专题15 离散型随机变量及其分布（理科）-2024高考数学母题题源解密（全国）（含解析）

专题15离散型随机变量及其分布（理科）-2024高考数学母题题源解密（全国通用）（含解析）专题15离散型随机变量及其分布（理科）考向一离散型随机变量分布列与期望【母题来源】2022年高考全国甲卷（理科）【母题题文】甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．（1）求甲学校获得冠军的概率；（2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．【试题解析】【小问1详解】设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，所以甲学校获得冠军的概率为．【小问2详解】依题可知，的可能取值为，所以，,，，.即的分布列为01020300.160.440.340.06期望.【命题意图】本题主要考查离散型随机变量的可能取值，再分别计算出对应的概率，列出分布列，即可求出期望.【命题方向】这类试题在考查题型上选择、填空、解答题都有可能出现，题型多样，思路灵活，试题难度不大，是历年高考的热点．常见的命题角度有：（1）离散型随机变量分布列；（2）离散型随机变量期望；（3）离散型随机变量方差.【得分要点】正确写出离散型随机变量的所有取值；；（3）根据期望公式求出数学期望.一、单选题1．（2022·河南洛阳·模拟预测（理））已知随机变量，若，则（

）A．0.36 B．0.18 C．0.64 D．0.822．（2022·江苏省木渎高级中学模拟预测）2012年国家开始实施法定节假日高速公路免费通行政策，某收费站统计了2021年中秋节前后车辆通行数量，发现该站近几天车辆通行数量，若，则当时下列说法正确的是（

）A． B． C． D．3．（2022·浙江·三模）设，随机变量的分布列是0p1P则当p在区间内增大时，（

）A．减小 B．增大C．先减小后增大 D．先增大后减小4．（2022·黑龙江·鸡西市第四中学三模（理））已知随机变量服从正态分布，若，则（

）A．0.977 B．0.954 C．0.5 D．0.0235．（2022·山东潍坊·模拟预测）Poisson分布是统计学里常见的离散型概率分布，由法国数学家西莫恩·德尼·泊松首次提出，Poisson分布的概率分布列为，其中为自然对数的底数，是Poisson分布的均值．当二项分布的n很大而p很小时，Poisson分布可作为二项分布的近似．假设每个大肠杆菌基因组含有10000个核苷酸对，采用紫外线照射大肠杆菌时，每个核苷酸对产生嘧啶二体的概率均为0.0003，已知该菌株基因组有一个嘧啶二体就致死，则致死率是（

）A． B． C． D．6．（2022·浙江省春晖中学模拟预测）盒中有大小相同的5个红球和3个白球，从中随机摸出3个小球，记摸到白球的个数为，则随机变量的数学期望（

）A． B． C． D．7．（2022·湖北省仙桃中学模拟预测）小明班的语文老师昨天报了一次听写，语文老师给了小明满分分，但实际上小明有一处写了个错别字，告诉了小王和小丁，错一处扣分，但小明自己不会给老师说，小王有的可能告诉老师，小丁有的可能告诉老师，他们都不会告诉其他同学，老师知道后就会把分扣下来，则最后小明的听写本上的得分期望（

）A． B． C． D．8．（2022·辽宁·鞍山一中模拟预测）冬奥会的两个吉祥物是“冰墩墩”和“雪容融”．“冰墩墩”将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，体现了冰雪运动和现代科技特点．冬残奥会吉祥物“雪容融”以灯笼为原型进行设计创作，顶部的如意造型象征吉祥幸福．小明在纪念品商店买了6个“冰墩墩”和3个“雪容融”，随机选了3个寄给他的好朋友小华，则小华收到的“冰墩墩”的个数的平均值为（

）A．1 B．2 C．3 D．1.5二、填空题9．（2022·江苏省赣榆高级中学模拟预测）柯西分布(Cauchydistribution)是一个数学期望不存在的连续型概率分布．记随机变量服从柯西分布为，其中当，时的特例称为标准柯西分布，其概率密度函数为．已知，，，则________.10．（2022·江苏南通·模拟预测）小强对重力加速度做n次实验，若以每次实验结果的平均值作为重力加速度的估值．已知估值的误差，为使误差在内的概率不小于0.6827，至少要实验___________次．（参考数据：若，则）．三、解答题11．（2022·四川成都·模拟预测（理））成都高中为了锻炼高三年级同学的身体，同时也为了放松持续不断的考试带来的紧张感，调节学习状态，特组织学生进行投篮游戏.投篮只有“命中”和“不命中”两种结果，“命中”加10分，“不命中”减10分.某班同学投篮“命中”的概率为，“不命中”的概率为，每次投篮命中与否相互独立.记该班同学次投篮后的总得分为.(1)求且的概率；(2)记，求的分布列与数学期望.12．（2022·河南安阳·模拟预测（理））产品开发是企业改进老产品､开发新产品，使其具有新的特征或用途，以满足市场需求的流程.某企业开发的新产品已经进入到样品试制阶段，需要对5个样品进行性能测试，现有甲､乙两种不同的测试方案，每个样品随机选择其中的一种进行测试，已知选择甲方案测试合格的概率为，选择乙方案测试合格的概率为，且每次测试的结果互不影响.(1)若3个样品选择甲方案，2个样品选择乙方案.（i）求5个样品全部测试合格的概率；（ii）求4个样品测试合格的概率.13．（2022·湖北·黄冈中学三模）2022世界乒乓球团体锦标赛将于2022年9月30日至10月9日在成都举行．近年来，乒乓球运动已成为国内民众喜爱的运动之一．今有甲、乙两选手争夺乒乓球比赛冠军，比赛采用三局两胜制，即某选手率先获得两局胜利时比赛结束．根据以往经验，甲、乙在一局比赛获胜的概率分别为、，且每局比赛相互独立．(1)求甲获得乒兵球比赛冠军的概率；(2)比赛开始前，工作人员买来两盒新球，分别为“装有2个白球与1个黄球”的白盒与“装有1个白球与2个黄球”的黄盒．每局比赛前裁判员从盒中随机取出一颗球用于比赛，且局中不换球，该局比赛后，直接丢弃．裁判按照如下规则取球:每局取球的盒子颜色与上一局比赛用球的颜色一致，且第一局从白盒中取球．记甲、乙决出冠军后，两盒内白球剩余的总数为，求随机变量的分布列与数学期望．14．（2022·全国·模拟预测）经过全国上下的共同努力，我国的新冠疫情得到很好的控制，但世界一些国家的疫情并没有得到有效控制，疫情防控形势仍然比较严峻，为扎紧疫情防控的篱笆，提高疫情防控意识，某市宣传部门开展了线上新冠肺炎世界防控现状及防控知识竞赛，现从全市的参与者中随机抽取了1000名幸运者的成绩进行分析，他们的得分（满分100分）情况如下表：得分频数2515020025022510050(1)若此次知识竞赛得分X整体服从正态分布，用样本来估计总体，设，分别为抽取的1000名幸运者得分的平均值和标准差（同一组数据用该区间中点值代替），求，的值；（结果保留整数）(2)在（1）的条件下，为感谢市民的积极参与，对参与者制定如下奖励方案：得分不超过79分的可获得1次抽奖机会，得分超过79分的可获得2次抽奖机会.假定每次抽奖，抽到10元红包的概率为，抽到20元红包的概率为.已知胡老师是这次活动中的参与者，估算胡老师在此次活动中所获得红包的数学期望.（结果保留整数）参考数据：；；，.专题15离散型随机变量及其分布（理科）考向一离散型随机变量分布列与期望【母题来源】2022年高考全国甲卷（理科）【母题题文】甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．（1）求甲学校获得冠军的概率；（2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．【试题解析】【小问1详解】设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，所以甲学校获得冠军的概率为．【小问2详解】依题可知，的可能取值为，所以，,，，.即的分布列为01020300.160.440.340.06期望.【命题意图】本题主要考查离散型随机变量的可能取值，再分别计算出对应的概率，列出分布列，即可求出期望.【命题方向】这类试题在考查题型上选择、填空、解答题都有可能出现，题型多样，思路灵活，试题难度不大，是历年高考的热点．常见的命题角度有：（1）离散型随机变量分布列；（2）离散型随机变量期望；（3）离散型随机变量方差.【得分要点】正确写出离散型随机变量的所有取值；；（3）根据期望公式求出数学期望.一、单选题1．（2022·河南洛阳·模拟预测（理））已知随机变量，若，则（

）A．0.36 B．0.18 C．0.64 D．0.82【答案】C【解析】【分析】根据正态分布的对称性即可求解.【详解】因为，所以，所以．故选:C．2．（2022·江苏省木渎高级中学模拟预测）2012年国家开始实施法定节假日高速公路免费通行政策，某收费站统计了2021年中秋节前后车辆通行数量，发现该站近几天车辆通行数量，若，则当时下列说法正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性列式，再结合不等式求解作答.【详解】因，且，则有，即，不等式为：，则，，所以，，A，B，D均不正确，C正确.故选：C【点睛】关键点睛：涉及正态分布概率问题，运用正态密度函数曲线的对称性是解题的关键.3．（2022·浙江·三模）设，随机变量的分布列是0p1P则当p在区间内增大时，（

）A．减小 B．增大C．先减小后增大 D．先增大后减小【答案】D【解析】【分析】先求出，令，求导确定单调性即可.【详解】，，令，则，易得单调递减，又，故存在，使得，则在单增，在单减，即先增大后减小.故选：D.4．（2022·黑龙江·鸡西市第四中学三模（理））已知随机变量服从正态分布，若，则（

）A．0.977 B．0.954 C．0.5 D．0.023【答案】B【解析】【分析】随机变量服从正态分布，依据正态曲线的性质去求即可【详解】随机变量服从正态分布，若，则依据正态曲线的性质有故选：B5．（2022·山东潍坊·模拟预测）Poisson分布是统计学里常见的离散型概率分布，由法国数学家西莫恩·德尼·泊松首次提出，Poisson分布的概率分布列为，其中为自然对数的底数，是Poisson分布的均值．当二项分布的n很大而p很小时，Poisson分布可作为二项分布的近似．假设每个大肠杆菌基因组含有10000个核苷酸对，采用紫外线照射大肠杆菌时，每个核苷酸对产生嘧啶二体的概率均为0.0003，已知该菌株基因组有一个嘧啶二体就致死，则致死率是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】结合题意，，此时Poisson分布满足二项分布的近似条件，再计算二项分布的均值为Poisson分布的均值，再代入公式先求不致死的概率，再用对立事件的概率和为1计算即可【详解】由题，，，此时Poisson分布满足二项分布的近似的条件，此时，故不致死的概率为，故致死的概率为故选：A6．（2022·浙江省春晖中学模拟预测）盒中有大小相同的5个红球和3个白球，从中随机摸出3个小球，记摸到白球的个数为，则随机变量的数学期望（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】依题意的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列与数学期望．【详解】解：盒中有大小相同的5个红球和3个白球，从中随机摸出3个球，记摸到白球的个数为，的可能取值为0，1，2，3，所以，，，，的分布列为：0123．故选：B．7．（2022·湖北省仙桃中学模拟预测）小明班的语文老师昨天报了一次听写，语文老师给了小明满分分，但实际上小明有一处写了个错别字，告诉了小王和小丁，错一处扣分，但小明自己不会给老师说，小王有的可能告诉老师，小丁有的可能告诉老师，他们都不会告诉其他同学，老师知道后就会把分扣下来，则最后小明的听写本上的得分期望（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】分析可知的可能取值为：、，计算出随机变量在不同取值下的概率，进而可求得的值.【详解】由题意可知的可能取值为：、，则，，因此，.故选：D.8．（2022·辽宁·鞍山一中模拟预测）冬奥会的两个吉祥物是“冰墩墩”和“雪容融”．“冰墩墩”将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，体现了冰雪运动和现代科技特点．冬残奥会吉祥物“雪容融”以灯笼为原型进行设计创作，顶部的如意造型象征吉祥幸福．小明在纪念品商店买了6个“冰墩墩”和3个“雪容融”，随机选了3个寄给他的好朋友小华，则小华收到的“冰墩墩”的个数的平均值为（

）A．1 B．2 C．3 D．1.5【答案】B【解析】【分析】设小华收到的“冰墩墩”的个数为，则,求出对应的概率即得解.【详解】解：设小华收到的“冰墩墩”的个数为，则.则；；；.所以.故选：B二、填空题9．（2022·江苏省赣榆高级中学模拟预测）柯西分布(Cauchydistribution)是一个数学期望不存在的连续型概率分布．记随机变量服从柯西分布为，其中当，时的特例称为标准柯西分布，其概率密度函数为．已知，，，则________.【答案】##0.25【解析】【分析】由概率密度函数得其关于对称，由对称性求得概率．【详解】由已知，概率密度函数图象关于对称，，又，，，故答案为：．10．（2022·江苏南通·模拟预测）小强对重力加速度做n次实验，若以每次实验结果的平均值作为重力加速度的估值．已知估值的误差，为使误差在内的概率不小于0.6827，至少要实验___________次．（参考数据：若，则）．【答案】6【解析】【分析】直接由正态分布的对称性及特殊区间的概率求解即可.【详解】，∴，∴，至少要实验6次.故答案为：6.三、解答题11．（2022·四川成都·模拟预测（理））成都高中为了锻炼高三年级同学的身体，同时也为了放松持续不断的考试带来的紧张感，调节学习状态，特组织学生进行投篮游戏.投篮只有“命中”和“不命中”两种结果，“命中”加10分，“不命中”减10分.某班同学投篮“命中”的概率为，“不命中”的概率为，每次投篮命中与否相互独立.记该班同学次投篮后的总得分为.(1)求且的概率；(2)记，求的分布列与数学期望.【答案】(1)(2)分布列见解析，【解析】【分析】（1），则投篮6次，4次命中，2次不命中，然后根据可知第1次和第2次命中，则其余4次可任意命中两次；或者第1次命中，第2次不命中，第3次命中，则其余3次可任意命中2次，根据相互独立事件的乘法公式即可求解.（2）根据随机变量的取值以及对应事件的概率，即可求解.(1)，即投篮6次，4次命中，2次不命中，若第1次和第2次命中，则其余4次可任意命中两次；若第1次命中，第2次不命中，第3次命中，则其余3次可任意命中2次，故所求概率为.(2)的可能取值为，，，的分布列为X103050P故12．（2022·河南安阳·模拟预测（理））产品开发是企业改进老产品､开发新产品，使其具有新的特征或用途，以满足市场需求的流程.某企业开发的新产品已经进入到样品试制阶段，需要对5个样品进行性能测试，现有甲､乙两种不同的测试方案，每个样品随机选择其中的一种进行测试，已知选择甲方案测试合格的概率为，选择乙方案测试合格的概率为，且每次测试的结果互不影响.(1)若3个样品选择甲方案，2个样品选择乙方案.（i）求5个样品全部测试合格的概率；（ii）求4个样品测试合格的概率.(2)若测试合格的样品个数的期望不小于3，求选择甲方案进行测试的样品个数.【答案】(1)（i）（ii）(2)选择甲方案测试的样品个数为，或者【解析】【分析】（1）（i）利用乘法公式即可求解（ii）4个样品测试合格分两种情况,第一种情况,3个样品甲方案测试合格和1个样品乙方案测试合格,第二种情况,2个样品甲方案测试合格和2个样品乙方案测试合格,利用互斥的加法公式即可求解（2）设通过甲方案测试合格的样品个数为,通过乙方案测试合格的样品个数为,则，分类讨论即可求解(1)（i）因为3个样品选择甲方案,2个样品选择乙方案,所以5个样品全部测试合格的概率为（ii）4个样品测试合格分两种情况,第一种情况,3个样品甲方案测试合格和1个样品乙方案测试合格,此时概率为第二种情况,2个样品甲方案测试合格和2个样品乙方案测试合格,此时概率为所以4个样品测试合格的概率为(2)设选择甲方案测试的样品个数为,则选择乙方案测试的样品个数为,并设通过甲方案测试合格的样品个数为,通过乙方案测试合格的样品个数为,当时,此时所有样品均选择方案乙测试,则,所以,不符合题意;当时,此时所有样品均选择方案甲测试,则所以,符合题意;当时,,所以若使,,则,由于,故时符合题意,综上,选择甲方案测试的样品个数为3,4或者5时,测试合格的样品个数的期望不小于3.13．（2022·湖北·黄冈中学三模）2022世界乒乓球团体锦标赛将于2022年9月30日至10月9日在成都举行．近年来，乒乓球运动已成为国内民众喜爱的运动之一．今有甲、乙两选手争夺乒乓球比赛冠军，比赛采用三局两胜制，即某选手率先获得两局胜利时比赛结束．根据以往经验，甲、乙在一局比赛获胜的概率分别为、，且每局比赛相互独立．(1)求甲获得乒兵球比赛冠军的概率；(2)比赛开始前，工作人员买来两盒新球，分别为“装有2个白球与1个黄球”的白盒与“装有1个白球与2个黄球”的黄盒．每局比赛前裁判员从盒中随机取出一颗球用于比赛，且局中不换球，该局比赛后，直接丢弃．裁判按照如下规则取球:每局取球的盒子颜色与上一局比赛用球的颜色一致，且第一局从白盒中取球．记甲、乙决出冠军后，两盒内白球剩余的总数为，求随机变量的分布列与数学期望．【答案】(1)(2)分布列见解析，【解析】【分析】（1）甲获得乒兵球比赛冠军这个事件为前两局甲全获胜，或前两局中甲胜一局第三局甲胜，由独立事件与互斥事件概率公式计算；（2）甲乙决出冠军共进行了局比赛，易知或，记表示第局从白盒中抽取的白色球，表示第局从黄盒中抽取的黄色球，的所有可能取值为，根据和分类讨论确定事件，，的情形，求出概率得分