河北省邯郸市武安徘徊镇中学高三数学理下学期摸底试题含解析

河北省邯郸市武安徘徊镇中学高三数学理下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.对于函数，，“的图象关于轴对称”是“是奇函数”的（

）A．充分不必要条件

B.充要条件

C.必要不充分条件

D.即不充分也不必要条件参考答案：C2.设集合，则＝（

）A．

B．

C．

D．R参考答案：B略3.已知函数为非零常数，则的图像满足（

）A．关于点对称

B．关于点对称C．关于原点对称

D．关于直线轴对称参考答案：A4.命题“”的否定是（）A．

B．C．成立

D．成立参考答案：D5.一条光线沿直线照射到轴后反射，则反射光线所在的直线方程为（

）． A． B． C． D．参考答案：A直线与，轴分别相交于点，，点关于轴的对称点．∴光线沿直线照射到轴后反射，则反射光线所在的直线即为所在的直线，直线方程为，即，故选．6.若实数x、y满足，则的取值范围是

A.

B.

C.

D.参考答案：D略7.某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的体积为A． B． C．

D．参考答案：D8.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且对任意的实数x都有（e是自然对数的底数），且f(0)=1，若关于x的不等式的解集中恰唯一一个整数，则实数m的取值范围是

A.

B.

C．

D．参考答案：B9.若存在两个正实数x，y，使得等式2x+a（y﹣2ex）（lny﹣lnx）=0成立，则实数a的取值范围为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】特称命题．【分析】根据函数与方程的关系将方程进行转化，利用换元法转化为方程有解，构造函数求函数的导数，利用函数极值和单调性的关系进行求解即可．【解答】解：由2x+a（y﹣2ex）（lny﹣lnx）=0得2x+a（y﹣2ex）ln=0，即2+a（﹣2e）ln=0，即设t=，则t＞0，则条件等价为2+a（t﹣2e）lnt=0，即（t﹣2e）lnt=﹣有解，设g（t）=（t﹣2e）lnt，g′（t）=lnt+1﹣为增函数，∵g′（e）=lne+1﹣=1+1﹣2=0，∴当t＞e时，g′（t）＞0，当0＜t＜e时，g′（t）＜0，即当t=e时，函数g（t）取得极小值，为g（e）=（e﹣2e）lne=﹣e，即g（t）≥g（e）=﹣e，若（t﹣2e）lnt=﹣有解，则﹣≥﹣e，即≤e，则a＜0或a≥，故选：C【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，根据函数与方程的关系，转化为两个函数相交问题，利用构造法和导数法求出函数的极值和最值是解决本题的关键．综合性较强．10.有3位男生，3位女生和1位老师站在一起照相，要求老师必须站中间，与老师相邻的不能同时为男生或女生，则这样的排法种数是A．144

B．216

C．288

D．432参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.6本不同的书，平均分成三份，所有不同的分法有

种（用数字回答）。参考答案：1512.已知两定点和，动点在直线l：上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为

．参考答案：由题意知c=1，离心率e=，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则c=1，∵P在直线l：y=x+2上移动，∴2a=|PA|+|PB|．过A作直线y=x+2的对称点C，设C（m，n），则由，解得，即有C（﹣2，1），则此时2a=|PA|+|PB|≥|CD|+|DB|=|BC|=，此时a有最小值，对应的离心率e有最大值．故答案为：

13.不等式ex≥kx对任意实数x恒成立，则实数k的最大值为．参考答案：e【考点】3R：函数恒成立问题．【分析】由题意可得f（x）=ex﹣kx≥0恒成立，即有f（x）min≥0，求出f（x）的导数，求得单调区间，讨论k，可得最小值，解不等式可得k的最大值．【解答】解：不等式ex≥kx对任意实数x恒成立，即为f（x）=ex﹣kx≥0恒成立，即有f（x）min≥0，由f（x）的导数为f′（x）=ex﹣k，当k≤0，ex＞0，可得f′（x）＞0恒成立，f（x）递增，无最大值；当k＞0时，x＞lnk时f′（x）＞0，f（x）递增；x＜lnk时f′（x）＜0，f（x）递减．即有x=lnk处取得最小值，且为k﹣klnk，由k﹣klnk≥0，解得k≤e，即k的最大值为e，故答案为：e．14.在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点在轴上，离心率为。过的直线L交C于两点，且△ABF2的周长为16，那么的方程为

。参考答案：15.半径为的球的内接圆柱的最大侧面积为

．参考答案：

略16.设数列{an}的前n项和为Sn，且.请写出一个满足条件的数列{an}的通项公式an=________．参考答案：（答案不唯一）【分析】首先由题意确定数列的特征，然后结合数列的特征给出满足题意的数列的通项公式即可.【详解】，则数列是递增的，，即最小，只要前6项均为负数，或前5项为负数，第6项为0，即可，所以，满足条件的数列的一个通项公式（答案不唯一）【点睛】本题主要考查数列前n项和的性质，数列的通项公式的确定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.17.设p：f（x）=ex+lnx+2x2+mx+1在（0，+∞）上单调递增，q：m≥﹣5，则p是q的条件．参考答案：必要不充分【考点】利用导数研究函数的单调性；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】首先求出函数的导数，然后根据导数与函数单调性的关系求出m的范围．结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由题意得f′（x）=ex++4x+m，∵f（x）=ex+lnx+2x2+mx+1在（0，+∞）内单调递增，∴f′（x）≥0，即ex++4x+m≥0在定义域内恒成立，由于+4x≥4，当且仅当=4x，即x=时等号成立，故对任意的x∈（0，+∞），必有ex++4x＞5∴m≥﹣ex﹣﹣4x不能得出m≥﹣5但当m≥﹣5时，必有ex++4x+m≥0成立，即f′（x）≥0在x∈（0，+∞）上成立∴p不是q的充分条件，p是q的必要条件，即p是q的必要不充分条件故答案为：必要不充分三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分13分）已知函数f（x）=.（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若对，函数的值恒大于零，求的取值范围．参考答案：解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=，f（2）=3；f’(x)=,f’(2)=6.所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-3=6（x-2），即y=6x-9.（Ⅱ）把原函数看成是关于的一次函数，令，则原问题转化为对恒成立问题。若，恒成立，若，则问题转化为，解得所以的取值范围是。略19.如图一，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，M为测棱PD上一点，且该四棱锥的俯视图和侧视图如图二所示.（1）证明：平面PBC⊥平面PBD；（2）求二面角A-BM-C的余弦值.

参考答案：(Ⅰ)证：由俯视图可得

∴BC⊥BD 1分

又PD⊥平面ABCD，∴BC⊥PD 2分

而PD∩BD＝D，故BC⊥平面PBD 3分

∵BC?平面PBC

∴平面PBC⊥平面PBD． 4分(Ⅱ)解：由侧视图可得MD=3

由俯视图及ABCD是直角梯形得：

5分

∴ 6分

以为x轴、y轴、z轴建立的空间直角坐标系D－xyz，则D(0，0，0)，A(，0，0)，B(，1，0)，C(0，4，0)，M(0，0，3)

设平面AMB的法向量为n1=(x1，y1，z1)，则，即

令，则，∴是平面AMB的一个法向量 8分

设平面BMC的法向量为n2=(x2，y2，z2)，则，即

令x2=3，则，∴是平面BMC的一个法向量 10分

又由图可知，二面角A－BM－C为钝二面角

∴二面角A－BM－C的余弦值为． 12分

20.某医院将一专家门诊已诊的1000例病人的病情及诊断所用时间（单位：分钟）进行了统计，如下表．若视频率为概率，请用有关知识解决下列问题．病症及代号普通病症复诊病症常见病症疑难病症特殊病症人数100300200300100每人就诊时间（单位：分钟）34567（1）用表示某病人诊断所需时间，求的数学期望．并以此估计专家一上午（按3小时计算）可诊断多少病人；（2）某病人按序号排在第三号就诊，设他等待的时间为，求；（3）求专家诊断完三个病人恰好用了一刻钟的概率．参考答案：略21.已知函数f（x）=（x﹣1）ex﹣ax2（a∈R）．（Ⅰ）当a≤1时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈（0，+∞）时，y=f′（x）的图象恒在y=ax3+x﹣（a﹣1）x的图象上方，求a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）首先求出f（x）的导函数，分类讨论a的大小来判断函数的单调性；（2）利用转化思想：当x∈（0，+∞）时，y=f'（x）的图象恒在y=ax3+x2﹣（a﹣1）x的图象上方，即xex﹣ax＞ax3+x2﹣（a﹣1）x对x∈（0，+∞）恒成立；即ex﹣ax2﹣x﹣1＞0对x∈（0，+∞）恒成立；【解答】解：（I）f'（x）=xex﹣ax=x（ex﹣a）当a≤0时，ex﹣a＞0，∴x∈（﹣∞，0）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当0＜a≤1时，令f'（x）=0得x=0或x=lna．（i）当0＜a＜1时，lna＜0，故：x∈（﹣∞，lna）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，x∈（lna，0）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；

（ii）当a=1时，lna=0，f'（x）=xex﹣ax=x（ex﹣1）≥0恒成立，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，无减区间；

综上，当a≤0时，f（x）的单调增区间是（0，+∞），单调减区间是（﹣∞，0）；当0＜a＜1时，f（x）的单调增区间是（﹣∞，lna）和（0，+∞），单调减区间是（lna，0）；当a=1时，f（x）的单调增区间是（﹣∞，+∞），无减区间．（II）由（I）知f'（x）=xex﹣ax当x∈（0，+∞）时，y=f'（x）的图象恒在y=ax3+x2﹣（a﹣1）x的图象上方；即xex﹣ax＞ax3+x2﹣（a﹣1）x对x∈（0，+∞）恒成立；即ex﹣ax2﹣x﹣1＞0对x∈（0，+∞）恒成立；

记g（x）=ex﹣ax2﹣x﹣1（x＞0），∴g'（x）=ex﹣2ax﹣1=h（x）；∴h'（x）=ex﹣2a；（i）当时，h'（x）=ex﹣2a＞0恒成立，g'（x）在（0，+∞）上单调递增，∴g'（x）＞g'（0）=0；∴g（x）在（0，+∞）上单调递增；∴g（x）＞g（0）=0，符合题意；

（ii）当时，令h'（x）=0得x=ln（2a）；∴x∈（0，ln（2a））时，h'（x）＜0，∴g'（x）在（0，ln（2a））上单调递减；∴x∈（0，ln（2a））时，g'（x）＜g'（0）=0；∴g（x）在（0，ln（2a））上单调递减，∴x∈（0，ln（2a））时，g（x）＜g（0）=0，不符合题意；

综上可得a的取值范围是．22.对甲、乙两名篮球运动员分别在场比赛中的得分情况进行统计，做出甲的得分频率分布直方图如右，列出乙的得分统计表如下：

(Ⅰ)估计甲在一场比赛中得分不低于分的概率；（Ⅱ）判断甲、乙两名运动员哪个成绩更稳定；（结论不要求证明）（Ⅲ）在甲所进行的100场比