新教材人教A版高中数学必修第一册期末综合测试 基础篇一（解析）

期末综合测试一基础篇

一、单项选择题

1.(2019•唐山一中高一期中)已矢口集合A={X|X2-2X-3<0},集合B={X|2X+I>1},则CBA=()

A.[3,+oo)B.(3,+oo)

C.(-oo,-1]U[3,+co)D.(-co,-1)U(3,+oo)

【答案】A

【解析】因为A={x|Y—2x—3<0}={x[(x+l)(x—3)<0}=(—l,3),B={%|2X+1)1}=(-1,+a)),

所以CBA=[3,+S)；故选A.

-%//I—

2.(2019・重庆高一期末)函数/(x)=YLH+iog2(%—1)的定义域为()

x-2

A.(1,4)B.(2,4)C.(1,2)(2,4)D.(1,2)(2,4]

【答案】D

-4-x>0

【解析】由题意{x—2#0得1〈尤<4且故选D.

%—1>0

3.（2019•河南高一月考）若0<%<丁<1,贝IJ（）

A.3，<3'B.logA.3>log>3

c.log/〉log4yD.O

【答案】B

【解析】对于A,因为尤<）且函数y=3*为递增函数，所以3工<31故A不正确;

对于3,因为。<X<y<i,且函数y=iog3］为递增函数，所以iog3x<log3y<0,

所以丁L>丁匚，即log*3〉logy3,故3正确；

log3Xlog3y

对于C,因为0<x<y<l,且函数_y=log4x为递增函数，所以log4x<log4y,故C不正确；

对于。，因为0<x<y<1,且函数y=（:厂为递减函数，所以（：厂>4）',故D不正确.故选B.

7T1

4.（2019•江西高二月考）已知aw（-5,0）,sin（九一2a）=-耳，则sina-cosa=（）

A.立B.一旦C.@D._逅

2222

【答案】D

【解析】因为sin(7r-2a)=——，所以sin2a=-L,即2sinacosa=——,

222

所以(sintz-cos］)?=1-2sinacosa=1+g=m，又ce［一］,。］,所以sin。vcostz,

所以得到sine-coscr=-乂5.故选：D.

2

5.（2019・苍南县树人中学高一期中）若对任意的实数xeR,不等式炉+如+2m—320恒成立,

则实数机的取值范围是

A.[2,6]'B.[-6,-2]

C.（2,6）D.（-6,-2）

【答案】A

【解析】对任意实数xeH,不等式必+3+2m—320恒成立，则

m2-4（2/?7-3）=m2-8m+12<0-解得2WmW6，即实数加的取值范围是[2,6],故选A.

6.（2019•重庆市云阳江口中学校高一月考）股票价格上涨10%称为“涨停”，下跌10%称为“跌停”.某

位股民购进某只股票，在接下来的交易时间内，这只股票先经历了3次涨停，又经历了3次跌停，

则该股民在这支股票上的盈亏情况（不考虑其他费用）为（）

A.略有盈利B.略有亏损C.没有盈利也没有亏损D.无法判断盈亏情况

【答案】B

【解析】由题意可得：（1+10%）3（1-10%）3=0993«0,97<1.

因此该股民这只股票的盈亏情况为：略有亏损.故选：B.

7.（2019•山西高一期中）已知函数/（x）=sin2x,则下列说法正确的是（）

A./（无）的最小正周期为2乃B.”尤）在区间[-王，-]上是增函数

22

C.〃尤）的图像关于点（色,0）对称D.Ax）的图像关于直线x=£对称

42

【答案】D

1mo2v।1

【解析】函数y（x）=sin2x=------^―=coslx+—.,

''222

27r

得：/(%)的最小正周期为学=乃，A不正确；

冗冗

/(%)在区间上，2Kq-兀，兀此时函数不单调，B不正确；

当X=?时，cos2x=0,所以“力的图像关于点对称，C不正确；

当时，cos2x=—1,的图像关于直线x=］对称正确.故选D.

8.(2019•黑龙江大庆中学高一期中(理))已知/(%)是定义在R上的奇函数，当xe(O,M)时，

〃力=2'-2,则不等式/(log?尤)>0的解集为()

A.B.gl,Q+oo)

C.(2,+co)D.(2,+co)

【答案】B

【解析工•••/(九)是定义在H上的奇函数，二/(。)=0,当x<0：,-x>0,

此时/(—x)=2f—2,•••/(九)是奇函数，.•./(—x)=2f—2=—/(x),

即/(x)=2—2-。》<0,

当log2」=0,即x=l时，不等式〃log2X)>0不成立；

当现2%>0,即x>l时，〃1吗尤)=2脸，_2>0,解得：x>2

1OfeX

当log2X<0,即0<x<l时，/(log2x)=2-2->0,解得:<x<l,

综合得：不等式川吗工)>0的解集为［,1］。(2,+8),故选B.

二、多项选择题

9.(2019•苏州市相城区陆慕高级中学高一月考)已知集合A={x|(a2-l)x2+(a+l)x+l=o}中有

且仅有一个元素，那么a的值为()

5

A.-1B.1C.-D.0

3

【答案】BC

【解析】：•・•集合A={4x@R|(“2-1)x2+(a+1)%+1=0}中有且仅有一个元素，

，方程(a2-1)x2+(a+1)x+l=O有且只有一个实数根;

・••①当〃2-1=0,〃+屏0时，a=l；

②当a2-1^0,〃+1)2-4x(a2-1)=0

解得，〃=-1(舍去)或4=°；或』.故选BC

33

10.(2019•山东省淄博实验中学高一月考)下面命题正确的是()

A.是，<1”的充分不必要条件

a

B.命题“若光<1,则好<1”的否定是“存在改<1,则

C.设x,yeR，则“％之2且y22”是“f+/24”的必要而不充分条件

D.设a,beR,则“a/0”是“"*0”的必要不充分条件

【答案】ABD

【解析】选项A:根据反比例函数的性质可知：由a>1,能推出,<1，但是由!<1,不能推出a>1，例

aa

如当a<0时，符合L<1,但是不符合。>1,所以本选项是正确的；

a

选项B:根据命题的否定的定义可知：命题“若x<l厕必<1”的否定是“存在X<1,则fNl”.

所以本选项是正确的；

选项C：根据不等式的性质可知：由2且y22能推出犬+丁2之4，本选项是不正确的；

选项D：因为6可以等于零，所以由aw0不能推出w0，再判断由"wO能不能推出awO,最后判

断本选项是否正确.故选：ABD

II.(2019Tli东章丘四中高一月考)将函数/(x)=sin2x的图象向左平移弓个单位长度后得到函数

g(x)的图象，则()

A.g(x)在0,^|上的最小值为一日B.g(x)在0,^上的最小值为-1

C.g(x)在上的最大值为且D.g(x)在上的最大值为1

_z」2L/_

【答案】AD

【解析】将函数/(x)=sin2x的图象向左平移6个单位长度后得到函数g(x)=sin(2x+g),

xe0，f，,g<2x+g<?曰<sin(2x+?)<l故选AD.

12.（2019・福建三明一中高一期中）下列说法正确的是（）

A.函数〃x）=!在定义域上是减函数

B.函数/（%）=2、—£有且只有两个零点

C.函数、=2因的最小值是1

D.在同一坐标系中函数y=2工与y=2T的图象关于》轴对称

【答案】CD

【解析】对于A,/（力=!在定义域上不具有单调性，故命题错误；

对于B,函数/（力=2、-f有三个零点，一个负值，两个正值，故命题错误;

对于C,：区之0,；.2凶22。=1,.•.函数y=2凶的最小值是1,故命题正确；

对于D,在同一坐标系中，函数y=2%与y=2）的图象关于y轴对称，命题正确.，故选：CD

三、填空题

13.（2018・上海市新川中学高一期中）若关于x的不等式〃1+法+0>0的解集为{R-ivx<2},则关

于x的不等式cx2+bx+a>0的解集是.

【答案】（―8,—1）uQ,+s]

【解析】•・•关于x的不等式。/+力x+c>o的解集为{R-1VxV2},

「be

.\a<0,且-1+2=一一，—1x2二—.

aa

a1b1

b=~a>Ofc=~2a>0f——,—=—.

c2c2

故关于X的不等式。%2+加;+〃>0,即/+J_>0,即（x+1）（x——）>0,

222

故不<-1或x>；,故关于无的不等式cx2-^bx^a>0的解集是（一0°，-1）。&，+8）

14.（2019秋•余姚市高一期中）若〃>0,存1,则函数f（x）=3+log（J+1）的图象恒过定点;

a

当。>1时，函数/（X）的单调递减区间是.

【答案】（0,3）,（-00,0],（或（-00,0））

【解析】当炉+1=1,即x=0时，f（0）=3+k»g/=3,故/（x）恒过定点（0,3）,

当时，y=3+log°a为（0,+oo）上的增函数，故由复合函数的单调性可知，

于3的单调递减区间为〃=/+1>0,且单调递减的区间，

：.f（x）的单调递减区间为（-00,0],（或（-8,0））

52

15.（2019•上海市新中高级中学高一月考）已知lgx+lgy=l,那么一+一的最小值为

xy

【答案】2

【解析】由lgx+lgy=l,得1g孙=1即孙=10,且x〉0,y>0,

.52_5y+2x2x+5y2j2x-5y7W)

Xy砂10-105

52

当且仅当2x=5y=10时取等号，所以一+一的最小值是2.故答案为：2.

%y

JI4

16.（2019•全国高一月考）已知sin（一+。）=—,贝！Jsin2cr=

45

7

【答案】—

25

（兀、44

【解析】由$111〔1+夕）=1可得^-（51110+（：052）=不，

两边平方得一（sintz+coser）2=-，整理得：sin2a=一.

22525

四、解答题

17.（2019・赤峰二中高一月考）己知函数/（x）=x+工,

x

（I）证明f（x）在[1,+00）上是增函数；

（II）求f（x）在口，4]上的最大值及最小值.

17

【答案】（1）见解析（2）—

4

(1)(1)

【解析】：（I）设玉,WG[L+°°），且西<々,则八％）-y（xj=

I石1

%工2

1<%!<x2，x2-x1>0x{x2>1,/.玉工2-1>0

・••(工2”>0，/(/)-/(%)>。,即/(%)</(%2)

，y=/(%)在［L+8)上是增函数.

(ii)由(i)可知y(x)=x+!在［i,4］上是增函数

X

，当X=1时，/(同加丁/⑴二？

17

；•当尤=4时，/口几二/口卜了

17

综上所述，/(九)在［1,4］上的最大值为I，最小值为2.

3x+9,x—2

18.(2019•全国高一课时练)已知函数/(%)=«/一1,一2蜷尤<1.

-x+1,x>1

——r--r---L————r

■"HP""■"1__j

L.--.J

L____j

__j

0

L-.--J

L--_____

1-一__j

L-...J

(1)做出函数图象；

(2)说明函数/(x)的单调区间(不需要证明)；

(3)若函数y=/(x)的图象与函数>=小的图象有四个交点，求实数机的取值范围.

【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)me(-1,0)

【解析】(1)如图:

(2)函数的单调递增区间为(t,—2)和(0,1)；单调递减区间为(—2,0)和(L+oo).

⑶根据图象易得：使得y=m和y=/(x)有4个交点即可.故加«—1,0)

19.(2019.山西高一期中(文))已知函数/(x)=sin2x-2sin2x.

(1)求函数〃尤)的最小正周期；

(2当xe[0,—]时，求函数/(x)的值域.

2

【答案】(1)万；(2)[-2,72-1].

【解析】

【分析】(1)由三角函数的公式化简已知函数可得f(x)+易得周期；

(2)由x的范围，结合不等式的性质，一步步可得值域，先求函数的单调区间，结合函数的定义域

可得答案.

【详解】(1)因为/(x)=sin2x-(l-cos2x)=0sin]2x+：]-l,

2九

所以函数/(X)的最小正周期为T=W=7l.

^717171571

(2)x0,一时，2xH—£—,—,

2444

20.(2019•江苏高二期中)某工厂今年初用128万元购进一台新的设备，并立即投入使用，计划第

一年维修、保养费用8万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该设

备使用后，每年的总收入为54万元，设使用尤年后设备的盈利总额y万元.

（1）写出y与尤之间的函数关系式；

（2）从第几年开始，该设备开始盈利？

（3）使用若干年后，对设备的处理有两种方案：①年平均盈利额达到最大值时，以42万元价格卖

掉该设备；②盈利额达到最大值时，以10万元价格卖掉该设备.问哪种方案处理较为合理？请说明

理由.

【答案】（1）y=-2f+48x-128（万元）；（2）第4年该设备开始盈利；（3）选择方案①处理较

为合理，理由见解析

【解析】

【分析】

（1）根据题意总收入去掉每年的维修费之和及购置费用即为盈利，写出函数关系即可（2）由（1）,

令y>0,解一元二次不等式求解即可（3）分别计算两种方案，根据均值不等式及二次函数求最值，

比较大小即可.

【详解】（1）由题意使用x年的维修，保养费用为（万元）

所以盈利总额y=54无—+6x）—128=—2JC2+48%—128（万元）.

（2）由y>0,得一2/+48x—128>0，HPx2-24x+64<0.

解得12-46<X<12+46

由xeN*，得4WxW20.

答：第4年该设备开始盈利.

（3）方案①年平均盈利^-=48-21X+—L48-4764=16,

X\X）

当且仅当兀=处，即％=8时取“="，-=16.

%）max

所以方案①总利润为16x8+42=170（万元），

方案②y=—2（x—12）2+160,%=12时Vmax=160,

所以方案②总利润为160+10=170（万元），

答：选择方案①处理较为合理.

21.(2019•山西高一期中(文))已知函数/(x)=sinx+acosx(xeR),:是函数/(九)的一个

零点.

(1)求。的值；

(2)若a、且+半，=卓，求sin(1+^)的值.

【答案】(1)-1-.(2)旦.

2

【解析】

【分析】(1)由/[71=0可求出实数°的值；

(2)利用辅助角公式得出/(x)=-利用已知条件求出sin。、cos分的值，并利用

同角三角函数的基本关系求出cosa、sin"的值，最后利用两角和的正弦公式可求出sin(a+p)的

值.

【详解】⑴?是函数y=/(%)的一个零点，.・./[7]=sin?+acos(=0,.•.a=—l；

/L+^=V2sina=^,.■,Sina=—.

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