医科高等数学 第一节 不定积分

一、原函数与不定积分的概念二、不定积分的性质三、基本积分公式四、换元积分法五、分部积分法第一节

不定积分1

问题的提出我们知道反之不难知道因此，本章的内容为微分运算的逆运算2一、原函数与不定积分的概念

定义3-1：设函数在区间上有定义，若在区间上存在可导函数，使或则称为在区间上的一个原函数．例1．基本概念3问题：(1)原函数是否唯一？（为任意常数）(2)若不唯一它们之间有什么联系？分析结论:（1）若，则对于任意常数，（2）若和都是的原函数，则（为任意常数）4任意常数积分号被积函数被积表达式积分变量

定义3-2：设函数为在区间上的一个原函数，则原函数的全体，称为在区间上的不定积分．记为．5例3-1求解：例3-2求解：62．几何意义是积分曲线上、下平移所得到一簇积分曲线，称为积分曲线簇．

在点处有相同的斜率，即这些切线互相平行．7二、不定积分的性质(1)或(2)或(3)(4)8三、基本积分公式(是常数);(4)(5)910例3-3

求解：例3-4

求解：11例3-5

求解：12例3-6

求解：13例3-8求解：例3-7

求解：14例3-9求解：15但是解决方法：利用复合函数，设置中间变量.

问题的提出：四、换元积分法因为1．第一类换元法16证明：注意：使用此公式的关键在于第一类换元法又称为凑微分法．定理3-1则有换元公式17例3-10

求解：18例3-11

求解：例3-12

求解：19解：例3-13

求20例3-14

求解：21解：例3-14

求例3-15

求解：22例3-16

求解：例3-17

求解：23解：同理可得例3-18

求24解法一：解法二：解法三：例3-19

求25第一类换元法是通过变量替换

将积分

下面介绍的第二类换元法是通过变量替换将积分2．第二类换元法定理3-2

设单调、可导，且，若具有原函数，则有26第二类积分换元法证明：

注意：使用此公式的关键在于通过变量替换将换成一个容易求得的积分来计算．27解：设例3-20

求28解：令例3-21

求29解：令例3-22

求30

以上三例表明,若被积函数中含有时,均可采用三角替换的方法化去根式,这种方法称为三角代换.三角代换常有下列规律可令可令可令31解：令例3-23

求32注

倒数代换

也是常用的代换之一

解：令例3-24

求33

对被积函数中含有无理根式的积分，通过适当的变换去掉根式后再积分，也称根式代换.例3-25

求解：令34考虑积分解决思路利用分部积分法

五、分部积分法定理3-3

证明：由导数公式即两边求不定积分分部积分公式所以35解：令如果令显然，选择不当，积分更难进行.例3-26

求36

选择注意以下两点

若被积函数是幂函数和指数函数（或三角函数）的乘积,设幂函数为.例3-27

求解：37解：例3-28

求例3-29

求解：38解：令例3-29

求

若被积函数是幂函数和对数函数（或反三角函数）的乘积，设对数函数或反三角函数为.39解：例3-30

求

若被积函数是指数函数与三角函数乘积时,二者皆可作为,但作为的函数的类型不变.40

1．原函数的概不定积分的概念不定积分的性质积分公式小结2．两类换元法凑微分法三角代换、根式代换3．分部积分法

（1）若被积函数是幂函数和指数函数（或三角函数）的乘积,设幂函数为.(2)若被积函数