广东省深圳市实验承翰学校高一数学理月考试题含解析

广东省深圳市实验承翰学校高一数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.一水池有2个进水口，1个出水口，每个进出水速度如图甲、乙所示.某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示.（至少打开一个水口）给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；

②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水.则一定正确论断的个数是（

）

A．3

B.2

C.1

D.

0参考答案：C2.设集合,集合.若中恰含有一个整数,则实数的取值范围是 （）A． B． C． D．参考答案：B3.已知正四面体ABCD及其内切球O，经过该四面体的棱AD及底面ABC上的高DH作截面，交BC于点E，则截面图形正确的是（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】平面的基本性质及推论．【专题】作图题；数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】根据题意，画出正四面体ABCD及其内切球O，作出截面ADE所表示的图形即可．【解答】解：画出图形，如图所示；正四面体ABCD及其内切球O，经过该四面体的棱AD及底面ABC上的高DH作截面，交BC于点E，则截面ADE所表示的图形是：故选：B．【点评】本题考查了空间几何体与平面截面图的应用问题，也考查了空间想象能力的应用问题，是基础题目．4.弧长为2，圆心角为的扇形面积为（

）A.

B.

C.2

D.参考答案：C弧长为3，圆心角为，

5.下列大小关系正确的是(

)A.

B.C.

D.参考答案：C6.已知|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为60°，c=2a+3b,d=ka-b(k∈R)，且c⊥d，那么k的值为(

)A.-6

B.6

C.

D.参考答案：D7.下列函数是偶函数的是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B8.有一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是（）A．至多有1次中靶 B．2次都中靶C．2次都不中靶 D．只有1次中靶参考答案：C【考点】C4：互斥事件与对立事件．【分析】根据对立事件的定义可得事件“至少有1次中靶”的对立事件．【解答】解：由于两个事件互为对立事件时，这两件事不能同时发生，且这两件事的和事件是一个必然事件，再由于一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的反面为“2次都不中靶”，故事件“至少有1次中靶”的对立事件是“2次都不中靶”，故选C．9.如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是（）A．CC1与B1E是异面直线B．AC⊥平面ABB1A1C．AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1D．A1C1∥平面AB1E参考答案：C【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】由题意，此几何体是一个直三棱柱，且其底面是正三角形，E是中点，由这些条件对四个选项逐一判断得出正确选项【解答】解：A不正确，因为CC1与B1E在同一个侧面中，故不是异面直线；B不正确，由题意知，上底面ABC是一个正三角形，故不可能存在AC⊥平面ABB1A1；C正确，因为AE，B1C1为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线；D不正确，因为A1C1所在的平面与平面AB1E相交，且A1C1与交线有公共点，故A1C1∥平面AB1E不正确；故选C．10.若log545=a，则log53等于（）A． B．

C． D．参考答案：D【考点】对数的运算性质．【分析】利用对数的运算性质即可得出．【解答】解：∵log545=a=1+2log53，则log53=．故选：D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若函数的图象关于点中心对称，则的最小值为

参考答案：略12.已知函数,设的最大值、最小值分别为，若

,则正整数的取值个数是_______参考答案：略13.从集合{1，2，3，4，5}中随机抽取一个数a，从集合{1，3}中随机抽取一个数b，则时间“a≥b”发生的概率是_________．参考答案：14.过直线上一点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，若的最大值为90°，则实数k=__________．参考答案：1或；【分析】要使最大，则最小．【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为．∵若的最大值为，∴，解得或．故答案1或．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，解题思路是平面上对圆的张角问题，显然在点固定时，圆外的点作圆的两条切线，这两条切线间的夹角是最大角，而当点离圆越近时，这个又越大．15.水痘是一种传染性很强的病毒性疾病，易在春天爆发．市疾控中心为了调查某校高一年级学生注射水症疫苗的人数，在高一年级随机抽取5个班级，每个班抽取的人数互不相同，若把每个班级抽取的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，则样本数据中的最大值是_____．参考答案：10【分析】根据平均数和方程列式，然后利用二次函数的判别式小于零，求得样本数据的最大值.【详解】设五个班级的数据分别为，根据平均数和方差得，，显然各个括号为整数.设分别为，则，设，由已知，则判别式，即，解得，即，所以，即样本数据中的最大值是10.【点睛】本小题主要考查样本平均数和方差的计算公式，考查样本中数据最大值的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.16.已知定义域为的函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为

▲

.参考答案：917.已知向量夹角为，且，则参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在△ABC中，已知，，若△ABC的最小边的长为．（Ⅰ）求△ABC最大边的长；（Ⅱ）若D为线段AC上一点，且AD＝2DC，求BD的长．参考答案：（I）∵在△ABC中，，，∴，∴a为最小边，即．∵，∴，从而c为最大边．∵，∴，∴．∵，由正弦定理得，，解得，即△ABC最大边的长为．（II）∵，由正弦定理得，解得b＝3，∵D为线段AC上一点，且AD＝2DC，∴CD＝1，在△BCD中，由余弦定理得，＝＝5，∴．略19.已知，求的值。

参考答案：∵故两边平方得，∴而∴与联立解得∴

略20.已知A、B是函数y=f（x），x∈[a，b]图象的两个端点，M（x，y）是f（x）上任意一点，过M（x，y）作MN⊥x轴交直线AB于N，若不等式|MN|≤k恒成立，则称函数f（x）在[a，b]上“k阶线性近似”．（1）若f（x）=x+，x∈[，2]，证明：f（x）在[，2]上“阶线性近似”；（2）若f（x）=x2在[﹣1，2]上“k阶线性近似”，求实数k的最小值．参考答案：【考点】函数的图象．【分析】（1）根据对勾函数的图象和性质，得到f（x）=x+，x∈[，2]，满足|MN|≤，进而得到答案．（2）由已知可得N和M的横坐标相同，根据|MN|=x+2﹣x2=﹣（x﹣）2+及x∈[﹣1，2]，求出|MN|的范围，再由|MN|≤k恒成立，求得k的取值范围．【解答】证明：（1）若f（x）=x+，x∈[，2]，则A（，）、B（2，），故直线AB的方程为：y=，则由|MN|=﹣（x+），∴|MN|∈[0，]，故|MN|≤，故f（x）在[，2]上“阶线性近似”；解：（2）由MN⊥x交直线AB于N，得N和M的横坐标相同．对于区间[﹣1，2]上的函数f（x）=x2，A（﹣1，1）、B（2，4），则直线AB的方程为：y=x+2，则有|MN|=x+2﹣x2=﹣（x﹣）2+，∴|MN|∈[0，]．再由|MN|≤k恒成立，可得k≥．故实数k的最小值为．【点评】本题考查的知识点是新定义“k阶线性近似”，正确理解新定义“k阶线性近似”，是解答的关键．21.（本题满分12分）已知是定义在［－1，1］上的奇函数且，若a、b∈［－1，1］，a+b≠0，

有成立。（1）判断函数在［－1，1］上是增函数还是减函数，并加以证明。（2）解不等式。（3）若对所有、a∈［－1，1］恒成立，求实数m的取值范围。参考答案：略22.已知a，b＞0，证明：a3+b3≥a2b+a