b得，故答案为：．17.设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y的最小值为

。参考答案：7略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=．（1）证明：BC1∥平面A1CD；（2）求异面直线BC1和A1D所成角的大小；（3）当AB=时，求三棱锥C﹣A1DE的体积．参考答案：【考点】：棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：（1）连接AC1与A1C相交于点F，连接DF，利用矩形的性质、三角形中位线定理可得：DF∥BC1，再利用线面平行的判定定理即可证明．（2）由（1）可得∠A1DF或其补角为异面直线BC1和A1D所成角．不妨取AB=2，在△A1DF中，由余弦定理即可得出．（3）利用面面垂直的性质定理可得：CD⊥平面ABB1A1，利用=﹣S△BDE﹣﹣可得，再利用三棱锥C﹣A1DE的体积V=即可得出．（1）证明：连接AC1与A1C相交于点F，连接DF，由矩形ACC1A1可得点F是AC1的中点，又D是AB的中点，∴DF∥BC1，∵BC1?平面A1CD，DF?平面A1CD，∴BC1∥平面A1CD；（2）解：由（1）可得∠A1DF或其补角为异面直线BC1和A1D所成角．不妨取AB=2，═==1，A1D===，=1．在△A1DF中，由余弦定理可得：cos∠A1DF==，∠A1DF∈（0，π），∴∠A1DF=，∴异面直线BC1和A1D所成角的大小；（3）解：∵AC=BC，D为AB的中点，∴CD⊥AB，∵平面ABB1A1∩平面ABC=AB，∴CD⊥平面ABB1A1，CD==．=﹣S△BDE﹣﹣=﹣﹣﹣=，∴三棱锥C﹣A1DE的体积V===1．【点评】：本题考查了直三棱柱的性质、矩形的性质、三角形中位线定理、线面平行的判定定理、异面直线所成角、余弦定理、勾股定理、线面面面垂直的性质定理、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.（12分）已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且b2+c2=a2+bc，求：（1）2sinBcosC﹣sin（B﹣C）的值；（2）若a=2，求△ABC周长的最大值．参考答案：（1）∵b2+c2=a2+bc，∴a2=b2+c2﹣bc，结合余弦定理知cosA===，又A∈（0，π），∴A=，（4分）∴2sinBcosC﹣sin（B﹣C）=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sin[π﹣A]=sinA=；（6分）（2）由a=2，结合正弦定理得：====，∴b=sinB，c=sinC，（8分）则a+b+c=2+sinB+sinC=2+sinB+sin（﹣B）=2+2sinB+2cosB=2+4sin（B+），（12分可知周长的最大值为6．20.（本小题满分10分）【选修4—4：坐标系与参数方程】在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），为上的动点，点满足，点的轨迹为曲线．（1）求的方程；（2）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与的异于极点的交点为，与的异于极点的交点为，求．参考答案：（1）设,则由条件知().由于点在上，所以即从而的参数方程为（为参数）（2）曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为。射线与的交点的极径为，射线与的交点的极径为。所以.21.已知函数正周期为.(1)当时，求函数的最大值与最小值：(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，求sinC．参考答案：（1）最大值为2，最小值为.（2）【分析】（1）先化简函数为标准型，结合周期可得，从而可求最值；（2）先根据求出A，结合条件及余弦定理可得关系，利用正弦定理可求sinC.【详解】解：（1）

因为最小正周期为，所以，可得，

故，当时，，

所以当时，最大值为，当时，最小值为.（2）由可得，，因为，所以，,

由余弦定理知，，又，可得，解得，，

由正弦定理知，，.【点睛】本题主要考查三角函数的性质及解三角形问题，三角函数性质问题的关键是化简，注意公式的使用，侧重考查数学运算的核心素养.22.如图所示，在四面体ABCD中，AD=1，CD=3，AC=2，cosB=．（1）求△ACD的面积；（2）若BC=2，求AB的长．参考答案：【考点】余弦定理．【分析】（1