二次函数与45°的美丽邂逅-关于一类二次函数综合题的解题思考

二次函数与45°的美丽邂逅——关于一类二次函数综合题的解题思考二次函数与45°的美丽邂逅——关于一类二次函数综合题的解题思考引言：二次函数是高中数学中重要的一个内容，它广泛应用于自然科学、工程技术和经济管理等领域。而本文主要讨论一类与45°相关的二次函数综合题，通过解题思考，展示出二次函数的多样性和美丽。一、问题描述假设有一个二次函数，它的图像与直线y=x的交点为A，与y轴的交点为B，且过点B且与x轴垂直的直线交该二次函数的另一交点为C。如果AC的长度等于AB的长度的3倍，求该二次函数的解析式。二、问题分析首先，我们需要确定该二次函数的一般形式为y=ax²+bx+c。由于该二次函数与直线y=x交于点A，因此它们在交点处的横纵坐标相等，即x=y。将这个条件带入二次函数的一般形式中，可得到a+b+c=0，其中a，b，c为二次函数的系数。另外，由于直线过原点，且过点B且与x轴垂直的直线与x轴垂直，那么C点的坐标为(0,-c)。接下来，我们设点C的坐标为(x1,0)。由于AB的长度等于AC的长度的3倍，可得AB=3AC。根据两点间的距离公式，可以计算出AB的长度和AC的长度。其中AB的长度为√((x1-0)²+(-c-0)²)，即AB=√(x1²+c²)，而AC的长度为√((x1-0)²+(-c-c)²)，即AC=√(x1²+4c²)。根据题目要求，AB=3AC，所以√(x1²+c²)=3√(x1²+4c²)。接下来，我们需要通过解这个方程组，进一步确定二次函数的解析式。三、解题过程1.解方程组根据上述分析，我们需要解方程√(x1²+c²)=3√(x1²+4c²)。为了简化计算，我们可以将方程两边平方，得到x1²+c²=9(x1²+4c²)。化简后可以得到8x1²-35c²=0，再将x1代入该方程，得到8x²-35c²=0。由于方程中未知数有两个，而方程只有一个，所以我们需要另外一个条件来确定a、b、c中的某一个。根据题目要求，该二次函数与y=x交于点A，所以带入一般形式得到a+b+c=0。将这个条件代入8x²-35c²=0，可以进一步化简得到8x²-35c²+a²+2ab=0。2.求解系数根据上述分析，我们得到了两个方程：8x²-35c²+a²+2ab=0和a+b+c=0。为了求解这个二元二次方程组，我们可以先解第二个方程，求得a，再将a的值带入第一个方程解出b和c。根据第二个方程a+b+c=0，我们可以得到a=-b-c。将这个结果代入第一个方程8x²-35c²+a²+2ab=0，化简后得到8x²-35c²+(-b-c)²+2b(-b-c)=0。进一步化简可以得到8x²-35c²+b²+c²-2bc-2b²-2bc=0，即8x²-3b²-10bc-36c²=0。3.求解二元二次方程组为了解方程组8x²-3b²-10bc-36c²=0和a+b+c=0，我们可以先解第二个方程a=-b-c，代入第一个方程得到8x²-3b²-10bc-36c²=0。我们令y=b/c，代入上图的方程，得到8x²-3y²-10y-36=0。这是一个关于x的二次方程，我们可以使用一元二次方程的求解方法求解。通过求解上述方程，即可得到x的值。再根据x的值求出对应的a，b，c的值，从而得到该二次函数的解析式。四、结论与总结通过以上的解题思考，我们可以看到在解这一类二次函数与45°相关的综合题时，首先确定二次函数的一般形式，然后利用给定条件，列方程，进而求解方程组，最终得到解析式。这一类综合题的解题过程需要运用到二次函数的基本性质和方程的求解方法，因此对于学生来说，这是一个相对较难的题型。通过解这类题目，可以帮助学生巩固二次函数的概念和性质，培养学生的分析问题和解决问题的能力。总之，二次函数与45°的美丽