公务员数学习题分类及详解

数学运算行程问题专项辅导

一、基本知识点：

1、基本公式：距离=速度义时间

2、相遇追及问题：

相遇距离=（大速度+小速度）X相遇时间

追及距离=（大速度-小速度）X追及时间

3、环形运动问题：

环形周长=（大速度+小速度）X相向运动的两人两次相遇的时间间隔

环形周长=（大速度-小速度）X同向运动的两人两次相遇的时间间隔

4、流水行船问题：

顺流路程=顺流速度X顺流时间=（船速+水速）X顺流时间

逆流路程=逆流速度X逆流时间=（船速-水速）X逆流时间

5、电梯运动问题：

能看到的电梯级数=（人速+电梯速度）X沿电梯运动方向运动所需时间

能看到的电梯级数=（人速-电梯速度）X逆电梯运动方向运动所需时间

6、钟面问题（此类问题很多可以转化为追及问题）

（1）假设时钟一圈是12格，则时针每小时转1格，分针每小时转12格。

（2）钟面上每两格之间为30°,时针与分针成某个角度一般都有对称的两种情况。

（3）时针与分针一昼夜重合22次，垂直44次，成180°也是22次。

二、例题和解题思路

1、甲、乙两车同时从A、B两地出发相向而行，两车在离B地64千米处第一次相遇.相遇

后两车仍以原速继续行驶，并且在到达对方出发点后，立即沿原路返回，途中两车在距A

地48千米处第二次相遇，问两次相遇点相距多少千米？

解析：先画示意图：

可以看到它们到第二次相遇时共走了3个AB全程。当甲、乙两车共同走完一个AB全程时,

乙车走了64千米，因此，我们可以理解为乙车一共走了3个64千米，再由上图可知：乙车

一共走过的路程减去一个48千米后，正好等于一个AB全程。

①AB间的距离是64X3-48=192—48=144（千米）.

②两次相遇点的距离为144—48-64=32（千米）.

2、甲、乙二人从相距100千米的A、B两地同时出发相向而行，甲骑车，乙步行，在行走

过程中，甲的车发生故障，修车用了1小时.在出发4小时后，甲、乙二人相遇，又已知甲

的速度为乙的2倍，且相遇时甲的车已修好，那么，甲、乙二人的速度各是多少？

解析：甲的速度为乙的2倍，因此，乙走4小时的路，甲只要2小时就可以了，因此，甲

走100千米所需的时间为（4-1+44-2）=5小时.这样就可求出甲的速度.

甲的速度为：100+（4-1+44-2）=100+5=20（千米/小时）.

乙的速度为：20+2=10（千米/小时）

3、在一条直的公路上，甲、乙两个地点相距600米，张明每小时行4公里，李强每小时行

5公里.8点整，张李二人分别从甲、乙两地同时出发相向而行，1分钟后他们都调头反向而

行，再经过3分钟，他们又调头相向而行，依次按照1,3,5,…（连续奇数）分钟数调头

行走，那么张、李二人相遇时是8点几分？

解析无论相向还是反向，张李二人每分钟都共走4000+60+5000+60=150（米）.如果两人

一直相向而行，那么从出发经过600・150=4（分钟）两人相遇.

画图可知：在16分钟（=1+3+5+7）之内两人不会相遇.在这16分钟之内，他们相向走了6

分钟（=1+5）,反向走了10分钟（=3+7）,此时两人相距600+[150X（3+7-1-5）]=1200米,

因此，再相向行走，经过1200・150=8（分钟）就可以相遇.

所以是600+150X（3+7-1-5）=1200（米）

12004-（40004-60+50004-60）=8（分钟）

1+3+5+7+8=24（分钟）

两人相遇时是8点24分.

4、姐弟俩出游，弟弟先走一步，每分钟走40米，走80米后姐姐去追他。姐姐每分钟走60

米，姐姐带的小狗每分钟跑150米。小狗追上弟弟又转去找姐姐，碰上姐姐又转去追弟弟，

这样跑来跑去，直到姐弟相遇小狗才停下来.问小狗共跑了多少米？（）

A、600B、800C、1200D、1600

解析：由于小狗的运动规律不规则，但速度保持不变，故求出小狗跑的总时间即可。

由于姐姐和小狗同时出发，同时终止，小狗跑的时间也就是姐姐追弟弟的时间。

这个时间为80米（60-40）=4分钟

小狗跑了150X4=600米

5、小明放学后，沿某路公共骑车路线以不变的速度不行回家，该路公共汽车也以不变速度

不停地运行。每隔30分钟就有辆公共骑车从后面超过他，每隔20分钟就遇到迎面开来的一

辆公共汽车。问：该路公共汽车每隔多少分钟发•次车？（）

A、20B、24C、25D、30

解析：设两辆车间距为S。有

S=(V车+V人)X20

S=(V车-V人)X30

求得V车=5V人

故发车间隔为：T=S/V车=24分钟

6、商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子嫌扶梯走得太慢，于是在行驶的扶梯上，

男孩每秒钟向上走2个梯级，女孩每2秒向上走3个梯级。结果男孩用40秒钟到达，女孩

用50秒钟到达。则当该扶梯静止时，可看到的扶梯级有：

A.80级B.100级C.120级D.140级

解析；总路程为“扶梯静止时可看到的扶梯级”，速度为“男孩或女孩每个单位向上运动的

级数”，如果设电梯匀速时的速度为X,则可列方程如下，

(X+2)X40=(X+3/2)X50

解得X=0.5也即扶梯静止时可看到的扶梯级数=(2+0.5)X40=100

7、甲、乙两人从400米的环形跑道的一点A背向同时出发，8分钟后两人第三次相遇。已

知甲每秒钟比乙每秒钟多行0.1米，那么，两人第三次相遇的地点与A点沿跑道上的最短

距离是

A.166米B.176米C.224米D.234米

解析，此题为典型的速度和问题，为方便理解可设甲的速度为X米/分，乙的速度为Y米/

分，则依题意可列方程

8X+8Y=400x3

X-Y=6(速度差0.1米/秒=6米/分)

从而解得X=78Y=72

由Y=72,可知，8分钟乙跑了576米，显然此题距起点的最短距离为176米。

8、甲、乙、丙三人沿湖边散步，同时从湖边一固定点出发，甲按顺时针方向行走，乙与丙

按逆时针方向行走，甲第一次遇到乙后1又1/4分钟遇到丙，再过3又3/4分钟第二次遇到

乙。已知乙的速度是甲的2/3,湖的周长为600米，则丙的速度为；

A.24米/分B.25米/分C26米/分D.27米/分

r解析』解题关键点为“相遇问题的核心是‘速度和'的问题”可设甲的速度为

,则乙的速度为2x/3,又根据“甲第•次遇到乙后1又1/4分钟遇到丙，再过3又3/4分钟

第二次遇到乙”，可知（+2x/3）X（1+1/4+3+3/4）=600,贝U=72,如果设丙的速度为，

则有（+）X（1+1/4+3+3/4+1+1/4）=600,从而解得=24。

9、某校下午2点整派车去某厂接劳模作报告，往返需1小时。该劳模在下午1点整就离厂

步行向学校走来，途中遇到接他的车，便坐上车去学校，于下午2点30分到达。问汽车的

速度是劳模的步行速度的几倍？

A.5倍B.6倍C.7倍D.8倍（2003年中央B类）

解析，如果接劳模往返需1小时，而实际上汽车2点出发，30分钟便回来，这说明遇到劳

模的地点在中点，也即劳模以步行速度（时间从1点到2点15分）走的距离和汽车所行的

距离（2点到2点15分）相等。设劳模的步行速度为A/小时，汽车的速度是劳模的步行速

度的X倍，则可列方程

5/4A=l/4AX

解得X=5

所以，正确答案为A。

10、某时刻钟表时针在10点到11点之间，此时刻再过6分钟后分针和此时刻3分钟前的时

针正好方向相反且在一条直线上，则时刻为几点几分？

A、10点15分B、10点19分C、10点20分D、10点25分

解析：

设此时刻是10点X分。3分钟前是10点X-3分；6分钟后是10点X+6分。

则：10点X-3分时,时针从12点位置上转过了300°+（X-3）X30°/600

10点x+6分时，分针从12点位置上转过了（X+6）X3600

300°+(X-3)X30°/600-(X+6)X3600=>X=15

所以选A

注：一般时针问题都有简便的方法来解

比如此题，可以使用代入法

B,C,D的时刻的3分钟前都还是10点多，因此时针在钟面上的10与11之间，而3个时刻6

分钟以后已经至少是25分了，即分针已经在钟面上的5上或者之后了。而钟面上10与11

之间反过来对应的是4和5之间，所以这三项都不符。选择A

11、有一只钟，每小时慢3分钟，早晨4点30分的时候，把钟对准了标准时间，则钟走到

当天上午10点50分的时候，标准时间是多少？()

A、ll点整B、11点5分C、11点10分D、11点15分

解析：坏表问题的基本解题思路是找准坏表的“标准比”，然后按照比例来计算。

设此时的标准时间为y时，得到这样的比较：

标准钟慢钟

时刻1:4+30/604+30/60

时刻2：y10+50/60

两次时间差：y-(4+30/60)(10+50/60)-(4+30/60)

标准比：6057

列出比例关系：y-(4+30/60):(10+50/60)-(4+30/60)=60：57

解得y=l1+10/60,即此时的标准时间为11时10分。

三、练习

1.甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离

A地4千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地3千米处第二

次相遇，求两次相遇地点之间的距离.

2.一列快车和一列慢车相向而行，快车的车长是280米，慢车的车长为385米，坐在快车上

的人看见慢车驶过的时间是11秒，那么坐在慢车上的人看见快车驶过的时间是多少？

3.前进钢铁厂用两辆汽车从距工厂90千米的矿山运矿石，现有甲、乙两辆汽车，甲车自矿

山，乙车自钢铁厂同时出发相向而行，速度分别为每小时40千米和50千米，到达目的地后

立即返回，如此反复运行多次，如果不计装卸时间，且两车不作任何停留，则两车在第三次

相遇时，距矿山多少千米？

4.甲乙两地有公共骑车，每隔3分钟就从两地各发一辆汽车，30分钟驶完全程。如果车速均

匀，一个人坐上午9点的车从甲地开往乙地，一共遇上多少辆汽车？

A15B18C19D20

5.甲、乙两人站在匀速上升的自动扶梯从底部向顶部走，甲每分钟走扶梯的级数是乙的2倍;

当甲走了36级到达顶部，而乙走了24级到达顶部。那么，自动扶梯有多少级露在外面？

A68B56C72D85

6、绕湖•周是20千米，甲、乙二人从湖边某一地点同时出发反向而行，甲以每小时4千米

的速度每走一小时以后休息5分钟，乙以每小时6千米的速度每走50分钟后休息10分钟，

则两人从出发到第一次相遇用了多少分钟？

A120B125C130D136

7、人乘竹排沿江顺流漂流而下，迎面遇到一艘逆流而上的快艇，他问快艇员：你后面有轮

船开过来吗？快艇员回答：半小时前我超过一艘轮船。竹排继续顺水漂流了1小时遇到了迎

面开来的这艘轮船。那么快艇静水速度是轮船静水速度的几倍？

A2B2.5C3D3.5

8、某司机开车从A城到B城。如果按原定速度前进，可准时到达。当路程走了一半时;司

机发现前一半路程中，实际平均速度只可达到原定速度的11/13.现在司机想准时到达B城，

在后一半的行程中，实际平均速度与原速度之比是（）

All：9B12：7C11：8D13：8

9、在一圆形跑道上，甲从A点、乙从B点同时出发反向而行，8分钟后两人相遇，再过6

分钟甲到B点，又过10分钟两人再次相遇，则甲环行一周需要（）?

A24分钟B26分钟C28分钟D30分钟

10、一个圆的周长为1.26米，两只蚂蚁从一条直径的两端同时出发沿圆周相向爬行。这两

只蚂蚁每秒分别爬行5.5厘米和3.5厘米，他们每爬行1秒，3秒，5秒……（连续的奇数），

就掉头爬行，那么，他们相遇时已爬行的时间是多少秒?（）

A46B47C48D49

1.解：①A、B两地间的距离：4X3—3=9（千米）.

②两次相遇点的距离：9—4—3=2（千米）.

2.解:2804-（3854-11）=8（秒）.

提示：在这个过程中，对方的车长=两列车的速度和X驶过的时间.而速度和不变.

3.解：①第三次相遇时两车的路程和为：90+90X2+90X2=450（千米）.

②第三次相遇时，两车所用的时间:4504-（40+50）=5（小时）.

③距矿山的距离为：40X5—2X90=20（千米）.

4、C解析：乙站在上午8点半到9点半，共发送21辆车，这21辆车也就是甲站九点钟发

出所应遇到的，除去首尾就是途中遇到的即21-2=19辆车。

5、C解析：甲乙到达顶部所用的时间之比是36/2:24=3：4

假设扶梯的速度为x,那么36+3x=24+4x,得到x=12,所以扶梯长为36+3X12=72.

6、D解析：两人相遇时间要超过2小时，出发130分钟后，甲、乙都休息完2次，甲已经

行了4X2=8千米，乙已经行了6X(130-20)/60=11千米。相遇还需要(20-8-11)/(4+6尸0.1

小时=6分钟，故两人从出发到第一次相遇用了130+6=136分钟。

7、C解析：对于竹排来说，它自身不动，而快艇、轮船都以它们在静水中的速度向它驶来。

快艇半小时走的路程，轮船用了1个半小时。因此快艇静水中的速度是轮船静水速度的3

倍。

8、A解析：前一半路程用的时间是原定的13/11.多用了2/11.要想准时到达，后一半路程只

能用原定时间的1-2/11=9/11。所以后一半行程的速度是原定速度的9/11.即11：9。

9、C解析：甲、乙两人从第一次相遇到第二次相遇，用了6+10=16分钟。也就是说，两人

16分钟走了一圈。从出发到两人第一次相遇用了8分钟，所以两人共走版权，即从A到B

是半圈，A从A到B用了8+6=14分钟，故甲环行一周需要14*2=28分钟。

10、D解析：半圆周长63厘米。如果蚂蚁不掉头走，用63/(5.5+3.5尸7秒即相遇。由于

13-11+9-7+5-3+1=7,所以经过13+11+9+7+5+3+1=49秒，两只蚂蚁相遇。

浓度一类问题的解题办法

一、十字交叉法

十字交叉法是公务员考试数算里面的一个重要方法，很多比例问题，都可以用十字交叉法来

很快地解决，而在资料分析中，也能够派上很大用场，所以应该认真掌握它。

(-)原理介绍

通过一个例题来说明原理。

例：某班学生的平均成绩是80分，其中男生的平均成绩是75,女生的平均成绩是85。求该

班男生和女生的比例。

方法一：男生一人，女生一人，总分160分，平均分80分。男生和女生的比例是1：1。

方法二：假设男生有A,女生有B。(A*75+B85)/(A+B)=80

整理后A=B,因此男生和女生的比例是1：1。

方法三：

男生：755

80

女生：855

男生：女生=1：1。

一个集合中的个体，只有2个不同的取值，部分个体取值为A,剩余部分取值为B。平均值

为C。求取值为A的个体与取值为B的个体的比例。假设A有X,B有(1-X)。

AX+B(1-X)=C

X=(C-B)/(A-B)

1-X=(A-C)/(A-B)

因此:X：(1-X)=(C-B)：(A-C)

上面的计算过程可以抽象为：

AC-B

C

BA-C

这就是所谓的十字相乘法。

十字相乘法使用时要注意几点：

第一点：用来解决两者之间的比例关系问题。

第二点：得出的比例关系是基数的比例关系。

第三点：总均值放中央，对角线上，大数减小数，结果放对角线上。

(二)例题与解析

1.某体育训练中心，教练员中男占90%,运动员中男占80%,在教练员和运动员中男占

82%,教练员与运动员人数之比是

A.2：5B.1：3C.1：4D.1：5

答案：C

分析：

男教练：90%2%

82%

男运动员：80%8%

男教练：男运动员=2%：8%=1：4

2.某公司职员25人，每季度共发放劳保费用15000元，已知每个男职必每季度发580元，每

个女职员比每个男职员每季度多发50元，该公司男女职员之比是多少

A.2：1B.3：2C.2：3D.1：2

答案：B

分析：职工平均工资15000/25=600

男职工工资：58030

600

女职工工资：63020

男职工：女职工=30：20=3：2

3.某城市现在有70万人口，如果5年后城镇人口增加4%,农村人口增加5.4%,则全市人

口将增加4.8%。现在城镇人口有()万。

A30B31.2C40D41.6

答案A

分析：城镇人口：4%0.6%

4.8%

农村人口：5.4%0.8%

城镇人口：农村人口=0.6%；0.8%=3：4

70*(3/7)=30

4.某班男生比女生人数多80%,一次考试后，全班平均成级为75分，而女生的平均分比

男生的平均分高20%,则此班女生的平均分是：

A.84分B.85分C.86分D.87分

答案：A

分析：假设女生的平均成绩为X,男生的平均Y。男生与女生的比例是1.8：1=9：5o

男生：Y9

75

女生：X5

根据十字相乘法原理可以知道

X=84

5.某高校2006年度毕业学生7650名，比上年度增长2%.其中本科毕业生比上年度减少

2%.而研究生毕业数量比上年度增加10%,那么，这所高校今年毕业的本科生有：

A.3920人B.4410人C.4900人D.5490人

答案：C

分析：去年毕业生一共7500人。7650/(1+2%)=7500人。

本科生：-2%8%

2%

研究生：10%4%

本科生：研究生=8%：4%=2：lo

7500*(2/3)=50005000*0.98=4900

6.某市按以下规定收取燃气费：如果用气量60立方米，按每立方0.8元收费；如果用气量

超过60立方米，则超过部分按每立方1.2元收费。某用户8月份交的燃气费平均每立方米

0.88元。则该用户8月份的燃气费是()

A66元B56元C48元D61.6元

答案：A

解析：方法一：整除法

费用必须能被单价除尽(类似用电、用水也好，使用煤气也好，总使用量一般是整数，这是

关键)，已知单价0.88元，其中含有11这个因子，只有A满足。

方法二：十字相乘法

标准用气0.80.32

0.88

超标用气1.20.08

标准用气：超标用气=0.32：0.08=4：1=60：15

所以8月份的燃气费=(60+15)*0.88=75*0.88=66

7.资料分析：

2006年5月份北京市消费品市场较为活跃，实现社会消费品零售额272.2亿元，创今年

历史第二高。据统计，1-5月份全市累计实现社会消费品零售额1312.7亿元，比去年同期增

长12.5%。

汽车销售继续支撑北京消费品市场的繁荣。5月份，全市.机动车类销售量为5.4万辆，

同比增长23.9%。据对限额以上批发零售贸易企业统计，汽车类商品当月实现零售额32.3

亿元，占限额以上批发零售贸易企业零售额比重的20.3%

据对限额以上批发零售贸易企业统计，5月份，家具类、建筑及装潢材料类销售延续了

4月份的高幅增长，持续旺销，零售额同比增长了50%。其中，家具类商品零售额同比增长

27.3%,建筑及装潢材料类商品零售额同比增长60.8%。同时由于季节变换和节日商家促销

的共同作用，家电销售大幅增长，限额以上批发零售贸易企业家用电器和音像器材类商品零

售额同比增长13.6%。

123.2006年5月份，限额以上批发零售贸易企业中，家具类商品零售额占家具类和建筑及

装潢材料类商品零售额的比例是：

A.27.4%B.29.9%C.32.2%D.34.6%

答案:A

解析：方法一：比较常规的做法假设2005年家具类所占比例为X。

X*(1+27.3%)+(1-X)*(1+60.8%)=1+50%

X=32.2%。

[32.2%*(1+27.3%)]/[32.2%*(1+27.3%)+(1-32.2%)*(1+60.8%0)]=27.4%

方法二：十字相乘法

家具27.3%,近似为27%；

建筑60.8%,近似为61%。

家具：27%11%

50%

建筑：61%23%

家具：建筑=11%：23%大约等于1：2。

注意这是2006年4月份的比例。

建筑类2006年所占比例为：1*(1+27.3%)/[I*(1+27.3%)+2*(1+60.8%)=1.27/(1.27+3.2)

=1.27/4.5=28%。和A最接近。

二、浓度问题

(―)基本知识点：

1、溶液=溶质+溶剂；

2、浓度=溶质/溶液；

3、溶质=溶液*浓度；

4、溶液=溶质/浓度；

(二)例题与解析

1.甲容器中有浓度为4%的盐水250克，乙容器中有某种浓度的盐水若干克。现从乙中取

出750克盐水，放人甲容器中混合成浓度为8%的盐水。问乙容器中的盐水浓度约是多少？

A.9.78%B.10.14%C,9.33%D.11.27%

答案：C

解析：

方法一：设浓度为x

(250*4%+750*x)/(250+750)=8%

x=9.33%

方法二：设浓度为x

甲：4X-8

8

乙：X4

(X-8)：4=250：750=1：3

X=9.33%

2.一个容器内有若干克盐水。往容器内加入一些水，溶液的浓度变为3%,再加入同样多

的水，溶液的浓度为2%,问第三次再加入同样多的水后，溶液的浓度是多少？

A.1.8%B.1.5%C.1%D.0.5%

答案：B

解析：设加入x的水

3/(100+x)=2/100

x=50

3/100+50+50=1.5%

3.现有种预防禽流感药物配置成的甲、乙两种不同浓度的消毒溶液。若从甲中取2100克,

乙中取700克混合而成的消毒浓度为3%；若从甲中取900克，乙中取2700克，则混合而

成的溶液的浓度为5%。则甲、乙两种消毒溶液的浓度分别为：

A、3%6%B、3%4%C、2%6%D、4%6%

答案：C

解析：设甲的浓度为x,乙的浓度为y

1(2100x+700y)/2800=3%

2(900x+2700y)/3600=6%

14-2快速变形后得到：5(3x+y)=3(x+3y)

y=3x

4.甲、乙两瓶酒精溶液分别重300克和120克；甲中含酒精120克，乙中含酒精90克。问

从两瓶中应各取出多少克才能兑成浓度为50%的酒精溶液140克？

A甲100克，乙40克B甲90克，乙50克

C甲110克，乙30克D甲70克，乙70克

答案：A

解析：甲浓度为40%,乙浓度为75%,

甲中取A,乙中取140-A

甲：4025

50

乙：7510

A：(140-A)=5：2

A=100

5.从装有100克浓度为10%的盐水瓶中倒出10克盐水后，再向瓶中倒入10克清水，这样

算一次操作，照这样进行下去，第三次操作完成后，瓶中盐水的浓度为：

A.7%B.7.12%C.7.22%D,7.29%

答案：D

10%*(1-10%)八3=7.29%

6.杯中原有浓度为18%的盐水溶液100ml,重复以下操作2次，加入100ml水，充分配合

后，倒出100ml溶液，问杯中盐水溶液的浓度变成了多少?()

A9%B7.5%C4.5%D3.6%

答案：C

18%*(100/100+100)A2=4.5%

注：多次混合问题核心公式：

1、设盐水瓶中盐水的质量为M,每次操作先倒出N克盐水，再倒入N克清水。

Cn=Co（1-N/M）An[Cn为新浓度，Co为原浓度]

2、设盐水瓶中盐水的质量为M,每次操作先倒入N克清水，再倒出N克盐水。

Cn=Co（M/M+N）An[Cn为新浓度，Co为原浓度]

三、练习

1.某市居民生活用电每月标准用电价格为每度0.50元，若每月用电超过规定的标准用电，超

标部分按照基本价格的80%收费。某用户九月份用电84度，共交电费39.6元，则该市每月

标准用电为（）度。

A60B65C70D75

2.某车间进行考核，整个车间平均分是85分，其中2/3的人得80分以上（含80分），他们

的平均分是90分，则低于80分的人的平均分是多少？（）

A68B70C75D78

3.一只猫每天吃由食品A和食品B搅拌成的食物300g,食品A的蛋白质含量为10%,食品

B的蛋白质含量为15%,如果该猫每天需要38g蛋白质，问十五中食品A的比重是百分之

儿？

A47%B40%C1/3D50%

4.一块试验田，以前这块地所种植的是普通水稻。现在将该试验III的1/3中上超级水稻，收

割时发现该试验田水稻总产量是以前产量的1.5倍。如果普通水稻的产量不变，则超级水稻

和普通水稻的平均产量之比是多少？（）

A5：2B4：3C3：1D2：1

5.甲容器中有浓度为4%的盐水150克，乙容器中有某种浓度的盐水若干，从乙中取出450

克盐水，放入甲中混合成浓度为8.2%的盐水。问乙容器中盐水的浓度是多少？（）

A.9.6%B.9.8%C.9.9%D,10%

6.甲杯中有浓度为17%的溶液400克，乙杯中有浓度为23%的溶液600克。现在从甲、乙两

杯中取出相同总量的溶液，把从甲杯中取出的倒入乙杯中，把从乙杯中取出的倒入甲杯中，

使甲、乙两杯溶液的浓度相通，现在两杯溶液的浓度是（）

A20%B20.6%C21.2%D21.4%

7.两个相同的瓶子装满酒精溶液，•个瓶子中酒精与水的体积比是3：1.另一个瓶子中酒精

与水的体积比是4：1,若把两瓶酒精溶液混合，则混合后的酒精与水的体积之比是多少？

（）

A31：9B7：2C31：40D20：11

8.从装满100克浓度为80%的盐水杯中倒出40克盐水，然后倒入清水把杯子装满，这样反

复3次后，杯中盐水的浓度是（）

A17.28%B28.8%C11.52%D48%

答案：ACAAAB（提示：相当于直接将甲、乙混合）AA

数学运算之工程问题专题

数学运算之工程问题专题

1.由于工程问题解题中遇到的不是具体数量，与学生的习惯性思维相逆，同学们往往感到

很抽象，不易理解。

2.比较难的工程问题，其数量关系一般很隐蔽，工作过程也较为复杂，往往会出现多人多

次参与工作的情况，数量关系难以梳理清晰。

3.一些较复杂的分数应用题、流水问题、工资分配、周期问题等，其实质也是工程问题，

但同学们易受其表面特征所迷惑，难以清晰分析、理解其本质结构特征是工程问题，从而未

按工程问题思路解答，误入歧途。

工程问题是从分率的角度研究工作总量、工作时间和工作效率三个量之间的关系，它们

有如下关系：工作效率X工作时间=工作总量；工作总量+工作效率=工作时间；工作总量

・工作时间=工作效率。那我们应该怎样分析工程问题呢？

1.深刻理解、正确分析相关概念。

对于工程问题，要深刻理解工作总量、工作时间、工作效率，简称工总、工时、工效。

通常工作总量的具体数值是无关紧要的，一般利用它不变的特点，把它看作单位“1”；工作

时间是指完成工作总量所需的时间；工作效率是指单位时间内完成的工作量，即用单位时间

内完成工作总量的几分之一或几分之几来表示工作效率。

分析工程问题数量关系时，运用画示意图、线段图等方法，正确分析、弄请题目中哪个

量是工作总量、工作时间和工作效率。

2.抓住基本数量关系。

解题时，要抓住工程问题的基本数量关系：工作总量=工作效率X工作时间，灵活地运

用这一数量关系提高解题能力。这是解工程问题的核心数量关系。

3.以工作效率为突破口。

工作效率是解答工程问题的要点，解题时往往要求出一个人一天（或一个小时）的工作

量，即工作效率（修路的长度、加工的零件数等）。如果能直接求出工作效率，再解答其他

问题就较容易，如果不能直接求出工作效率，就要仔细分析单独或合作的情况，想方设法求

出单独做的工作效率或合作的工作效率。

工程问题中常出现单独做、几人合作或轮流做的情况，分析时要梳理、理顺工作过程，

抓住完成工作的几个过程或几种变化，通过对应工作的每一阶段的工作量、工作时间来确定

单独做或合作的工作效率。也常常将问题转化为由甲（或乙）完成全部工程（工作）的情况,

使问题得到解决

要抓住题目中总的工作时间比、工作效率比、工作量比，及抓住隐蔽的条件来确定工作

效率，或者确定工作效率之间的关系。

总之，单独的工作效率或合作的工作效率是解答工程问题的关键。

【例1】一件工作，甲单独做12小时完成，乙单独做9小时可以完成。如果按照甲先乙后

的顺序，每人每次1小时轮流进行，完成这件工作需要几小时？

【解析】设这件工作为“1”，则甲、乙的工作效率分别是1/12和l/9o按照甲先乙后的顺序,

每人每次1小时轮流进行，甲、乙各工作1小时，完成这件工作的7/36,甲、乙这样轮流进

行了5次，即10小时后，完成了工作的35/36,还剩下这件工作的1/36,剩下的工作由甲

来完成，还需要1/3小时，因此完成这件工作需要31/3小时。

【例2】一份稿件，甲、乙、丙三人单独打各需20、24、30小时。现在三人合打，但甲因中

途另有任务提前撤出，结果用12小时全部完成。那么，甲只打了几小时？

【解析】设打这份稿件的总工作量是“1”，则甲、乙、丙三人的工作效率分别1/20、1/24

和1/30。在甲中途撤出前后，其实乙、丙二人始终在打这份稿件，乙、丙12小时打了这份

稿件的9/10,还剩下稿件的1/10,这就是甲打的。所以，甲只打了2小时。

【例3］一件工程，甲、乙合作6天可以完成。现在甲、乙合作2天后，余下的工程由乙

独做又用8天正好做完。这件工程如果由甲单独做，需要儿天完成？

［解析］甲、乙合作2天，甲2乙2,剩下应该是甲4乙4=乙8.则甲=乙，所以甲单独

完成需要12天。

【例4】一个游泳池，甲管放满水需6小时，甲、乙两管同时放水，放满需4小时。如果

只用乙管放水，则放满需：

A8小时B10小时C12小时D14小时(2001年A类真题)

【解析】：设游泳池放满水的工作量为1,甲管放满水需6小时，则甲每小时完成工作量的

1/6甲、乙两管同时放水，放满需4小时，则甲乙共同注水，每小时可注游泳池的1/4,则

乙每小时注水的量为1/4-1/6=1/12,则如果只用乙管放水，则放满需12小时。

另法：甲乙同时放水需要4小时=甲4乙4=甲6则乙=0.5甲，需要12小时。

【例5】一个水池有两个排水管甲和乙，一个进水管丙.若同时开放甲、丙两管，20小时可

将满池水排空；若同时开放乙、丙两水管，30小时可将满池水排空，若单独开丙管，60小

忖可将空池注满.若同时打开甲、乙、丙三水管，要排空水池中的满池水，需儿小时？

【解析】工程问题最好采用方程法。

由题可设甲X小时排空池水，乙Y小时排空池水，则可列方程组

1/X-1/60=1/20解得X=15

l/Y-l/60=l/30解得Y=20

则三个水管全部打开，则需要1+(1/15+1/20-1/60)=10

所以，同时开启甲、乙、丙三水管将满池水排空需10小时。

【例6】铺设一条自来水管道，甲队单独铺设8天可以完成，而乙队每天可铺设50米。如

果甲、乙两队同时铺设，4天可以完成全长的2/3,这条管道全长是多少米？

A1000米B1100米C1200米D1300米(2002年B类真题)

【解析】设乙需要X天完成这项工程，依题意可列方程

(1/8+1/X)X4=2/3

解得X=24

也即乙每天可完成总工程的1/24,也即50米，所以管道总长为1200米。

所以，正确答案为C。

另法：甲4天完成1/2,乙4天完成200米=1/6,全长1200米。

【例7】一项工程甲乙丙合作5天完成，现在三人合作2天后，甲调走，乙丙继续合作5天

后完工，问甲一人独做需几天完工？

【解析】三人合作2天完成2/5,剩余3/5需要乙丙5天，效率为3/25,则甲的效率为

1/5-3/25=2/25,所以甲单独做需要12.5天。

［例8］制作一批零件，甲车间要10天完成；茹果甲车间和乙车间一起做只要6天就能完

成，乙车间和丙车间一起做需要8天。现在三个车间一起做，完成后发现甲比乙多做2400

个。丙制作零件多少个？

【解析】效率比甲：乙=3：2,则乙单独需要15天，则乙：丙=8：7,则甲：乙：丙=12：

8：7,假设丙做了7X个，则甲比乙多做4X=2400,7X=4200个。

【例9】蓄水池有甲丙两条进水管和乙丁两台排水管。要注满一池水，单开甲管要3小时，

单开丙管要5小时。要排光一池水，单开乙管要4小时，单开丁管要6小时。现知池内有

1/6池水，如果按甲乙丙丁、甲乙丙丁……的顺序轮流各开一小时，问多少时间后，水开始

溢出水池？

【解析】甲乙丙丁四条水管各开一个小时以后，也就是一个轮回，水池的水量是：

（1/3+1/5）-（1/4+1/6）=7/60；

当N个轮回结束，水池水量超过2/3时候，再单独开甲就要有水溢出。

l/6+N*7/60=2/3解得N=4.。。2,取N=5

1-1/6-5*7/60=1/4需要3/4小时。则总时间为4*5+3/4=20又3/4

数学运算之牛吃草问题

（一）“牛吃草”问题的关键知识点共有以下三点：

1、草场原有的草量，假设为A

2、草场每天生长的草量，假设为B

3、牛每天吃的草量，假设为1

1,牧场上有一片匀速生长的草地，可供27头牛吃6天，或供23头牛吃9天.那么它可供21

头牛吃几天？

解析：A+6B=27*6

A+9B=23*9

可得B=（23*9-27*6）4-3=15,A=72

也就是说，原有草量（A）可以供1头牛吃72天。而每天新增长的草量（B）,每天需要15

头牛来吃，才能刚刚好吃完。

那么，解这题的时候，不妨把问的21头牛分成2部分。一部分是15头，每天吃新增长的草

量（B）,刚好平衡。而另外6头只吃原有的草量（A）。这样，牧场上的草够吃72+6=12

天。

2、一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内.如果10人淘水，3小时淘完；如

5人淘水8小时淘完.如果要求2小时淘完，要安排多少人淘水？

解析：A+3B=10*3

A+8B=5*8

求出B=2,A=24

也就是说，每小时进水的量（B）需要2个人来淘才可以刚刚平衡

而原有水量要淘完需要244-2=12个人

因此一共需要12+2=14个人淘水。

3、一块草地，每天生长的速度相同.现在这片牧草可供16头牛吃20天，或者供80只羊吃

12天.如果一头牛一天的吃草量等于4只羊一天的吃草量，那么10头牛与60只羊起吃可

以吃多少天？

解析：由于1头牛每天的吃草量等于4只羊每天的吃草量，故60只羊每天的吃草量和15

头牛每天吃草量相等，80只羊每天吃草量与20头牛每天吃草量相等。

A+20B=16*20

A+12B=20*12

B=10,A=120

每天新生长的草量需要10只牛吃才刚刚平衡。因此，剩下的60只羊=15只牛全部去吃原有

草量，需要120・15=8天

4、一水库原有存水量一定，河水每天均匀入库.5台抽水机连续20天可抽干；6台同样的抽

水机连续15天可抽干.若要求6天抽干，需要多少台同样的抽水机？

解：A+20B=5*20

A+15B=6*15

B=2.A=60

水库原有水量（A）抽干的话需要60/6=10台抽水机，另外，每天新进水量（B）需要2台

抽水机来抽才刚刚好平衡。

所以一共需要10+2=12台抽水机。

数学运算之排列组合问题

公务员考试排列组合问题

（―）基本概念

（1）加法原理：分类的用加法

乘法原理：分步的用乘法

排列：与顺序有关

组合：与顺序无关

（2）主要解题技巧：逆向考虑法，特殊位置先排，隔板法，插空法，分类法，捆绑法等。

因为这部分内容比较多，所以抽屉原理另外在下•个专题里单独讲。

（二）习题与解析：

1、用1、2、3、4、5、6、7、8可组成多少个没有重复数字的五位数？

解析：这是•个从8个元素中取5个元素的排列问题，由排列数公式，共可组成：

P85=8*7*6*5*4=6720

2、由数字0、1、2、3可以组成多少个没有重复数字的偶数？

解析：分类法

注意到由四个数字0、1、2、3可组成的偶数有一位数、二位数、三位数、四位数这四类，

所以要一类一类地考虑，再由加法原理解决.

第一类：一位偶数只有0、2,共2个；

第二类：两位偶数，它包含个位为0、2的两类.若个位取0,则十位可有C13种取法；若个

位取2,则十位有C12种取法.故两位偶数共有（C13+C12）种不同的取法；

第三类：三位偶数，它包含个位为0、2的两类.若个位取0,则十位利百位共有P23种取法;

若个位取2,则十位和百位只能在0、1、3中取，百位有2种取法，十位也有2种取法，由

乘法原理，个位为2的三位偶数有2X2个，三位偶数共有（P23+2X2）个；

第四类：四位偶数.它包含个位为0、2的两类.若个位取0,则共有P33个；若个位取2,

则其他3位只能在0、1、3中取.千位有2种取法，百位和十位在剩下的两个数中取，再

排成一列，有P22种取法.由乘法原理，个位为2的四位偶数有2XP22个.所以，四位偶数

共有（P33+2XP22）种不同的取法.

由加法原理知，共可以组成

2+(C13+C12)+(P23+2X2)+(P33+2XP22)

=2+5+10+10

=27个不同的偶数.

3、从5幅国画，3幅油画，2幅水彩画中选取两幅不同类型的画布置教室，问有几种选法？

解析：分类法。首先考虑从国画、油画、水彩画这三种画中选取两幅不同类型的画有三种情

况，即可分三类，自然考虑到加法原理.当从国画、油画各选一幅有多少种选法时，利用的

乘法原理.由此可知这是一道利用两个原理的综合题.关键是正确把握原理.

解：符合要求的选法可分三类：

设第一类为：国画、油画各一幅，可以想像成，第一步先在5张国画中选1张，第二步再在

3张油画中选1张.山乘法原理有5X3=15种选法.第二类为国画、水彩画各一幅，由乘法原

理有5X2=10种选法.第三类油画、水彩各一幅，由乘法原理有3X2=6种选法.这三类是

各自独立发生互不相干进行的.

因此，依加法原理，选取两幅不同类型的画布置教室的选法有15+10+6=31种.

运用加法和乘法原理时要注意：

①抓住两个基本原理的区别，千万不能混.

不同类的方法(其中每一个方法都能各自独立地把事情从头到尾做完)数之间做加法，可求

得完成事情的不同方法总数.

不同步的方法(全程分成几个阶段(步)，其中每一个方法都只能完成这件事的一个阶段)

数之间做乘法，可求得完成整个事情的不同方法总数.

②在研究完成一件工作的不同方法数时，要遵循“不重不漏”的原则.请看一些例：从若干

件产品中抽出几件产品来检验，如果把抽出的产品中至多有2件次品的抽法仅仅分为两类：

第一类抽出的产品中有2件次品，第二类抽出的产品中有1件次品，那么这样的分类显然漏

掉了抽出的产品中无次品的情况.又如：把能被2、被3、或被6整除的数分为三类：第一类

为能被2整除的数，第二类为能被3整除的数，第三类为能被6整除的数.这三类数互有重

复部分.

③在运用乘法原理时，要注意当每个步骤都做完时，这件事也必须完成，而且前面一个步骤

中的每一种方法，对于下个步骤不同的方法来说是一样的.

4、一学生把•个一元硬币连续掷三次，试列出各种可能的排列.

解析：画图

由此可知，排列共有如下八种：

正正正、正正反、正反正、正反反、

反正正、反正反、反反正、反反反.

5、参加会议的人两辆都彼此握手，有人统计共握手3