安徽省合肥市解放军炮兵学院附属中学高三数学理模拟试题含解析

安徽省合肥市解放军炮兵学院附属中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知实数x、y满足：，则z=2x﹣y的最大值为（）A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣3参考答案：A【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，由图可知，当直线y=2x﹣z过A（1，0）时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为2．故选：A．2.设集合,那么下面中的4个图形中,

①

②

③

④

能表示集合到集合的函数关系的有

(A)①②③④

(B)①②③

(C)②③

(D)②

参考答案：答案：C3.曲线在处的切线方程为A．

B．

C．

D．参考答案：A4.已知，符号表示不超过的最大整数，若函数有且仅有3个零点，则的取值范围是（

）A．

B．C．

D．参考答案：B试题分析：解：由，得；①若，设，则当，，此时当，此时，此时；当，此时，此时；当，此时，此时；当，此时，此时，作出函数图象，要使有且仅有三个零点，即函数有且仅有三个零点，则由图象可知；②若，设，则当，，此时，此时；当，，此时，此时；当，，此时，此时；当，，此时，此时；当，，此时，此时；作出函数图象，要使有且仅有三个零点，即函数有且仅有三个零点，则由图象可知，所以的取值范围，故答案为B．考点：函数的零点与方程的根关系．5.已知是函数图象上的任意一点，该图象的两个端点，点满足，（其中是轴上的单位向量），若(为常数)在区间上恒成立，则称在区间上具有“性质”.现有函数：①;

②；

③；

④.则在区间上具有“性质”的函数为

参考答案：①③④6.已知，，则下列大小关系正确的是（

）A．

B．

C.

D．参考答案：B因为，所以，选B．7.函数

（

）

A．是奇函数，且在（-∞，+∞）上是减函数

B．是奇函数，且在（-∞，+∞）上是增函数

C．是偶函数，且在（-∞，+∞）上是减函数

D．是偶函数，且在（-∞，+∞）上是增函数

参考答案：B略8.设命题，则为（

）A．

B．C．

D．

参考答案：B9.已知m，n是空间中两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，且m?α，n?β．有下列命题：①若α∥β，则m∥n；②若α∥β，则m∥β；③若α∩β=l，且m⊥l，n⊥l，则α⊥β；④若α∩β=l，且m⊥l，m⊥n，则α⊥β．其中真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：B【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据空间直线和平面，平面和平面平行或垂直的判定定理，分别判断，即可得出结论．【解答】解：①若α∥β，则m∥n或m，n异面，不正确；②若α∥β，根据平面与平面平行的性质，可得m∥β，正确；③若α∩β=l，且m⊥l，n⊥l，则α与β不一定垂直，不正确；④若α∩β=l，且m⊥l，m⊥n，l与n相交则α⊥β，不正确．故选：B．【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及空间直线和平面，平面和平面平行或垂直的判定，根据相应的判定定理和性质定理是解决本题的关键．10.“”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的（A）充分不必要条件

（B）必要不充分条件

（C）充要条件

（D）既不充分也不必要条件参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，正方体的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段上的动点，过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S。则下列命题正确的是_________（写出所有正确命题的编号）。①当时，S为四边形②当时，S为等腰梯形③当时，S与的交点R满足④当时，S为六边形⑤当时，S的面积为参考答案：①②③⑤12.设分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当时，且则不等式的解集是________________________.

参考答案：

13.已知向量，则夹角的大小为

。参考答案：14.已知△中，角所对边分别为，若．则的最小值为

．参考答案：115.若对任意，，（、）有唯一确定的与之对应，称为关于、的二元函数.现定义满足下列性质的二元函数为关于实数、的广义“距离”:（1）非负性:，当且仅当时取等号；（2）对称性:；（3）三角形不等式:对任意的实数z均成立.今给出四个二元函数:①；②③；④.则能够成为关于的、的广义“距离”的函数的所有序号是

.参考答案：①16.选修4—4坐标系与参数方程）已知点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值是

；参考答案：17.曲线在点处的切线斜率为

▲

.

参考答案：－1略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图四棱锥中，是梯形，AB∥CD，，AB=PD=4，CD=2，，M为CD的中点，N为PB上一点，且。（1）若MN∥平面PAD；（2）若直线AN与平面PBC所成角的正弦值为，求异面直线AD与直线CN所成角的余弦值。参考答案：（1）证明：若，连接EN，DE，EN∥AB，且M为CD的中点，CD=2，又AB∥CD，ENDM四边形DMNE是平行四边形，MN∥DE，又平面PAD，MN平面PAD，MN∥平面PAD…………………6分（2）如图所示，过点D作DHAB于H，则DHCD，则以D为坐标原点建立空间直角坐标D-yz，点D（0，0，0），M（0，1，0），C（0，2，0），B（2，2，0），A（2，-2，0），P（0，0，4），=（2，0，0），=（0，-2，4），，该平面PBC的法向量为，则令z=1，y=2，x=0，该直线AN与平面PBC所成的角为，则解得设直线AD与直线CN所成角为，则所以直线AD与直线CN所成角的余弦值为………………12分19.（本小题满分12分）

已知等差数列的前n项的和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前n项和。参考答案：20.（本小题满分12分）某次考试中，从甲、乙两个班级各随机抽取10名学生的成绩进行统计分析，两班成绩的茎叶图如图所示，成绩不小于60分为及格.（I）从甲、乙两班的10名学生中各抽取一人，已知有人及格，求乙班学生不及格的概率；（II）从甲班10人中取1人，乙班10人中取2人，三人中及格人数记为，求的分布列及期望.参考答案：略21.如图所示，小波从A街区开始向右走，在每个十字路口都会遇到红绿灯，要是遇到绿灯则小波继续往前走，遇到红灯就往回走，假设任意两个十字路口的绿灯亮或红灯亮都是相互独立的，且绿灯亮的概率都是，红灯亮的概率都是．（1）求小波遇到4次红绿灯后，处于D街区的概率；（2）若小波一共遇到了3次红绿灯，设此时小波所处的街区与A街区相距的街道数为ξ（如小波若处在A街区则相距零个街道，处在D，E街区都是相距2个街道），求ξ的分布列和数学期望．参考答案：【考点】离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）设小波遇到4次绿灯之后处于D街区为事件A，则事件A共有三个基本事件，由此能求出小波遇到4次绿灯后，处于D街区的概率．（2）ξ可能的取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ分布列和数学期望．【解答】解：（1）设小波遇到4次红绿灯之后处于D街区为事件A，则事件A共有三个基本事件，即四次遇到的红绿灯情况分别为{红红绿绿，绿红红绿，绿绿红红}．故．（2）ξ可能的取值为0，1，2，3，，，，．故分布列为：ξ0123P∴．22.（13分）（2016?江西模拟）已知函数f（x）=x2﹣2ax+lnx（a∈R），x∈（1，+∞）．（1）若函数f（x）有且只有一个极值点，求实数a的取值范围；（2）对于函数f（x）、f1（x）、f2（x），若对于区间D上的任意一个x，都有f1（x）＜f（x）＜f2（x），则称函数f（x）是函数f1（x）、f2（x）在区间D上的一个“分界函数”．已知f1（x）=（1﹣a2）lnx，f2（x）=（1﹣a）x2，问是否存在实数a，使得f（x）是函数f1（x）、f2（x）在区间（1，+∞）上的一个“分界函数”？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，说明理由．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【专题】函数思想；综合法；导数的概念及应用．【分析】（1）求出函数的导数，根据f（x）有且只有一个极值点，得到x2﹣2ax+1＜0恒成立，求出a的范围即可；（2）根据“分界函数”的定义，只需x∈（1，+∞）时，f（x）﹣（1﹣a）x2＜0恒成立且f（x）﹣（1﹣a2）lnx＞0恒成立，判断函数的单调性，求出a的范围即可．【解答】解：（1）f′（x）=，x∈（1，+∞），令g（x）=x2﹣2ax+1，由题意得：g（x）在[1，+∞）有且只有1个零点，∴g（1）＜0，解得：a＞1；（2）若f（x）是函数f1（x）、f2（x）在区间（1，+∞）上的一个“分界函数”，则x∈（1，+∞）时，f（x）﹣（1﹣a）x2＜0恒成立且f（x）﹣（1﹣a2）lnx＞0恒成立，令h（x）=f（x）﹣（1﹣a）x2=（a﹣）x2﹣2ax+lnx，则h′（x）=，①2a﹣1≤0即a≤时，当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）递减，且h（1）=﹣﹣a，∴h（1）≤0，解得：﹣≤a≤；②2a﹣1＞0即a＞时，y=（a﹣）x2﹣2ax的图象开口向上，存在x0＞1，使得（a﹣）﹣2ax