双曲线的简单几何性质-副本

【考点梳理】考点一：双曲线的性质标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－ay≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点坐标A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x离心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)，其中c＝eq\r(a2＋b2)a，b，c间的关系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)考点二：等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线，它的渐近线方程是y＝±x，离心率为eq\r(2).考点三:直线与双曲线的位置关系设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，①双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，②把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.(1)当b2－a2k2＝0，即k＝±eq\f(b,a)时，直线l与双曲线C的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点．(2)当b2－a2k2≠0，即k≠±eq\f(b,a)时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点；Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点；Δ<0⇒直线与双曲线有0个公共点．考点四：弦长公式若斜率为k(k≠0)的直线与双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝eq\r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2]).重难点技巧：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.【题型归纳】题型一：双曲线的简单几何性质（焦点、焦距）1．（2023·全国·高二）若椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数m为（

）A．1 B． C． D．不确定2．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线与双曲线，则两双曲线的（

）A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等3．（2022秋·山西·高二长治市上党区第一中学校校联考期中）已知双曲线，则下列选项中不正确的是（

）A．的焦点坐标为 B．的顶点坐标为C．的离心率为 D．的虚轴长为题型二：双曲线的简单几何性质（顶点、实轴、虚轴）4．（2023·江苏·高二假期作业）已知双曲线与，下列说法正确的是（）A．两个双曲线有公共顶点 B．两个双曲线有公共焦点C．两个双曲线有公共渐近线 D．两个双曲线的离心率相等5．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线，下列结论正确的是（

）A．C的实轴长为 B．C的渐近线方程为C．C的离心率为 D．C的一个焦点的坐标为6．（2023秋·四川眉山·高二仁寿一中校考期末）等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于，两点，，则的实轴长为（

）A．2 B．22 C．4 D．8题型三：等轴双曲线7．（2022秋·江苏连云港·高二期末）经过点，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程是（

）A． B． C． D．8．（2023·全国·高二专题练习）已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，与直线交于A，B两点，若，则该双曲线的方程为（

）A． B． C． D．9．（2023春·上海·高二期中）若双曲线的右支上一点到直线的距离为，则的值为（

）A． B． C．或 D．2或题型四：双曲线的渐近线问题10．（2023春·四川遂宁·高二射洪中学校）过原点的直线l与双曲线E：交于A，B两点（点A在第一象限），交x轴于C点，直线BC交双曲线于点D，且，则双曲线的渐近线方程为（

）A． B． C． D．11．（2023春·四川成都·高二校考期中）已知双曲线的一个焦点为，双曲线的渐近线，则双曲线的方程为（

）A． B． C． D．12．（2023·江苏·高二假期作业）设分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P满足，且，则双曲线的渐近线方程为（）A． B．C． D．题型五：双曲线的的离心率问题13．（2023秋·高二课时练习）已知双曲线的左焦点为，右顶点为，一条渐近线与圆在第一象限交于点，交轴于点，且，则的离心率为（

）A． B．2C． D．14．（2023春·河南周口·高二校联考阶段练习）已知过双曲线的左焦点的直线分别交双曲线左､右两支于两点，为双曲线的右焦点，，则双曲线的离心率（

）A．2 B． C． D．15．（2023秋·全国·高二期中）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过作一条直线与双曲线右支交于、两点，坐标原点为，若，，则该双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．题型六：双曲线的弦长、焦点弦问题16．（2023·全国·高二专题练习）已知是双曲线的左焦点，过倾斜角为的直线与双曲线渐近线相交于，两点，为坐标原点，则的面积为（

）A． B． C． D．17．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为、，直线与双曲线交于，两点，若，则的面积等于（

）A．18 B．10 C．9 D．618．（2023春·江西宜春·高二江西省宜丰中学校考阶段练习）已知双曲线的左右焦点为，P为右支上除顶点外的任意一点，圆I为的内切圆，且与x轴切于A点，过作，垂足为B，若，则的面积为（

）A． B． C．9 D．2题型七：双曲线中的定值、定点问题19．（2023秋·全国·高二期中）已知双曲线C：一个焦点F到渐近线的距离为．(1)求双曲线C的方程；(2)过点的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，在x轴上是否存在点N，使得为定值？如果存在，求出点N的坐标及该定值；如果不存在，请说明理由．20．（2023春·山东潍坊·高二校考阶段练习）已知双曲线的中心为坐标原点，左、右焦点分别为，且点在双曲线上.(1)求双曲线的渐近线方程；(2)若直线与直线交于点，点是双曲线上一点，且满足，记直线的斜率为，直线的斜率为，求.21．（2023春·广东深圳·高二深圳外国语学校校考阶段练习）已知双曲线的焦距为，点在双曲线上.(1)求双曲线的标准方程；(2)点是双曲线上异于点的两点，直线与轴分别相交于两点，且，求证：直线过定点，并求出该定点坐标.题型八：双曲线中的向量、定直线问题22．（2023春·陕西西安·高二西安市铁一中学校考期末）已知曲线上任意一点满足，且.(1)求的方程；(2)设，若过的直线与交于两点，且直线与交于点.证明：点在定直线上.23．（2023秋·陕西西安·高二统考期末）已知双曲线的中心在原点，焦点，在坐标轴上，离心率为，且过点．(1)求双曲线方程；(2)若点在双曲线上，求证：；(3)在（2）的条件下，求的面积．24．（2023春·河南安阳·高二统考期末）已知双曲线C的渐近线为，右焦点为，右顶点为A.(1)求双曲线C的标准方程；(2)若斜率为1的直线l与双曲线C交于M，N两点（与点A不重合），当时，求直线l的方程.【双基达标】一、单选题25．（2023秋·高二课时练习）设A，B为双曲线右支上的两点，若线段AB的中点为，则直线AB的方程是（

）A． B． C． D．26．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则的离心率为（

）A． B． C． D．27．（2023秋·陕西西安·高二统考期末）“”是“双曲线的离心率大于2”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件28．（2023秋·山东枣庄·高二枣庄八中校考期末）已知双曲线，则下列选项中正确的是（

）A．B．若的顶点坐标为，则C．的焦点坐标为D．若，则的渐近线方程为29．（2023秋·全国·高二期中）求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)与椭圆有公共焦点，且过点；(2)焦点在轴上，焦距为，渐近线斜率为；(3)离心率，且经过点；(4)经过点，且一条渐近线的方程为．30．（2023春·新疆和田·高二校考期中）已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，，且过点(1)求双曲线的方程；(2)求的面积.【高分突破】一、单选题31．（2023春·新疆巴音郭楞·高二校考）设、分别是双曲线的左、右焦点，过作轴的垂线与相交于、两点，若为正三角形，则的离心率为（

）A． B． C． D．32．（2023秋·福建莆田·高二莆田华侨中学校考期末）已知双曲线的离心率为，右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，则有（

）A． B． C． D．33．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为,,点在上,且,,则的渐近线方程为（

）A． B．C． D．34．（2023春·四川泸州·高二统考期末）已知、为双曲线的左、右焦点，点P在C的右支上，若，且直线与C的一条渐近线平行，则C的离心率为（

）．A． B． C．2 D．35．（2023秋·山西晋中·高二统考期末）已知双曲线的左､右焦点分别为为坐标原点，为双曲线上一点，满足，则该双曲线的右焦点到渐近线的距离的平方为（

）A．1 B． C．2 D．36．（2023秋·高二单元测试）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，P为C的右支上一点．若，则双曲线C的渐近线方程为（

）A． B． C． D．二、多选题37．（2023秋·广西贵港·高二统考期末）已知双曲线的右焦点为，过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点．若以为直径的圆恰好经过双曲线的左顶点，则（

）A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的渐近线方程为C．双曲线的离心率为 D．双曲线的离心率为238．（2023春·安徽阜阳·高二校联考期中）已知曲线，则下列叙述正确的有（

）A．若曲线为圆，则B．若，则曲线的离心率为2C．若，则曲线焦点坐标为D．若，则曲线是双曲线且其渐近线方程为39．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线：的右焦点到渐近线的距离为，为上一点，下列说法正确的是（）A．的离心率为B．的最小值为C．若，为的左、右顶点，与，不重合，则直线，的斜率之积为D．设的左焦点为，若的面积为，则40．（2023秋·高二课时练习）在平面直角坐标系中，分别是双曲线的左、右焦点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，若，则（

）A． B．的面积为 C．直线与圆相交D．的离心率41．（2023秋·高二单元测试）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过原点的直线与双曲线交于A，B两点，若四边形为矩形且，则下列正确的是（

）A． B．E的渐近线方程为C．矩形的面积为 D．E的离心率为42．（2023春·湖北·高二黄石二中校联考阶段练习）过双曲线的右焦点作直线与该双曲线交于、两点，则（

）A．存在四条直线，使B．与该双曲线有相同渐近线且过点的双曲线的标准方程为C．若、都在该双曲线的右支上，则直线斜率的取值范围是D．存在直线，使弦的中点为三、填空题43．（2023秋·高二课时练习）已知双曲线的离心率为2，则它的一个焦点到其中一条渐近线的距离为.44．（2023春·辽宁朝阳·高二校联考阶段练习）若双曲线C与双曲线有相同的渐近线，且经过点，则双曲线C的标准方程是．45．（2023春·福建厦门·高二厦门一中校考阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点A在C上，点B在y轴上，，且，则C的离心率为．46．（2023·全国·高二课堂例题）如图，已知，为双曲线的焦点，过作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且，则双曲线的渐近线方程为.47．（2023春·四川遂宁·高二射洪中学校考阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线上一点A关于原点O对称的点为B，且满足，，则该双曲线的渐近线方程为．四、解答题48．（2023春·四川遂宁·高二射洪中学校考阶段练习）已知双曲线的焦距为6，且虚轴长是实轴长的倍.(1)求双曲线的方程；(2)过双曲线的右焦点F且倾斜角为的直线