机器人轨迹规划

机器人是一种自动的、位置可控的、具有编程能力的多功能机械手，这种机械手具有几个轴，能够借助于可编程操作来处理各种材料、零件、工具盒专用装置，以执行多种任务。本论文所指的机器人，工业机器人，或称机器人操作臂、机器人手臂、机械手等。机械人系统一般由四个相互作用的局部组成：执行机构、控制器、环境和任务，执行机构(也称为机械手、操作器或者操作手)一般是多关节式机械结构，由连杆、关节、末端执行器等组成，其末端执行器根据操作需要也可以换装焊枪、吸盘、扳手、喷嘴等工具。环境即机器人所处的周围环境。是指机器人在执行任务时，所能到达的几何空间，而且包含此空间及其中的每个事物的全部自然特性所决定的。在机器人工作环境中，机械人会得到完成此任务所需要的支持，如自动传输线将为机器人传送生产所需的工件、材料等。同时，在机器人的工作环境中也会遇到一些障碍物和其他物体，它必须防止与这些障碍物发生碰撞及对这些物体发生作用，妥善处理好环境中各种突发事件，以保证机器人完成特定的任务。环境信息一般是确定的和己知的，这种环境称为结构化环境。但在大多数情况下，环境具有未知和不确定性，这种环境称为非结构化环境。任务的定义为环境的两种状态(初始状态和目标状态)fB]的区别。这些任务必须用适当的程序设计语言来描述，并将其存入机器人系统的控制计算器中，而且这种描述必须是能被计算机所理解。随着系统的不同，语言所用的系统不同语言描述方式可以为图形、语音或者文字。控制器是机器人系统的指挥中枢，负责信息处理和与人交互，它接受来自传感器的信号，对其进行数据处理，并按照预存信息、机器人的状态及其环境情况等，产生出控制信号去驱动机器人的各个关节。为此，控制器内必须保证机器人实现其功能所必须的程序。对于技术要求简单的机器人，计算机只含有固定程序：对于技术比拟先进的机器人，可以采用可编程计算机或者微处理器作为控制器。机器人主要应用在工业制造中，当然还有各类机器人在资源丌发、排险救灾、社会效劳和军事、航天等方面。1．3国内外机器人轨迹规划技术的研究现状最优轨迹规划是机器人的最优控制问题之～。规划的任务是根据给定的路径点，规划出通过这些点并满足各种约束条件矛U。陛能指标的光滑的最优运动轨迹[3]。由于机器人的动力学模型的非线性和强耦合性，所以对机器人控制是一个非常复杂的问题。通常，对其研究分为两个阶段来进彳亍。第一个阶段称为机器人的的最优轨迹规划(OptimalTrajectoryPlanning，OTP)，第二个阶段称为轨迹跟踪和控制(TrajectoryTrackingandControl，TTC)。tiij者为后者提供了机器人在运动路径上期望的位置、速度、加速度和力(或者力矩)等控制命令；而后者那么负责让机器人尽可能精确地按照上面对应的控制命令移动。研究机器人轨迹控制的方法比拟多，而且比拟成熟，在实际的应用中也获得了较好的效果，例如滑模控制器(SlidingModeController，SMC)。而在机器人的轨迹规戈lJ方面，那么由于涉及到机器人动力学、运动学等诸多方面的性能的约束而显得非：常复杂，此外在机器人轨迹规划前，还需要有路径规划的过程，因为在机器人的工作空问中往往分布着一些障碍物，要使机器入能够平安的从起始点运行到终点，就需要规划一条路径避开这些障碍物，这就需要进行路径规划，得到一条距离障碍物尽量远的平安路径。本文主要是针对机器人的最优轨迹规划问题进行讨论求解和仿真，下面我们将着重介绍有关机器人OTP问题的研究。OTP是工业机器人最优控制问题之一，其目标是指按照某个性能指标产生机器人沿着该光滑路径运动至各点出的速度和力口速度时间序列。轨迹规划的性能指标有多种形式，有时间最优，能量最优，以及时问能量综合最优轨迹规划[4]等。在早期的研究中，由于工业机器人动力学模型的复杂性，其非线性局部常常不被考虑，通常，研究者假定机器人在路径上各点的速度为常量或者只在一个很小的范围内变化，但这样做的后果使得轨迹规戈IJ的效率很低。因为在实际的应用中，机器人的速度和加速度的范围随着其位置、负载质量甚至是负载的形状变化而变化，所以为了确定范围，研究者必须考虑最坏的情况。机器人时间最优轨迹规划，是最早被提出的，它是指以时间最短作为机器人的性能指标来优化机器人的运动轨迹的。Kim和Mckay提出了一种在制定力矩约束下沿着集合路径运动的最小时间轨迹规划方法，采用参数化方法表示机器人的动力学模型，使用基于相图技术的算法计算最小时间。Pfeiffer和Johanni利用工业机器人在路径上个点速度的边界条件求得最小时间，提高了计算效率，此外，在另外一些文献中也使用了类似的方法，以速度作为约束条件，进行了时间最优轨迹规划。在实际的应用中，能量最优作也是一个jE常重要的性能指标，因为，利用能量最优进行的轨迹规划能够产生出光滑的轨迹，这样更易于轨迹的跟踪，从而提__高跟踪的精度，而且还能够减少机器人执彳亍器和操作臂上的应力，同时在能源紧张或者有限的情况下，还可以节省能量(例如太空机器人)。相关的研究工作有，陈忠[5]在机器人末端轨迹的始末位胃的情况下，根据其各自的自由度的加速度积分和能量最小准那么寻求满足约束条件的最优平滑轨迹，得到的轨迹不仅平滑而且平安；董宇欣等[6Jqe于祸合刚体运动规划方法应用与自由漂浮空间机器人的轨迹规划中，得到一种针对能量优化的规戈IJ算法，得到的轨迹不仅消耗能量小，而且关节轨迹光滑；鄢波等[7]那么利用遗传算法建立了相贯线扫查机器人能量最小优化的综合规划模型，给出了其随机搜索策略，该模型的目标函数总了考虑了机器人避障、末端轨迹精度、动力学约束与荣誉度能量最小优化指标；罗进生等¨J结合动态规划法和速度限制曲线法，在末端轨迹制定的情况下，进行了机器人时时间-能量加权最优二次轨迹规划，同时优化了时间和能量两个性能指标。对于这些优化目标，一些研究工作放在了求解这些优化目标的方法中去，其中以对算法的研究最多。Lint9】及其同事在l983年提出了柔性多面体搜索(FlsxiblePolyhedronSearch，FPS)算法来进行具体求解，但是该算法只是一种局部的搜索算法。Choi等人使用了进化策略(EvolutionStrategy，ES)来求解优化模型，但其设计的算法过于简单。Sahar和Hollerbach在1986年设计了一种求解机器人点到点运动下的同用算法，该算法在充分考虑了机器人末端执行器在力矩约束的条件下运行的问题。另外还有同时考虑了机器人运动学和动力学的约束条件下而设计的算法。例如在2001年杨国军和崔平远提出了基于模糊原理的遗传算法，并对遗传算法中的变异概率和交叉概率进行了模糊控制，克服了传统的非线性规划方法易于陷入局部极小的缺点。对于如何构造机器人轨迹也有许多研究，Tondu等人[10]在1994年在最优时间下轨迹规划的方法中，使用了带有光滑转折的直线段来连接机器人关节空间中的关键点，但这样所产生的轨迹其缺点是不能对给点的中间点进行插值操作。1997年，Bazaz等人【Il】那么指出用三次样条曲线来连接关节空间中的各个节点是最简单的多项式形式，但是他们在没有考虑关键点连接处加速度的连续性，从而会引起机器手在运动的过程中出现振动的现象，这会减少机器人的跟踪精度。两年后，Bazaz等人对前面的方法进行了一定的改良，提出了带有光滑转折的三次样条曲线来连接关节空l’日J中关键点的新方法。Zha在笛卡尔空间内利用Bezier曲线将机器人的位姿向量所构成的直纹而作为机器人的轨迹，并对其进行了插值。现在应用最广的是分段多项式，常用的分段三次样条插值是由5段三次样条函数联系起来的。它是使位置、速度、加速度连续的多项式插值方法中最低的插值方法。但是其缺点是计算量大，并且由于阶次低，三次样条插值不能使机器人的跃度连续。于是人们丌始研究高次多项式插值函数的轨迹规划，在高次多项式插值函数中，5次多项式的样条对机器人轨迹规戈U的较多，但是样条函数的各项系数的计算较为复杂。徐向荣等人提出了使用3—5—3样条函数对机器人的轨迹进行规划ll21。后来的研究者们对前者进行了改良，并用仿真工具对新样条轨迹函数进行了验证。常用的高次分段多项式插值还有3—5—4多项式插值和4．5．6．7多项式插值。但是由于其阶次高、没有凸包性等原因，使其很难用传统方法优化。除了以上的轨迹规划，文献【13]提出了摹于摆线运动规律的轨迹规划，还有研究者采用了3阶贝塞尔曲线进行：路径规划，并提出了加速度约束条件下的时间最优轨迹规划的方法。基于螺旋理论和空间样条曲线生成原理提出的一种笛卡尔空间的机械手轨迹规划的方法也被提出【I41。文献【15】提出了在关节空间中使用双曲线函数对机械手进行轨迹规划，该方法虽然算法简单，但是双曲线函数中的参数却不容易确定。本文通过使用两种进化算法一基于精英策略非支配排序遗传算法和差分进化算法，并综合考虑机器人各项性：能手旨标一时间、能量、跃度，同时在机器人运动学和动力学的约束条件下，对机器人的轨迹进行优化，从而得到一条综合性能最优的轨迹。1．4本文的研究目标及内容本文首先介绍了多目标优化问题的数学模型，及其求解方式。然后针对本文中的多目标优化问题，提出了用两种进化算法来求解这个问题，最后对这两种算法〔差分进化算法和基于经营策略的非支配排序遗传算法)进行了介绍。2．1多目标优化问题简介在工程实践和科学研究中，最优化问题是个主要的l、uJ题形式之一。假设只有一个目标函数的优化问题称为单目标优化问题，假设目标函数超过一个并且需要同时处理的最优化问题称为多目标优化问题(Multi．objectiveOptimizationProblems，简称MOPs)，它可以描述为：一个由满足一定的约束条件的决策变量组成的向量，使得一个由多个目标函数组成的向量函数最优化。目标函数是性能标准的数学描述。对于多目标优化问题，可能出现一个解对其中一个目标函数来说是较好的，但对于其他的目标函数来讲，可能是较差的，因此，在多目标优化问题中，我们不可能求出一个使得所有的目标方程都是最优的解，而是求得多目标函数的整体性能最优的解的集合，称之为Pareto最优解集(Pareto．optimalset)或者非支配解集(non．dominatedset)。随着社会和经济的开展，人们研究设计了各种多目标问题的优化方法，并成功的解决了社会生活中的问题。目前，多目标优化解决的问题规模朝着大型化开展，并且在经济规划、金融决策、军事等领域发挥着巨大的作用。2．2多目标优化问题描述一般的多目标优化问题的都可以用以下的数学模型定义：寻找一个决策向量，它满足以下条件：在式(2一1)中，m是待优化目标的个数，各目标之间的关系常常是相互制约冲突的。多目标优化的目的就是寻找，使目标函在满足约束(2-2)的同时到达最优。在多目标优化中，有的目标函数需要寻找其最大的目标值，而有的那么与此相反。甚至在同一个多目标优化问题中，还会出现目标函数的优化方向不一致的情况。对于这样的问题，一般首先要将各个子目标函数的统一转化为寻找其最小目标值。可以用下式的形式表示：同理，不等式约束可以转化为下式：通过这样的方法，任何多目标优化问题的统一转化为寻找最小目标值。另外，上式中gi(X)为不等式约束条件，hi(X)为等式约束条件。不带约束条件的优化问题较无约束优化问题，带有约束条件的优化问题称之为约束优化问题。假设优化目标函数和约束条件均为设计变量X的线性函数，那么这样的优化问题称为线性规划问题；如果优化目标函数和约束条件中有一个或者一个以上是设计变量X的非线性函数，那么称之为非线性优化问题。假设目标函数为设计变量的二次函数，而约束条件为设计变量的一次函数时，那么该优化问题称为二次规划问题。多目标优化问题的最优解的标准分为非pareto机制和pareto最优。前者的根本原那么是通过参加决策者判断，缩小多目标问题有效解集的范围。而后者的根本原那么是用多目标问题优化解的自身特性来搜索多目标问题的有效解集的范围。目前的多目标优化问题的研究中，大多数集中在非劣解集的搜索，很少考虑决策者的偏好，而在实际的多目标优化问题中，决策者必须要在众多的解集中做出一个选择。据此引出了两个概念：优先因子和权系数。下面我们举例对这两个概念进行解释。一个规划问题中，对于多个目标，决策者根据主次或者轻重缓急，认为A要求为第一位要到达的目标，赋予了优先因子只；次位的目标赋予了优先因子B，⋯只>-B>．⋯，即首先保证只级目标的实现，这时可以不考虑次级目标，而只级目标是在只级目标的根底上考虑的。权系数与优先因子是相关的，例只最优先那么，对应的权系数wl最大。优化问题求解的方法大致分为三类：直接法、解析法和智能优化方法。随着以解决问题的同益复杂，越来越多的研究集中在智能优化方法中，目前使用较多的智能优化方法有粒子群优化(PSO)、蚁群优化(ACO)、人工神经网络(NN)人工免疫系统(AIS)和进化算法(EC)等等。由于进化算法能够同时处理一组可能的解(群体)并在一次算法过程中就可以找到pareto最优集中的多个解，而且进化算法还能够处理多非线性问题，不局限于pareto前沿的形状和连续性，易于处理不连续图形的pareto前沿。到目前为此，还没找到其他比进化算法更能有效地解决多目标优化问题II2．3进化算法进化计算(EC)的目标是模拟自然进化的过程，其主要概念是适者生存：弱者必须死亡。在自然进化中，生存是通过繁重实现的。由两个(有时多于两个)父代繁殖的子代继承了父代两个(或所有)的基因一希望是父代每一个个体的最好的特征。那些继承了差特征的个体那么较弱，会在生存竞争中失败。进化算法利用一个群体，这罩～个个体被称为染色体。一个染色体定了种群中个体的特性。每一个特性称为一个基因。一个基因的值称为一个等位基因。对每一个lu=代，个体相互竞争以繁飧后，f弋。具有最强尘存能力的那些个体才有最大的时机繁殖。子代是由父代的各局部结合产生的，这个过程称为交叉。群体中每个个体还会经历变异，它将改变染色体的某些等位基冈，一个个体的生存强度是用一个适应度函数来度量的，它反映了所求解问题的目标函数和约束条件。每一世代之后，个体经过被选择，一些个体会生存到下一代(称为精英)。另外，行为特征(包装为表现型)能够以两种方式影响其进化过程：表现型可以影响基因变化，或／和行为特征分别进化117】。进化算法已经成功地用于大量现实应用，例如数据挖掘、组合优化、故障诊断、分类聚类、行程安排和时问序列逼近。人们已经提出了不同类型的进化算法(EA)。(1)遗传算法：对遗传进化的建模。(2)遗传编程：基于遗传算法但个体都是程序(用树表示)。(3)进化策略：侧重于策略参数的建模，这些参数控制了进化的变异，即进化的进化。(4)进化规划：来源于对进化中自适应行为的模拟(表现型进化)(5)差分进化：与遗传算法类似，只是所用的繁殖方法不同。(6)文化进化：是对一个群体的文化进化和文化如何影响个体的隐性型和表现型的进化的模型。(7)协调进化：这罩的初始“哑”个体是通过协作或相互竞争来进化以获得生存的必要特性。进化算法是一种对给定问题求最优解的随机搜索方法。该进化搜索主要受到以下几个局部的影响。(1)对问题的解编码在进化算法计算中，每个个体都代表一个优化问题的备选解：个体的性状由染色体表示。而性状是指最优化问题所搜索的变量，每个需要优化的变量称为基因。这些变量在可行域中的一组值叫等位基因。个体的性状可以分为两类进化信息：基因型和表现型。前者描述了个体的基因组成，它继承于父代。后者是一个个体在特定环境里所表现出的行为特征，它定义可个体的样貌。在设计进化算法中，一个重要的步骤是找到备选解的适宜的表示方案。搜索算法的效率与复杂性很大程度上依赖于这个表示方案，不同的典型方法中的不同进化算法使用不同的表示方案。(2)适应度函数：用来求适应度的函数，测试个体的生存能力。在达尔文的进化模型罩，j爿j有好的性状的个体获得生存和繁殖的时机更大。在进化算法中，为了确定一个个体的生存能力，我,ff-j用一个数学函数来表示染色体所表示的解有多好。适应度函数在进化算法中非常重要。进化算子如选择、交叉、变异和精英策略，都会用适应度函数来评估染色体。(3)初始化应用进化算法解决问题的第一步就是产生一个初始解。产生的初始种群的标准方法是在可行域中产生随机值，并分配给每个染色体的每个基因随机选择的目标是为了确保初始科一群在整个搜索空I’日J中均匀的表示。如果初始种群没有覆盖搜索空问，那有可能使得为覆盖区不被搜索。初始化种群的大小会影响算法的计算复杂性和空间探索能力。大量的个体白邑够增加多样性，进而提高种群的空间搜索能力。但是，个体越多，每代的计算量越大。当每代的计算时间增加时，可能只需要较少的代数便能找到可以接受的解；另一方面，一个种群的个体数量小，那么只能搜索空间中较小的局部。虽然每代的计算时间减少了，但是进化算法需要更多的代数才能收敛得到一个与大种群夺目当的结果。当然，如果使用小个体数量的种群时，增加变异的频率，那么可以迫使进化算法探索更多的搜索空间。(4)选择算子选择是进化算法中的一个主要算子之一，"-E的主要目标是获得更好的解，通过进化算法中的两个步骤完成：第一个是新种群的选择：在每代结束时，一个由备选解构成的新种群会被选择作为下一代的种群。新种群可以仅从后代中选择，或者同时从后代与父代中选择。选择算子的目标是确保优良个体能活到下一代。第二个是繁殖：后代通过交叉或者变异算子生成。在交叉中，优良个体有更多的时机去繁殖，从而确保后代包含最好个体的基因。在变异中，选择机制关注的是劣势个体。目的是引入更好的性状，以增加劣势个体的生存能力。选择算子有很多种，常用的选择算子有随机选择、比例选择锦标赛选择、-JIIE序选择、精英选择等等。(5)繁殖算子繁殖是从选择的父代中应用交叉和变异算子生成子代的过程。交叉是通过组合随机选择的两个或多个父代个体的基因物质生成新个体的过程。如果选择关注的是最具适应能力的个体，那么选择压力压力可能会降低新种群的多样性而引起过早收敛。变异是随机改变染色体基因值的过程。其主要目标是是种群中引入新的基因物质，提高基因的多样性，应用变异的过程要注意不要破坏高适应度个体的优良基因。为此，变异一般以较低的概率进行。另一方面，变异的概率也可与个体的适应度成反比：适应度较低的个体，变异越高。为了提高前期的迭代的能力，变异概率可以初始为较大值，并随着时l'口J逐渐减少直到最后一代。(6)终止条件在进化算法中，进化算子不断迭代执行，直到，满足终止条件。最简单的终止条件是限制进化算法执行的代数或是调用适应度函数的次数。这个限制不能太小，否那么进化算法不会有充足的时问去搜索末知的空间。除了限制执行时I、只J，另一个标准是确定种群是否收敛。收敛可以形象的定义为种群变得稳定的时候，也就是说，在种群中没有基因或表现特征改变的时候。常用的收敛准那么有，当连续几代内都没有提高时那么终止，当种群没有改变时终止，当得到一个可接受的解时终止，当目标函数斜率接近零时终止。的面我们已经介绍了不同类型的进化算法，以及影响进化算法的几个局部。在这些算法中，以带精英策略的非支配排序遗传算法和差分进化算法性能是比拟好的，下面我们就介绍下这两种算法。2．4带精英策略的非支配排序遗传算法2．4．1遗传算法简介遗传算法(GeneticAlgorithms，GA)是一种全新的高度并行的、随机的和自适应的优化算法。它主要借鉴了生物进化的一些特征，模拟生物的自然选择和遗传机制而形成的一种自适应全局优化概率的搜索算法。它主要的概念是适者生存，在不断变化的环境中，只有刃B些适应性好的个体才能生存下来，并通过遗传机制将好的特性传递给其后代。与此同时，在遗传过程或者适应环境的过程中，一些个体还会发生变异，其中的一些变异有的还使个体具有了适应新的环境的能力。如此在进化的过程中，生物群体将逐渐的产生出优良的群体，适应环境的变化。其实以上过程在形式上是一种迭代方法，从选定的初始解出发，通过不断的迭代计算过程，逐步改善当前解，知道最后搜索到最优解或者满意解。2．4．2带精英策略的非支配排序遗传算法简介非支配排序遗传算法(Non—dominatedSortingGeneticAlgorithm，简称NSGA)是基于Guldberg的非支配扫F序的思想，首先被确定设计的非支配解，然后被分配一个很大的虚拟适应度值为了保持种群的多样性，这些非支配解用它们的虚拟适应度值进行共享这些非支配个体暂时不予考虑。从余下的种群中确定第2批非支配个体，然后它们被分配一个比先前非支配个体共享后最小适应度值还要小的应拟适应度值这些非支配个体也暂时不予考虑，从余下的种群中确定第3批非支配个体该过程一直持续到整个种群都被划分为假设干等级为止。NSGA采用比例选择来复锘lJ出新一代NSGA的计算复杂度为O(mN3)，其中m是目标个数，Ⅳ是种群大小，其计算复杂度较高，而且需要预先确定共享参数¨町。NSGA．II(AFastandElitistMulti．objectiveGeneticAlgorithm)心引是Deb年I!他的学生针对NSGA的以下三个缺点于2000年提出的一种改良的带有精英策略的非劣排序遗传算法：2．5差分进化算法差分进化(DiffererntialEvolution，DE)算法是由Storn和Price在1995年提出的社会性的、基于种群的搜索策略。它采用浮点矢量编码方式并在连续空间中进行随机搜索的优化方法，其算法原理与遗传算法十分相似，进化流程(选择、交叉和变异)，交叉操作的方式也与遗传算法大致相同，它们的不同点在于DE算法在变异操作上使用了差分策略，即利用种群中个体问的差异向量对个体进行扰动，实现个体的变异。差分进化算法以差分策略为其主要特征。Price和Storn一共提出了十余种不同的差分策略来实现变异操作1171。表2．1以二项式(bin)为例列举了其中7种差分策略。表2．1差分策略DE算法的这种变异方式，有效地利用了群体分布特性，提高了算法的搜索能力，防止了遗传算法中的缺乏【171。2．4．1DE算法的根本流程2．5本章小结本章主要介绍了多目标优化方法的数学模型，以及优化问题的求解方法一进化算法。详细描述了影响进化算法的几个局部，以及进化算法中性能较好的两种进化算法一基f精英策略的非支配排序遗传算法(NSGA．11)和差分进化(DE)算法的特点与一般的流程。第4章机器人最小代价轨迹规划所谓轨迹，是指在操作臂运动过程中的位移、速度和加速度心33。而轨迹规划是根据作业任务的要求，计算出预期的运动轨迹。在给出各个路径的关键点后，轨迹规划的目标就是找出一条能够满足各种性能指标和边界约束条件的运动轨迹。4．1轨迹规划的一般问题对机器人进行轨迹规划时，我们首先要考虑的是该机器人是点对点作业(PTP，Point-to-point)还是连续路径运动(continuous—pathmotion)。对于对点作业的机器人(如上下料)，只需要描述它的起始状态和目标状态，需要说明的是这罩的点是指机器人末端执行器的位姿。对于连续路径运动(如弧焊)，不仅需要知道操作臂起始点和终止点，还要指明两点之间的假设干中间点(称路径点，又称关键点、节点)必须沿着特定的路径运动(路径约束)。除此以外我们还要弄清楚在机器人路径上是否存在障碍物(障碍约束)。路径约束和障碍约束的组合将机器人的规划与控制方式分为四类：l，离线无碰撞路径规划并由在线路径跟踪；2，离线路径规划有在线路径跟踪；3，有运动约束并有在线障碍探测和避让；4，只有位置控制。在本文中，我们研究的是PTP路径的无障碍的最优轨迹规划的方法心31。图4．1轨迹规划器框图轨迹规划器可以形象的看成一个黑箱，如图4．1，其输入有路径的设定和约束，运动学动力学的约束，输出的是机器人的末端执行器的位姿序列。机器人轨迹规划的方法，最常用的有两种：第一‘种是根据选定的轨迹节点(插值点)上的位姿、速度、加速度甚至跃度给出一组显式的约束(如连续性)，轨迹规划器从某类函数中选取参数化轨迹，对节点进行捅值，并满足约束条件。第二种方法是根据运动路径的解析式，轨迹规划器在关节空问中确定一条轨迹来逼近预定的路径。第一一种方法中，约束的设定、关节驱动器和轨迹的规划均在关节空问中进行。第二种方法的路径约束那么是笛卡尔空间罩给定的。4．2轨迹规划空间机器人轨迹的规划既可以在其关节空间中进行也可以在笛卡尔空问中进行。但是所规划的轨迹函数都必须是连续和光滑的，从而使操作臂的运动平稳。在关节空间中进行规划时，是将各个关节的变量表示成时间函数，规划好它的一阶、二阶和三阶时间导数。其优点是不必在笛卡尔坐标系中描述两个路径点之间的形状，计算容易。另外由于在关节空间与笛卡尔空间之间并不似连续的对应关系，所以，不会发生机构的奇异性问题。缺点是在进行路径规划时不形象。在笛卡尔空间进行规划，是将机器人的木端执行器的位姿、速度、加速度、二次加速度表示成时间函数。然后通过运动学反解求得各个关节的位移，用逆雅可比求出关节速度、用逆雅可比及其导数求得关节加速度。其优点是路径规划形象方便，缺点是将未端执行器的位姿、速度、加速度和跃度转换为关节空间相应的值时计算量大，而且会遇到奇异点。I在本文中，我们选择在关节空间进行轨迹规划。4．3机器人性能指标简介为了最大化影响生产效率的操作速度，最小化机器人任务的执行时间是很有必要的，现在大多数的研究工作就是为了得到一个最小时间的轨迹心卜281。也有些文献在轨迹规划中使用了能量最优的指标心争3¨，使用该标准可以带来许多优势，一方面，用该标准可以产生一条光滑的轨迹，这样更容易机器人跟踪，另一方面还能减少对机器人驱动器和操作器结构的压力，此外，它还可以节约能源，该效果在一些情况下也是很重要的，例如在一些能源资源紧张的情况(空间机器人，海底探索)。在一些文献中口2。3引，提出了将能量和时fnJ最优结合起来放在一个目标函数中。Chettibietal∞钉通过使用二次规划(SQP)的方法来优化PUMA560型机器人的运动规划问题，在文中，其目标代价函数权衡了执行时间，操作器的平均作用力以及执行任务过程中消耗的能量。在一些例如计算机图形学、规划设计、机器人学(运动规划)领域的研究中，更倾向于通过最小做跃度(二次加速度)¨引来得到一条光滑的轨迹。如果机器人关节的跃度过大，会加快机器人的磨损，从而减少其使用寿命。通过最小化机器人的关节跃度能够产生一些积极的效果：1．轨迹的跟踪误差减少了；2，驱动器和操作器的结构压力减少了；3减少了机器人共振现象的产生；4，能够产生出更加协调的运动，另外在机器人轨迹设计的时候还要考虑奇异点的避让问题，因为机器人在奇异点处完全丧失了一个自由度或多个自由度，就是在奇异点附近，其动力学性能也会变坏，所以我们要避丌奇异点，在这个时候，可操作度的指标就显得十分有用了，在文献[37，38]中，为了获得一个实用的轨迹，将可操作度作为机器人轨迹规划的一个决策指标。但是如果在机器人的关节空间早规划那么不需要考虑奇异点的问题。那么为了使机器的轨迹有上述所有指标的性能，最简单的方法就是在一个代价函数罩，综合考虑上述的所有指标。在目前的文献中，还没有这方面的描述。下面我们就介绍一下本文中这个涵盖三个优化指标的目标方程。4．4优化数学模型的建立本文中机器人的轨迹规划是在其关节空间进行的，所以文中不需要考虑机器人的可操作度指标。机器人的运动质量在很大程度上取决于目标(代价)函数F。F表示机器人从初始位置到目标位置的转移本钱。文献[26]中作者中考虑了时间性能，而在文献[34]中，虽然考虑能量但是仅考虑了机器人其中一个关节的能量，而没有考虑所有关节在整个任务中所消耗的能量，另外作者也没有考虑将两子目标方程的范围规划统一，这样会导致范围大的目标函数支配整个进化的过程。在文献[39]中，作者考虑了使用了弹性系数口，从而防止了子目标函数中因为数量级上的差异而弱化了数量级小的目标函数在整个目标函数中的地位。但是依然仅仅考虑机器人其中一个关节所消耗的能量。本文在目标方程中除了考虑了在工业生产中影响生产效率的时间和能量指标，还考虑了关节跃度(二次加速度)。值得强调的是，在本文中，我们考了所有关节在整个运行中所消耗的时间、能量和关节跃度。目标方程如下：4．4．1机器人最优轨迹规划问题的描述机器人的轨迹是由机器人关节空间中一系列的关键点序列组成的，而两相连关键点之间是由三次样条曲线来连接的。对于关节-，，设q，，q2，⋯，q。是关节空间中的关键点，{f。，f2，．．．，t。}是各个关键点相应的有序时间序列。h，是t，和tM之间的时间间隔，即h，=t⋯一t，。机器人在运行时，各关节从起始关键点开始，依次通过所有的关键点，最后到达终止点，对于相应的每一小段轨迹，各个关节运动时间均相同，这样保证所有关节在同一时间到达关键点和终止点，那么机器人从起点到终点总的运行时间可以表示为尽管每个关节在相应的每二小段轨迹中的运行时间是相同的，但是各个关节函数之间却是相互独立的。本文所求的最优解集即为优化的时问间隔。最优轨迹规划是机器人最优控制问题之一，实际上，规划就是一种问题的求解技术，即从某个特定问题的初始状态出发，通过构造一系列操作步骤，使之到达解决该问题的目标状态。机器人的轨迹规划的策略中，与工作效率相关的时间最优算法是最早被提出来的。其目的是为了通过最大化机器人的操作速度而最小化机器人总的运行时间。能量最优指标在工业应用中也是很重要的性能指标，因为它不仅可以产出出光滑的轨迹从而使轨迹更容易跟踪，而且还能减少机器人结构的压力。在能量资源有限的情况下，这个性能更是重要。除了这两种性能指标外还有诸如，跃度最小、速度和加速度最小、可操作度等性能指标，但是没有人将这些指标全部考虑，本问就是通过使用多目标函数将以上的时间、能量、跃度、速度和加速度、可操作度性能指标加权考虑，从而到达以上所有性能指标的特性。本文具体的完成工作如下：(1)对多目标优化问题进行了研究，并提出了使用两种进化算法一差分进化算法和基于精英策略的非支配排序的遗传算法来解决多目标优化的问题。(2)在对机器人的运动学和动力学进行研究的根底上，建立机器人运动学和动力学方程，最后以斯坦福机器人为例，建立起斯坦福机器人模型。(3)加权考虑机器人的时间、能量、跃度性能指标，建立一个多目标函数代价函数。(4)采用了三次样条曲线来拟合关节轨迹，并推导了该样条的曲线和约束方程。(5)结合斯坦福机器人为例，分别采用差分进化算法和基于精英策略的非支配排序遗传算法以代价最小为优化目标，求解机器人的运动轨迹，并对结果进行比照。发现两种进化算法均能求得最优解集，但是差分进化算法相比拟而言，收敛速度更快，所求得的解最好。对于今后的研究将从三个方面进行：(1)动力学模型的改良，本文所建立的动力学模型忽略了许多因素，作了许多简化假设。其中最主要的是机构中的摩擦、间隙和变形，在机器人传动机构中，齿轮啮合和轴承中的摩擦力，一般情况下很大，甚至到达关节驱动力矩的25％。另外，本文中的动力学模型由于没有考虑向心力和哥氏力，所以不适用于高速运行的情况。(2)算法的改良，虽然两者算法都取得了不错的结果，但是仍然有令人不满意的地方，例如差分进化算法由于选择作用的影响，随着进化代数的增加，其种群的多样性也越来越小，从而出现了早熟的现象。在优化技术中，除了进化算法还有其他启发式的搜索方法，在今后的研究工作中，我们可以结合不同搜索思想的混合差分进化算法，从而提高其寻优性能”引。(3)样条函数的改良，在本文中我们发现三次样条曲线在构成的机器人关节轨迹时，关节跃度是突变的，而不是的连续，这样会加大机器人各关节间的磨损，从而降低了其使用寿命。今后我们町以使用五次B样条曲线来拟合机器人的关节轨迹，因为它所产生的轨迹，不仅速度加速度轨迹光滑连续，而且跃度曲线也光滑连续，除此以外，使用五次B样条，在对轨迹局部的修改时，不会引起样条形状的大范围变化是其主要特点【47’501。换而言之，修改样条的某些局部时，不会过多地影响曲线的其他局部。【1】胡佳工业机器人路径规划和轨迹规划的多目标优化：【硕士学位论文]，南京：东南大学．【2】R．Saravanan．S．Ramabalan，Evolutionaryminimumcosttrajectoryplanningforindustrialrobots，JIntellRobotSyst(2008)52：45-77．【3】CHOIYK，PARKJH，KIMHS，eta1．Optionaltrajectoryplanningandslidingmodecontrolforrobotsusingevolutionstrategy[J]．Robotics，2000，18(8)：423-428．【4]徐海黎，解祥荣，庄建．工业机器人的最优时间与最优能量轨迹规划[J]．机械工程学报，2010年5月，第46卷第9期．【5】陈忠泽，颜国正，林良命，等．一种新的机械手最优轨迹的规划算法【J】．光学精密工程，2001，9(3)：243-247．【6】董宇欣，韩有韬，谢箭．自由漂浮机器人能量最优轨迹规划方法【J】．哈尔滨理工大学学报，2007，12(3)：48·51．【7】鄢波，颜郭正．基于遗传算法的相贯线扫描机器人轨迹规划【J】．系统工程与电子技术，2005．27(5)：896．899．[8】罗进生，张永俊．末端轨迹指定的机器人最优二次轨迹规划【J】．机床与液压，2002．3：102．103．【9】LinCSandChangPR．JointTrajectoryofMechanicalManipulatorsforCartesianPathApproximation．IEEETransactionsSystems，ManandCybernetics．V01．SMC-13，1983．【10】TonduB，ZorkanyHE．IdentificationofatrajectorygeneratormodelforthePUMA560robot[J]．JournalofRoboticSystems，1994，11(2)：77-90．【11】BazazSA，TonduB．Minimumtimeonlinejointtrajectorygeneratorbasedonlowordersplinemethodforindustrialmanipulators[J】．RoboticsandAutonomousSystems，1999，29(4)：257·268．【l2】徐向荣，马香峰．机器人运功轨迹规划与算法【J】．东南大学学报，1990，20(3)：74．79．【13】庄鹏，姚正秋．基于摆线运动规律的悬索并联机器人轨迹规划[J】．机械设计，2006，9．【l4】任敬铁，孙汉旭．一种新颖的笛卡尔空间轨迹规划方法．机器人，2002，(3)：2l7．【15】Muller-KargerCM，GranadosMirenaAL，ScarpatiLopezJT．Hyperbolic591、l少机器人最优轨迹规划州j芒trajectoriesforpick—and—placeoperationstoeludeobstacle．IEEETransactionsandautomation，2000，(3)：294．【l6】蓝艇，刘世荣，顾幸生．基于进化算法的多目标优化方法【J】．控制与决策，2006．21(6)：6—12．【17]Andries．P．Engelbrecht．计算智能导论[M】．北京：清华大学出版社．2010．6．【l8]郑金华．多目标进化算法及其应用[M】．北京：科学出版社．20067．2．【19]冯士刚艾芊．带精英策略的快速非支配排序遗传算法在多目标优化中的应用[J】．电工技术学报，2007．12(22)：146．151．【20】吴亮红．差分进化算法及应用研究：【硕士学位论文】，长沙：湖南大学．【2l】熊有伦等．机器人学【M]．北京：机械工业出版社，1993．10．【22]张伯鹏，张昆，徐家球．机器人工程根底【M】．北京：机械工业出版社，1980．【23】熊有伦．机器人技术根底【M】．武汉：华中科技大学出版社，1996：94．95．【24】吴立明．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