福建省莆田市东游中学高三数学理知识点试题含解析

福建省莆田市东游中学高三数学理知识点试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设i是虚数单位，若复数是纯虚数，则m的值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3参考答案：A【考点】复数的基本概念．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后由实部等于0求得m的值．【解答】解：∵为纯虚数，∴m+3=0，即m=﹣3．故选：A．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2.函数的零点所在区间是

A.

B.

C.

D.参考答案：C略3.若=(

)A． B． C． D．参考答案：D【考点】对数的运算性质．【分析】首先利用对数的运算性质求出x，然后即可得出答案．【解答】解：∵x=log43∴4x=3又∵（2x﹣2﹣x）2=4x﹣2+=3﹣2+=故选：D【点评】本题考查了对数的运算性质，解题的关键是利用对数函数和指数函数的关系得出4x=3，属于基础题．4.若实数x，y满足，则的最大值为（

）A．－3

B．－4

C．－6

D．－8参考答案：B作出表示的可行域，如图，由，得，令，化为，平移直线由，由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最小，有最大值为，故选B.

5.已知,则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A考点：同角三角函数的关系及运用.6.右图是函数的部分图象，则函数的零点所在的区间是（▲）

A

B

C

D参考答案：C7.对于实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，例如，定义函数{x}，则下列命题中正确的是

（

）

A．函数的最大值为1

B．函数有且仅有一个零点

C．函数是周期函数

D．函数是增函数参考答案：答案:C8.若复数为纯虚数，则A． B．13 C．10 D．参考答案：解：由．因为复数为纯虚数，所以，解得．所以．故选：．9.下列选项叙述错误的是（

）

A．命题“若”的逆否命题是“若”

B．若命题

C．若为真命题，则p，q均为真命题

D．“”是“”的充分不必要条件参考答案：C略10.某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为600，400，800，为了了解教师的教学情况，该校采用分层抽样的方法，从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为(

)A．15，5，25 B．15，15，15 C．10，5，30 D．15，10，20参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设实数，满足约束条件，则目标函数的最大值为

▲

．参考答案：612.在极坐标系中，圆的圆心到直线的距离为

。参考答案：略13.已知=

．参考答案：略14.已知三棱锥A﹣BCD中，AB=CD=2，BC=AD=，AC=BD=，则三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为

．参考答案：77π【考点】球的体积和表面积．【分析】三棱锥A﹣BCD的三条侧棱两两相等，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，然后解答即可．【解答】解：三棱锥A﹣BCD的三条侧棱两两相等，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，且此长方体的面对角线的长分别为：2，，，体对角线的长为球的直径，d==，∴它的外接球半径是，外接球的表面积是77π，故答案为：77π．15.已知均为单位向量，它们的夹角为，则

．参考答案：

16.如图，正方体的棱长为1，E为线段上的一点，则三棱锥的体积为＿＿＿＿＿.参考答案：17.数列满足：，若，则

．参考答案：320三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆过直线上一点作椭圆的切线，切点为，当点在轴上时，切线的斜率为.（1）求椭圆的方程；（2）设为坐标原点，求面积的最小值.参考答案：（1）（2）.则，∴，，此时.考点：1.椭圆的标准方程及其性质；2.直线与椭圆的位置关系．【方法点睛】求解范围问题的常见求法：（1）利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；（3）利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用基本不等式求出参数的取值范围；（5）利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．19.已知函数.（Ⅰ）当时，求函数在处的切线方程；（Ⅱ）令，讨论函数的零点的个数；（Ш）若，正实数满足，证明：．参考答案：（1）当a=0时，f（x）=lnx+x，则f（1）=1，所以切点为（1，1），又f′（x）=+1，则切线斜率k=f′（1）=2，故切线方程为：y﹣1=2（x﹣1），即2x﹣y﹣1=0……………2分（2）g（x）=f（x）﹣（ax﹣1）=lnx﹣ax2+（1﹣a）x+1，所以g′（x）=﹣ax+（1﹣a）=，当a≤0时，因为x＞0，所以g′（x）＞0．所以g（x）在（0，+∞）上是递增函数而所以函数有且只有一个零点…………….5分当0<a<1时，g′（x）=，令g′（x）=0，得x=，所以当x∈（0，）时，g′（x）＞0；当x∈（，+∞）时，g′（x）＜0，因此函数g（x）在x∈（0，）是增函数，在（，+∞）是减函数，∴x=时，g（x）有极大值g（）=﹣lna>0又∴当0<a<1时函数有两个零点…………………….8分（3）证明：当所以即为：所以……………9分令……..10分所以所以所以因为………………12分20.(12分)如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD,∠BAD=∠ABC=90°。（1）证明：直线BC∥平面PAD;（2）若△PCD的面积为2，求四棱锥P-ABCD的体积。参考答案：

所以四棱锥P-ABCD的体积.

21.已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，，平面平面ABCD，，点E，F分别为PD，AB上的一点，且，．(1)求证：平面；(2)求PB与平面PCD所成角的正弦值．参考答案：（1）见解析；（2）【分析】(1)作辅助线FG，点G在PC边上，且，由题中条件可得为平行四边形，再由线线平行证得线面平行。(2)用建系的方法求线面正弦值。【详解】(1)证明：取边上点，使得，连接.因为,所以，且.又，所以，且.所以，且，所以四边形为平行四边形,则.又平面，平面，所以平面.(2)解：取中点,由，所以又平面平面，交线为，且,所以平面.以为原点建系，以，，为轴，轴，轴.所以，，，，所以，，.设平面的法向量为，则，可取,设与平面所成角为，则【点睛】本题考查线面的位置关系，立体几何中的向量方法，属于常考题型。22.（本小题满分13分，（Ⅰ）问7分，（Ⅱ）问6分）某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中：（Ⅰ）两种大树各成活1株的概率；（Ⅱ）成活的株数的分布列与期望．参考答案：解析：设表示甲种大树成活k株，k＝0，1，2表示乙种大树成活l株，l＝0，1，2则，独立.由独立重复试验中事件发生的概率公式有

,

.

据此算得

,

,

.

,

,

.

(Ⅰ)所求概率