北师大版八年级数学下册4.特色题型专题：分类讨论思想在三角形中的运用(附答案)

特色题型专题：分类讨论思想在三角形中的运用1．(2017·河南中考)如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BC＝eq\r(2)＋1，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′始终落在边AC上．若△MB′C为直角三角形，则BM的长为__________．第1题图第2题图第3题图2．★(2017·河南模拟)如图，在等腰Rt△ABC中，AB＝AC＝1，F是边BC上不与B，C两点重合的动点，直线l垂直平分BF，垂足为点D.当△AFC是等腰三角形时，BD的长为________．3．★(2017·开封一模)如图，在长方形ABCD中，AD＝8，AB＝6，点E为射线DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，使点D落在点F处．若△CEF为直角三角形，则DE的长为________．4．如图，在长方形ABCD中，AB＝6，AD＝2eq\r(3)，E是AB边上一点，AE＝2，F是直线CD上一动点，将△AEF沿直线EF折叠，点A的对应点为点A′.当E，A′，C三点在一条直线上时，求DF的长．5．(2017·河南模拟)如图，在Rt△ABC中，BC＝AC＝4，D是斜边AB上的一个动点，把△ACD沿直线CD折叠，点A落在同一平面内的点A′处．当A′D垂直于Rt△ABC的直角边时，求AD的长．6．★如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝4，P为AD上一动点，连接BP，把△ABP沿BP折叠，使A落在A′处．当△A′DC为等腰三角形时，求AP的长．

参考答案与解析1.eq\f(\r(2)＋1,2)或1解析：应分两种情况进行讨论：(1)如图①，当∠B′MC＝90°时，点B′与点A重合，此时M是BC的中点，∴BM＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(\r(2)＋1,2)；(2)如图②，当∠MB′C＝90°时，∵∠A＝90°，AB＝AC，∴∠C＝45°，∴△CMB′是等腰直角三角形，∴CM＝eq\r(2)MB′.由折叠可知BM＝B′M，∴CM＝eq\r(2)BM.∵BC＝eq\r(2)＋1，∴CM＋BM＝eq\r(2)BM＋BM＝eq\r(2)＋1，∴BM＝1.综上所述，当△MB′C为直角三角形时，BM的长为eq\f(\r(2)＋1,2)或1.2.eq\f(\r(2),4)或eq\f(\r(2)－1,2)解析：∵等腰Rt△ABC中，AB＝AC＝1，∴∠B＝∠C＝45°，BC＝eq\r(AB2＋AC2)＝eq\r(2).分两种情况进行讨论：①当AF＝CF时，∠FAC＝∠C＝45°，∴∠AFC＝90°，∴AF⊥BC，∴BF＝CF＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(\r(2),2).∵直线l垂直平分BF，∴BD＝eq\f(1,2)BF＝eq\f(\r(2),4)；②当CF＝CA＝1时，BF＝BC－CF＝eq\r(2)－1.∵直线l垂直平分BF，∴BD＝eq\f(1,2)BF＝eq\f(\r(2)－1,2).综上所述，BD的长为eq\f(\r(2),4)或eq\f(\r(2)－1,2).3.eq\f(8,3)或8或eq\f(32－8\r(7),3)解析：∵四边形ABCD是长方形，∴∠D＝∠B＝90°，CD＝AB＝6，∴AC＝eq\r(AD2＋CD2)＝eq\r(82＋62)＝10.当△CEF为直角三角形时，有三种情况：(1)当点F落在AC上时，∠CFE＝90°，如图①所示．由折叠的性质得EF＝DE，AF＝AD＝8，∴CF＝AC－AF＝2.设DE＝x，则EF＝x，CE＝6－x.在Rt△CEF中，由勾股定理得EF2＋CF2＝CE2，即x2＋22＝(6－x)2，解得x＝eq\f(8,3)，即DE＝eq\f(8,3)；(2)当点F落在AB边上，∠CEF＝90°时，如图②所示．由折叠可知∠DAE＝∠FAE.∵∠D＝∠DAF＝90°，∴∠DAE＝45°，∴△DAE为等腰直角三角形，∴DE＝AD＝8.(3)当点F落在BC边上时，∠C＝90°，如图③所示．由折叠可知AF＝AD＝8.在Rt△ABF中，BF＝eq\r(AF2－AB2)＝2eq\r(7).设DE＝EF＝x，则CE＝6－x，CF＝BC－BF＝8－2eq\r(,7).在Rt△EFC中，∵EF2＝EC2＋CF2，即x2＝(6－x)2＋(8－2eq\r(7))2，∴x＝eq\f(32－8\r(7),3)，即DE＝eq\f(32－8\r(7),3).综上所述，当△CEF为直角三角形时，DE的长为eq\f(8,3)或8或eq\f(32－8\r(7),3).4．解：应分两种情况进行讨论：(1)如图①，当F是线段CD上的点时，由折叠可知∠FEA＝∠FEA′.∵CD∥AB，∴∠CFE＝∠AEF，∴∠CFE＝∠CEF，∴CE＝CF.在Rt△BCE中，由勾股定理得CE＝eq\r(BC2＋EB2)＝eq\r(（2\r(3)）2＋42)＝2eq\r(7)，∴CF＝CE＝2eq\r(7).∵CD＝AB＝6，∴DF＝CD－CF＝6－2eq\r(7)；(2)如图②，当F是DC延长线上的点时，同理可得CF＝CE＝2eq\r(7).∵CD＝AB＝6，∴DF＝CD＋CF＝6＋2eq\r(7).综上所述，DF的长为6＋2eq\r(7)或6－2eq\r(7).5．解：∵在Rt△ABC中，BC＝AC＝4，∴AB＝4eq\r(,2)，∠A＝∠B＝45°.分两种情况讨论：(1)如图①，当A′D⊥AC时，∵AC⊥BC，∴A′D∥BC，∴∠A′＝∠A′CB.设AD＝x，由折叠可知∠A′＝∠A＝45°，A′D＝AD＝x，∴∠A′CB＝45°.又∵∠B＝45°，∴A′C⊥AB.设A′C交AB于点H，由勾股定理易得BH＝eq\f(\r(2),2)BC＝2eq\r(2)，DH＝eq\f(\r(2),2)A′D＝eq\f(\r(,2),2)x.∵AD＋DH＋HB＝AB，∴AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝4eq\r(2)，x＋eq\f(\r(2),2)x＋2eq\r(2)＝4eq\r(2)，解得x＝4eq\r(2)－4，∴AD＝4eq\r(2)－4；(2)如图②，当A′D⊥BC时，易知A′D∥AC，∴∠ACD＝∠A′DC.由折叠可知AD＝A′D，AC＝A′C，∠ACD＝∠A′CD，∴∠A′DC＝∠A′CD，∴A′D＝A′C，∴AD＝AC＝4.综上所述，AD的长为4eq\r(2)－4或4.6．解：应分三种情况进行讨论：(1)如图①，当A′D＝A′C时，过点A′作EF⊥CD交DC于点E，交AB于点F，则EF垂直平分CD，EF垂直平分AB，∴A′A＝A′B.由折叠得AB＝A′B，∠ABP＝∠A′BP，∴△ABA′是等边三角形，∴∠ABP＝30°.∵AB＝2，∴由勾股定理得AP＝eq\f(2,3)eq\r(3)；(2)如图②，当A′D＝DC时，A′D＝2.由折叠得A′B＝AB＝2，∴A′B＋A′D＝2＋2＝4.连接BD，在Rt△ABD中，由勾股定理得BD＝eq\r(AB2＋AD2)＝eq\r(22＋42)＝2eq\r(5)，∴A′B＋A′