福建省南平市建阳第二中学高三数学文摸底试卷含解析

福建省南平市建阳第二中学高三数学文摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最大边长为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B2.圆C的圆心在y轴正半轴上，且与x轴相切，被双曲线的渐近线截得的弦长为，则圆C的方程为A．x2+(y-1)2=1 B．x2+(y-)2=3C．x2+(y-)2= D．x2+(y-2)2=4参考答案：A3.已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，在定义域x∈[﹣2，2]上表示的曲线过原点，且在x=±1处的切线斜率均为﹣1．有以下命题：①f（x）是奇函数；②若f（x）在[s，t]内递减，则|t﹣s|的最大值为4；③f（x）的最大值为M，最小值为m，则M+m=0．④若对?x∈[﹣2，2]，k≤f′（x）恒成立，则k的最大值为2．其中正确命题的个数有(

)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个参考答案：B【考点】函数的单调性与导数的关系；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【专题】计算题．【分析】首先利用导数的几何意义及函数f（x）过原点，列方程组求出f（x）的解析式；然后根据奇函数的定义判断函数f（x）的奇偶性，且由f′（x）的最小值求出k的最大值，则命题①④得出判断；最后令f′（x）=0，求出f（x）的极值点，进而求得f（x）的单调区间与最值，则命题②③得出判断．【解答】解：函数f（x）=x3+ax2+bx+c的图象过原点，可得c=0；又f′（x）=3x2+2ax+b，且f（x）在x=±1处的切线斜率均为﹣1，则有，解得a=0，b=﹣4．所以f（x）=x3﹣4x，f′（x）=3x2﹣4．①可见f（x）=x3﹣4x是奇函数，因此①正确；x∈[﹣2，2]时，[f′（x）]min=﹣4，则k≤f'（x）恒成立，需k≤﹣4，因此④错误．②令f′（x）=0，得x=±．所以f（x）在[﹣，]内递减，则|t﹣s|的最大值为，因此②错误；且f（x）的极大值为f（﹣）=，极小值为f（）=﹣，两端点处f（﹣2）=f（2）=0，所以f（x）的最大值为M=，最小值为m=﹣，则M+m=0，因此③正确．故选B．【点评】本题主要考查导数的几何意义及利用导数研究函数单调性、最值的方法．4.设集合

，，若，则实数的值为(C)(A)或

(B)或

(C)或

(D)或或参考答案：C5.若均为单位向量，且，则的最小值是（

）A．

B．1

C．

D．参考答案：A6.设集合，则

(

)

（Ａ）（Ｂ）

（Ｃ）（Ｄ）参考答案：B略7.命题“若，则”的逆命题是（A）若，则

（B）若，则

（C）若，则

（D）若，则参考答案：【知识点】四种命题A2D解析：“若p则q”的逆命题是“若q则p”,故选D.【思路点拨】将原命题的条件和结论互换位置即可得到逆命题.8.四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，若AB=2，PA=1，则此四棱锥的外接球的体积为（）A．36π B．16π C． D．参考答案：C【考点】球内接多面体．【分析】把四棱锥P﹣ABCD补成一个长方体，可知：此长方体的对角线为四棱锥P﹣ABCD的外接球的直径2R．利用勾股定理得出R，即可得出此四棱锥的外接球的体积．【解答】解：把四棱锥P﹣ABCD补成一个长方体，可知：此长方体的对角线为四棱锥P﹣ABCD的外接球的直径2R．∴（2R）2=22+22+12=9，∴R=，∴此四棱锥的外接球的体积为=．故选：C．9.已知向量，且a+b与阿a共线，那么的值为

A.l

B.2

C.3

D.4参考答案：10.执行如图所示的程序框图所表示的程序，则所得的结果为A.

B.

C.

D.参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若（x+）n的二项展开式中前三项的系数成等差数列，则常数n的值为

．参考答案：8【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】根据（x+）n的二项展开式的通项公式，写出它的前三项系数，利用等差数列求出n的值．【解答】解：∵（x+）n的二项展开式的通项公式为Tr+1=?xn﹣r?=??xn﹣2r，前三项的系数为1，，，∴n=1+，解得n=8或n=1（不合题意，舍去），∴常数n的值为8．故答案为：8．12.已知集合，，若，则的值为______________。参考答案：013.在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，点P是斜边AB上的一个三等分点，则=

．参考答案：4【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】由题意建立直角坐标系，可得及，的坐标，而原式可化为，代入化简可得答案．【解答】解：由题意可建立如图所示的坐标系可得A（2，0）B（0，2），P（，）或P（，），故可得=（，）或（，），=（2，0），=（0，2），所以+=（2，0）+（0，2）=（2，2），故==（，）?（2，2）=4或=（，）?（2，2）=4，故答案为：4【点评】本题考查平面向量的数量积的运算，建立坐标系是解决问题的关键，属基础题．14.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

.参考答案：【考点】空间几何体的表面积与体积空间几何体的三视图与直观图【试题解析】该几何体是正方体削去两个三棱锥得到的组合体。

所以15.已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（）⊥（﹣），则λ=．参考答案：﹣3【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】由向量的坐标加减法运算求出（），（﹣）的坐标，然后由向量垂直的坐标运算列式求出λ的值．【解答】解：由向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），得，由（）⊥（﹣），得（2λ+3）×（﹣1）+3×（﹣1）=0，解得：λ=﹣3．故答案为：﹣3．16.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F1、F2，这两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1、e2，则e1?e2的取值范围为

．参考答案：（，+∞）考点：椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF1|=m，|PF2|=n，（m＞n），由条件可得m=10，n=2c，再由椭圆和双曲线的定义可得a1=5+c，a2=5﹣c，（c＜5），运用三角形的三边关系求得c的范围，再由离心率公式，计算即可得到所求范围．解答： 解：设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF1|=m，|PF2|=n，（m＞n），由于△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，即有m=10，n=2c，由椭圆的定义可得m+n=2a1，由双曲线的定义可得m﹣n=2a2，即有a1=5+c，a2=5﹣c，（c＜5），再由三角形的两边之和大于第三边，可得2c+2c＞10，可得c＞，即有＜c＜5．由离心率公式可得e1?e2=?==，由于1＜＜4，则有＞．则e1?e2的取值范围为（，+∞）．故答案为：（，+∞）．点评：本题考查椭圆和双曲线的定义和性质，考查离心率的求法，考查三角形的三边关系，考查运算能力，属于中档题．17.在等差数列{an}中，若an+an+2=4n+6（n∈N*），则该数列的通项公式an=．参考答案：2n+1考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知条件易得数列的首项和公比，可得通项公式．解答：解：设等差数列{an}的公差为d，∵an+an+2=4n+6，①∴an+2+an+4=4（n+2）+6，②②﹣①可得an+4﹣an=8，即4d=8，解得d=2，把n=1代入an+an+2=4n+6可得2a1+4=10，解得a1=3，∴通项公式an=3+2（n﹣1）=2n+1故答案为：2n+1点评：本题考查等差数列的通项公式，求出数列的首项和公比是解决问题的关键，属基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，边长为3的正方形ABCD所在平面与等腰直角三角形ABE所在平面互相垂直，AE⊥AB，且，．（Ⅰ）求证：MN∥平面BEC；（Ⅱ）求二面角N﹣ME﹣C的大小．参考答案：【分析】（Ⅰ）过M作MF∥DC交CE于F，连接MF，BF，推导出四边形NBFM为平行四边形，从而MN∥BF，由此能证明MN∥平面BEC．（Ⅱ）以A为坐标原点，所在方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的大小．【解答】证明：（Ⅰ）过M作MF∥DC交CE于F，连接MF，BF．因为MF∥DC，，所以．…（2分）又，所以．故，…（4分）所以四边形NBFM为平行四边形，故MN∥BF，而BF?平面BEC，MN?平面BEC，所以MN∥平面BEC；…（6分）解：（Ⅱ）以A为坐标原点，所在方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，直角坐标系，则E（3，0，0），N（0，1，0），M（1，0，2），C（0，3，3），=（2，0，﹣2），=（﹣1，3，1），=（﹣2，0，2），=（﹣3，1，0），设平面MEC的法向量为=（x，y，z），则，取x=1，得，设平面MNE的法向量为，则，即，取x1=1，得，，所求二面角的大小为…（12分）【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．19.设抛物线的焦点为，准线为.已知以为圆心，半径为4的圆与交于、两点，是该圆与抛物线的一个交点，.（1）求的值；（2）已知点的纵坐标为－1且在上，、是上异于点的另两点，且满足直线和直线的斜率之和为－1，试问直线是否经过一定点，若是，求出定点的坐标，否则，请说明理由.参考答案：（1）由题意及抛物线定义，，为边长为4的正三角形，设准线与轴交于点，.（2）设直线的方程为，点，.由，得，则，，.又点在抛物线上，则，同理可得.因为，所以，解得.由，解得.所以直线的方程为，则直线过定点.20.如图，在三棱锥A﹣BCD中，AD=DC=2，AD⊥DC，AC=CB，AB=4，平面ADC⊥平面ABC，M为AB的中点．（Ⅰ）求证：BC⊥平面ADC；（Ⅱ）求直线AD与平面DMC所成角的正弦值．参考答案：【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）证明BC⊥AC，利用平面ABC⊥平面ADC，即可证明：BC⊥平面ADC；（Ⅱ）取AC中点N，连MN，DN．由VA﹣DMC=VD﹣AMC得点A到平面DMC的距离，即可求直线AD与平面DMC所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵AD=DC=2且AD⊥DC，∴，又AB=4，满足AC2+BC2=AB2，∴BC⊥AC…∵平面ABC⊥平面ADC，BC?平面ABC，平面ABC∩平面ADC=AC，∴BC⊥平面ADC…（Ⅱ）解：取AC中点N，连MN，DN．在Rt△ADC中，DN⊥AC且，又平面ABC⊥平面ADC，∴DN⊥平面ABC，在△ABC中，MN∥BC且=由（Ⅰ）知BC⊥平面ADC，则MN⊥平面ADC，又∵DN?平面ADC，∴MN⊥DN，即，…在△ABC中，，∴…设点A到平面DMC的距离为h，则由VA﹣DMC=VD﹣AMC得解得，设AD与平面DMC所成角为θ，则，∴直线AD与平面DMC所成角正弦值为．…21.在数列中，，当时，其前项和满足．（1）证明：为等差数列，并求；（2）设，求数列的前n项和． （3）是否存在自然数m，使得对任意，都有成立？若存在求出m的最

大值；若不存在，请说明理由。参考答案：解：（1）当时，，∴，∴，∴，即数列为等差数列，，∴，∴当时，，（2）=，

（3） 而是单增数列，其最小值为因此即存在自然数，使得对任意n∈N*，都有成立，且的最大值为9.

略22.如图,某市拟在长为的道路的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段,该曲线段为函数的图象,且图象的最高点为;赛道的后一部分为折线段.为保证参赛运动员的安全,限定.(1)求的值和两点间的距离;(2)应如何设计,才能使折线段线段最长?

参考答案：（Ⅰ）依题意，有（1’），又，。

（2’），当时，

（4’）

又

（5’）（Ⅱ）解法一在△MNP中∠MNP=120°，MP=5，设∠PMN=，则0°<<60°由正弦定理得,

（7’）故（10’）0°<<60°