连续系统频率特性及根轨迹分析法的数字仿真

连续系统频率特性及根轨迹分析法的数字仿真系统的频率特性可以用实验的方法测出，这对于难以确定动态方程的系统时非常有用的。频率设计法可以忽略噪音的影响，也可用于非线性系统。

为了避免求解高阶特征方程的根的困难，通过实践提出了一种图解求跟法，即根轨迹法。根轨迹是指系统的某一个（或几个）参数从变化到时，闭环特征方程的根在根平面上描绘的一些曲线，应用这些曲线，可以根据某个参数确定相应的特征根。此法中，通常取系统的开环增益K作为可变参数。

本章将介绍频率特性方法和根轨迹分析系统的简单原理，并着重介绍奈奎斯特法和波德图法计算频率特性及其稳定性分析和求稳定裕量的算法，绘制波德图及其相应的程序，最后介绍高阶代数方程求解和根轨迹仿真的算法及第2页,共31页，2024年2月25日，星期天程序。

6.2奈奎斯特图法的数字仿真频域分析法是根据系统的开环频率特性G（jw）来判断闭环系统的稳定性和频率特性的一种图解分析法。它还能计算出系统的相位裕量r，复制裕量Kg和剪切频率wc

绘制奈奎斯特图能利用系统的开环幅相频率特性来判断闭环系统的稳定性。他是由奈奎斯特稳定判据而来的。这个判据确定了开环系统的频率特性和闭环系统动态响应之间的关系。还能由此找到改善闭环系统动态响应的方法。

6.2.1奈奎斯特稳定判据奈奎斯特稳定判据定义为（1）开环系统稳定时，即没有极点在右半平面，频率w从到变化时，开环系统频率特性曲线不环绕（-1，j）点，那末系统就是稳定的，

第3页,共31页，2024年2月25日，星期天（2）开环系统不稳定时，有p个极点在右边平面，频率w从到变化时，开环系统频率特性G（jw）曲线反时针方向环绕（-1，j）的次数N等于右半平面的开环极点数p，那末闭环系统就是稳定的，否则不稳定。奈奎斯特图就是根据奈氏判据在开环系统品频率特性的平面上绘制开环系统幅相频率特性的极坐标图。例一控制系统开环传涵位，请判别其闭环系统的稳定性。其频率特性为第4页,共31页，2024年2月25日，星期天ImRe（-1，j0）wG（jw）Kw=0图6.2—1奈奎斯特图如图，没有极点在右半平面，不论怎K样变化，曲线G（jw）都不会包围（-1，jw）点，因此闭环系统总是稳定的。6.2.2利用奈奎斯特图分析系统的稳定裕量绘制系统的奈奎斯特图，不仅可以确定系统是否稳定，还可以确定系统的稳定裕量，奈氏图线离开G（jw）第5页,共31页，2024年2月25日，星期天平面上的（-1，jw）点越远，说明稳定裕量越大。稳定裕量是以G（jw）轨迹上两个特殊点的位置来度量的。特殊点是由图中的A点和B点。A点是G（jw）的轨迹和单位圆的交点，频率为wc，在A点G（jw）的幅值为A（wc）=1，而相角为，（相角规定顺时针方向为负）。B点是负实轴和G（jw）曲线相交的点，交点频率为wg

，G（jw）的幅值为A（wg）。（-1，j0）ImReG（jw）BA（wc）wcAwgr0I平面图6.2—2由奈奎斯特图求稳定裕量第6页,共31页，2024年2月25日，星期天相位于量定义为向量OA于实轴间的夹角，并用r表示。上图中，r可由下式确定

r=1800+r=0表示A点在负实轴上，系统为临界稳定，乃是曲线穿过（-1，j0）点。通常r值在300—600

之间。相位裕量定义为G（jw）轨迹在B点幅值A（wg）的倒数并用Kg表示。Kg〉1表示系统趋于稳定，Kg=1表示奈氏线穿过（-1，j0）点，系统处于临界稳定。6.2.3利用奈奎斯特图分析系统稳定，计算开环闭环福相特性的计算程序1奈奎斯特图的绘制及系统稳定性的分析第7页,共31页，2024年2月25日，星期天

系统的开环传递函数优两种形式给出。一种是分子分母均由因子乘积形式给出，即式中n为极点的个数，m是零点的个数，K式比例系数；z1，z2，…zm

是系统的开环零点，p1，p2，…pn

为系统的开环极点。另一种形式是分子分母为s的多项式，即（n〉m）（6.2—3）（6.2—4）利用因子乘积形式展开（6.2—3）可得到（6.2—4）的形式第8页,共31页，2024年2月25日，星期天对式（6.2—4）式的频率特性为此式可表示为（6.2—5）（6.2—6）第9页,共31页，2024年2月25日，星期天则系统的频率特性分别为而幅频特性和相频特性分别为（6.2—7）（6.2—8）以上各式是已知G（s）的分子、分母多项式的各项系数时计算频率特性的算法。奈奎斯特图是对称于实轴的，所以只要做出部分即可。具体的频率范围由剪切频率wc而定，一般选择在wc附近3—4个十倍频程内。为了简便角频率参量通常采用对数分度来扩展低频段，随着w的增加，频率点选的越疏。第10页,共31页，2024年2月25日，星期天设wmax，wmin分表示计算频率的上下限，频率点数为

p，则各频率值应为Logwi=logwmin+[logwmax-logwmin]*i/pi=（1，2，3，…p）（6.2—9）上式的指数形式为ImRew=0w[G（jw）]1j1wgr-1awc-j1〈G（jwc）图（6.2-3）相对稳性图解式中L=log（wmax/wmin）称为对数循环数目，按（6.2—10）选取频点的方法，w取均匀分布，即（6.2—10）第11页,共31页，2024年2月25日，星期天.

wi=wmin+（wmax-wmin）*i/p

相比较当wmax〉wmin，能较好地扩展低频段，同时在做波德图时，便于选取对数坐标的等分度点。

2根据开环频率特性求闭环频率特性已知单位反馈控制系统的开环传递函数G(s),则闭环传递函数为

令s=jw,可以得到它可以表示成G(jw)=Re+jIm形式,这时上式可写为第12页,共31页，2024年2月25日，星期天

3奈奎斯特的程序结构及分析程序框图如下输入n,w,lK=int((n+1)/2)计算A(w),B(w),C(w),D(w)计算Re,Im计算G(j),J=j+1J<100?yG(j)=1?打印wcJ<100?是否求A(w)计算A(w)打印wj,AjJ<100?停止停止J=j+1打印wg,kgJ=j+1打印系统不好nynynnyn,,(j)<=负180(j)=-180?=第13页,共31页，2024年2月25日，星期天例已知一系统的开环传函为

n=4l=4ph[0]=1.197E13ps[1]=2.67E10ps[2]=2.63E7ps[3]=5000ps[4]=1.其余数据为0时运行结果为

wc=433.63127r=66.27169wc=10.482519r=2495.29126wc=12.018966r=2736.03249wc=13.292432r=3000波特图设计法,此时是对应bf=0的情况,即开环特性

6.3波特图法的数字仿真线性控制系统最常用的方法是波特图设计法,其法时将系统的开环频率特性的幅频和相频特性曲线分开画,并对幅频特性进行对数运算,取直角坐标的横坐标为频.第14页,共31页，2024年2月25日，星期天频率w,纵坐标为幅值和相角.绘波特图时先计算幅值.

6.3.1零,极点因子形式表示传函的计算已知控制系统的开环传函为上时对于实数零,极点,它具有一阶因子,对于复数是二因子.一阶因子表示为:G1(s)=as+b6.3.3取变量s=jw,侧6.3.3写成:G(jw)=jaw+b6.3.4其幅频和相角分别为二阶因子表达式为:G2(s)=as*s+bs+c6.3.76.3.26.3.56.3.6第15页,共31页，2024年2月25日，星期天取变量s=jw则上式可写成:G2(jw)=-aw*w+bjw+c6.3.8其幅值和相角分别为:随着因子阶次的提高,计算亦更麻烦.作为零,极点一二阶因子,其计算只要用循环语句易实现.其通用形式为

6.3.2以多项式表示传函特性的计算6.3.86.3.96.3.11第16页,共31页，2024年2月25日，星期天对预高阶系统靠分解因式来计算幅频和相角是很困难的,下面介绍用多项式表示的计算方法.

设P(s)是以变量s表示的多项式传递函数分子,分母都可以用这样的多项式表示,假定所求的是对应s=jw处多项式P(s)的幅频和相角.将P(s)用综合法分解二项式(s*s+w1*w1),这一结果将是式中(c1s+c0)是余项,它低于二阶,注意到s=jw1,于是二次相因子为0.因此求p(s)在s=jw1处的幅值和相位,只需求余项的幅值和相角就行.即

P(jw1)=c1s+c0=jc1w1+c06.3.156.3.126.3.13第17页,共31页，2024年2月25日，星期天上式是一阶因子,其幅值和相角可按6.3.5,6.3.6计算.于是,求一个多相式在w=w1处的幅值和相角,只要用多项式除以(s*s+w1*w1),求出余项在w=w1处的幅值和相角,就是所求的幅值和相角.现举例如下:

若多项式P(s)为:现要求出P(s)在w=2处的幅值和相角,根据上述方法,必须分解出二次项(s*s+4),用综合除法得所以P(j2)=5s+5=j10+5

于是第18页,共31页，2024年2月25日，星期天

6.6.3零,极点因子行式的传函幅频和相频特性计算程序-FXTXJS分析及结构组成该程序是针对入下因子的传函式中N—传函在复平面的极点数

Q—传函的因子数

Si—第I个因子的增益

Ri—第i个因子的指数

w—角频率

Ti,Bi—实型常数

第19页,共31页，2024年2月25日，星期天其仿真程序的结构框图如下Int__input()Input()G2=1G2=g2*s[I]I=q?计算I=q?G=0.43249*20*lg(g*g2)打印w,g,pW=w+w2W<=wi停止ynnnyG,p.第20页,共31页，2024年2月25日，星期天现举例说明例有一系统开环传函为试求系统的幅相频特性.其具体过程见仿真部分

6.4根轨迹法的数子仿真时域分析法是通常知道已知系统的传函,如的行式为先求出零点和极点的根.再跟距零,极点分布情况计算动态响应和指标.可以用前边的数字仿真方法完成.若用古典法完成.就是有计算机求计解系统的零,极点.(s)第21页,共31页，2024年2月25日，星期天若给开环传函其根轨迹的绘制就是不断求解高次代数方程

N(s)+KM(s)=0也就是k从0到无穷大,对应不通的根.将这些跟联起来就是系统的根轨迹.6.4.1高次代数方程的求跟程序

1基本算法设一高次多项式为6.4.3用二次式去除f(s),则得到如下商式.和余式

R(S)=ms+w 第22页,共31页，2024年2月25日，星期天即F(s)可写成6.4.6壁较.4.3核.4.6同次幂得系数得

b1=a1-pb2=a2-pb1-qb3=a3-pb2-qb1…6.4.7…

第23页,共31页，2024年2月25日，星期天实.4.7中bi的可采用递推算式来计算.这样当f(s)已知时,假设一个(p,q),就可以按6.4.8计算bi,m,w从而德6.4.4,6.4.5.同时将f(s)的次多项式变成n-2的次多项式.反复进行上述过程即可求得全部根.如果不能整除则存在p,q的小量,则f(s)的二项式为:用上式去除f(s),则余项为0.由6.4.7见余式中的m,w是p和q的函数,为求小量p,q,将m和w在点(p,q)对小量展成劳台极数,并忽略二阶以上小量,再令其为0,可得:第24页,共31页，2024年2月25日，星期天根据6.4.7的最后二式得整理得:为由上式去出小量p,q,利用6.4.7对p,q分别求导可得得值.式中i=1…n.经整理可得小量p,q的值即而得到p,q的近视值第25页,共31页，2024年2月25日，星期天循环应用上述方法,即可得到p,q的第3,4,…k次近似值,即一直循环到满足规定p,q的精度为止.所谓满足精度要求,可以通过限制迭代余项的系数m,w小于某个给定值来保证,即:m<e1,w<e2式中e1,e2为预先给定的正小数,常取0.001.当n为奇数时,应劈一次因式,整个过成如上,现给出一般算式.

设一次因式为,p(s)=s+v去除f(s)得商为余式为R(s)=w6.4.19的系数b1=a1-v,其余系数为最后一个系数Bn=w第26页,共31页，2024年2月25日，星期天若w=0,则所设一次多项式p(s)=s+v就是f(s)的一个因子.否则需修改v值,直到使满足预先给定的精度为止.求根的程序框图和程序.程序见GGJF.C中的函SUBN是奇数吗?P=a[1],q=a[2]N=2?劈二次因式余项<E吗?解二次方程N=n-2N=1?劈一次因式余项<E吗?解一次方程N=n-1N=0?打印方成全部根停止解一次方程Init-input()ynynnynny第27页,共31页，2024年2月25日，星期天6.4.2根轨迹数字仿真程序---GGJF.EXE1根轨迹程序的算法绘制系统的根轨迹就是求解高次代数方程

N(s)+KM(s)=0(其中k从0到无穷大)6.4.25的根.将相应的根联起来就可以得到闭环系统的根轨迹.

关于根轨迹增益的选取,一般只要系统的某一极点已越过s平面的虚轴进入右半复平面就可以终止计算.此时k的即为最大值.因此