函数综合课件

函数综合

1、函数及其表示

一、知识归纳

1、函数的概念：

设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个

数X,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A-B为从集合A到集合B

的一个函数(function).记作：y=f(x),x£A.

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做

函数值，函数值的集合｛f(x)|xGA｝叫做函数的值域.

注意：①“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；

②函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x.

2、函数三要素：、、

3、函数的表示方法：、、

4、分段函数：

对于自变量x的不同的取值范围，有着不同的对应法则(解析式)，这样的函数通常叫

做分段函数。它是一个函数，而不是几个函数：分段函数的定义域是各段函数定义域的______,

值域也是各段函数值域的

x+l(x>1)

例如:f(x)=<

x-l(x<l)

5、复合函数：

设y=f(u),u=g(x),则y=f(u)=f[g(x)]称为复合函数，其中y=f(u)称为外层函数，u=g(x)

称为里层函数。

例如：f(x)=-................可以看做是由/(〃)=二和a(x)=x?+2x+3复合而成的

x+2x+3u

6、区间：

｛x\a<x<6｝用区间表示为｛x|a<xWb｝用区间表示为

｛x|a<x<b｝用区间表示为｛y\a<x<b｝用区间表示为

｛x|x>a｝用区间表示为｛x|x<b｝用区间表示为

｛小2a｝用区间表示为｛x|x<b｝用区间表示为

二、典例

考点1:函数基本概念

1、下面可能表示函数的图象的是(

2、已知：f(x)=xJ-x+3贝ij/'(3)=_______________f[—)=/(x+l)=

x

考点2：复合函数的定义域

常见的函数定义域有以下几个：

①y=,则________________；②y=W/(x)(〃eN*)则___________：

g(x)

③V=，则:

1、求下列函数的定义域

⑴/(》)=—(2)f(x)=--

x-\x\

1+-

X

A/4-X2

(3)f(x)=7-x2-4X4-5

(4)f(x)=

x-l

(5)f(x)=A/X2-6X+10(6)f(x)=Jl-x+Jx+3—1

2、函数外)=丫_:的定义域为()

A.[―°°,4]B.[4,+°°)

C.(―0°,4)D.(一8,1)U(1,4]

3、下表表示N是x的函数，则函数的值域是()

X0<x<55^x<1010^x<1515«20

y2345

A.[2,5]B.N

C.(0,20]D.{2,3,4,5}

4、函数的图象如图所示，则函数y=/(x)的定义域为

5、若有意义，则函数y=x2-6x+7的值域是

考点3：抽象函数的定义域

抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数,对于其的

定义域我们要紧紧的抓住以下两点：

①无论/(x)还是的定义域都是指x的取值范围所组成的集合;

②/(x)与/[例X)]在/记号里面的取值范围一致

6、求下列函数的定义域

(1)已知函数/(x)的定义域为[0,1],求函数/(x+1)的定义域

(2)已知函数/(2x+l)的定义域为[1,2],求函数/(x)的定义域

,1

(3)已知函数/'(》2—1)的定义域为(2,5),求函数/(一)的定义域

X

(4)己知函数人》2—1)的定义域为[0,3],求函数卜=危)的定义域.

(5)改为.危)的定义域为[0,3],求夕=兀？-1)的定义域.

(6)已知./(x)的定义域是[一2,4],求/”-3x)的定义域.

考点4：常见函数的值域求法

1、一元二次函数

求下列函数的值域

(1)y=x2+2x+4(2)y=x1—2x+3(-2<x<2)

2、换元法

求下列函数的值域

(1)y—X—Jl-2x(2)y—x+4jl-x

3、分离系数法一分式

求下列函数函数的值域

⑴好言

(2)/(%)=(X^0)

1+2x

4、求下列函数的值域.

2

、X"-X

2

(l)y=x+2x,xG[0,3]；⑵产》2—x+l；

/x—34

干;(5)y=x+,

3.(2013・温州模拟)若函数在区间［a,句上的值域为［/，1，贝！Ia+b=

考点5：常见函数解析式求法

1、换元法

(1)已知/(&万)=2%-3,求f(x)的解析式

2、配凑法

(1)己知/。+!)=/+4,求/(x)的解析式

XX

3、待定系数法一已知函数类型

(1)已知/(x)是一元二次函数，且满足/(2+x)=/(2-x),且该函数的图像经过

(2,1)和(1,2)求/(X)。

(2)已知/(x)是一元二次函数，且/(x+l)+/(x—1)=2X2-4X+4,求/(x)。

[变式训练]

1.若函数外)的值域是仕，3,则函数产(x)=/(x)+看的值域是()

riJ「5/]

A.y5B.4,5

C._2,y]D[3,y]

2.已知函数人也+2)=x+2*,则函数人x)的值域为.

考点6：分段函数

分段函数问题，一定要分段讨论

x+2(x<-1)

1、己知，(幻=卜(一l<x<2),若/(x)=3,则x的值是()

2x(x>2)

B.1或2C.1,3或±力D.V3

A.1

22

2、设函数/(X)/X2+6X+C，X40，X4(),苟■(_4)=/(O)J(_2)=—2,则关于X的方程/(X)=X

2,x>0.

解的个数为()

A.1B.2C.3D.4

x-2,(x>10)

3、设f(x)=<则/(5)的值为()

/"'(x+6)],(x<10)

A.10B.11C.12D.13

(x+1)，%<1

4、设函数/(x)=/，，则使得/(x)21的自变量x的取值范围为()

4--y/X—X21

A、(一汽—2]U[0,10]B.(-oo,-2]U[0,l]C,(-oo,-2]U[l,10]D,[-2,0)U[1,10]

一x—l(x20),

2苟”)>a则实数a的取值范围是,

5、设函数=

-(x<0).

J

考点7：同一函数

当两个函数的三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数。

1、判断下列每组函数是否为同一函数，问什么？

1(x+3)(x-5)

L弘二------------y2-x-5

x+3

2.M=JX+1JX-1y2=J(x+l)(x-l)

3.f(x)=xg(x)=7P"

4./(x)=xF(x)=Vx7

5./；(x)=(j2x—5)2/2(X)=2X-5

一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)

1.已知。为实数，则下列函数中，定义域和值域都有可能是R的是（）

A.J（x）—x'+aB.J（x'）—ax2+1

C.y（x）=ax2+x+1D.&）=/+“田+1

2.已知等腰△/BC周长为10,则底边长y关于腰长x的函数关系为y=10—2x,则函

数的定义域为（）

A.RB.{小>0}

C.{x|0<r<5}

3.设M={x|-2<x<2},N={y|0WyW2},函数人x）的定义域为值域为N,则./（x）

的图象可以是（）

4.（2013・南昌模拟）函数y=Vx（x—1）一层的定义域为（）

A.{x|x>0}B.{小21}

C.{小》1,或x<0}D.{x|0<x^l}

5.函数v=2—q—f+4x的值域是（)

A.[-2,2]B.[1,2]

C.[0,2]D.［一也,也］

,|g(x)+x+4,x<g(x),

6.设函数g(x)=x2-2(xWR),寅x)=,、,则外)的值域是()

lg(x)—x,x3g(x),

A.[一看，0U(1,+«>)

B.[0,+8)

一

一99

-o

c一

-4D-

甲U(2,+8)

一

一

二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）

7'函数产帚力的定义域是——

8.设x泊则函数产丐产的最小值是

9.（2013・厦门模拟）定义新运算“㊉”：当时，a9h=a；当时，a㊉6=”.设

函数/(x)=(l㊉x)x—(2㊉x),x£[-2,2],则函数/(x)的值域为.

三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)

10.若函数/(x)=$2—x+a的定义域和值域均为口，切S>1),求a,6的值.

12.已知函数於)=x2+4ax+2a+6.

(1)若函数.火x)的值域为[0,+8),求。的值；

(2)若函数4x)的函数值均为非负数，求g(a)=2—。|〃+3|的值域.

弟三节的教的单调性与最值

［42代)•加羽整合］

1.函数的单调性

(1)单调函数的定义:

增函数减函数

一般地，设函数.信)的定义域为/,如果对于定义域/内某个区间。上的任意两

个自变量的值X”物

定义

当X1<X2时，都有那么就说函当不。2时，都有上1)>©2),那么就

数/(x)在区间D上是增函数说函数;(x)在区间D上是减函数

&卜

图象描述

-01x7*2X

自左向右看图象是逐渐上升的自左向右看图象是逐渐下降的

(2)如果函数夕=危)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y=/(x)在区间D具有

(严格的)单调性，这一区间叫做y=/(x)的单调区间.

［探究］1.函数的单调递减区间为(-8,0)U(0,+°°),这种表示法对吗？

2.函数/(x)在区间［“，6］上单调递增与函数兀0的单调递增区间为以，句含义相同吗？

2.函数的最值

前提设函数v=/(x)的定义域为/,如果存在实数M满足

对于任意XG/,都有对于任意xG/,都有力x)》M；

条件

存在尤0《/，使得色应三四.存在x()e/,使得

结论M为最大值M为最小值

I探究］3.函数的单调性、最大(小)值反映在其图象上有什么特征？

［俞一・牛力小武］

2

1.(教材习题改编)数加)=£7［，xG［2,6］,则下列说法正确的有()

①函数兀0为减函数；②函数八x)为增函数；③函数兀0的最大值为2；④函数7U)的最

小值为

A.①③B.①③④

C.②③④D.②④

2.函数y=(2%+l)x+b在(-8,+8)上是减函数，则()

C.k>—2D.k<—2

3.已知函数及49R上的减函数，则满足彳［?)勺U)的实数x的取值范围是()

A.(-1,1)B.(0,1)

C.(-l,0)U(0,l)D.(一8,-l)u(l,+~)

4.(教材习题改编次0=乂2—24'卡［-2,4］)的单调递增区间为;/(X)max=

5.(教材习题改编)若函数/(x)=4x2一丘一8在［5,20］上是单调递增函数，则实数A的取

值范围是.

6、设函躯(x)=(2a-l)x+b是R上的减函数，则a的范围为()

11

A.aN—B.一C.a>——D.a<—

2222

7、若函数y=o?_2x+l在［1,+8)上单调递增，则a的取值范围是

8、函数?=,—d一2、+3的增区间是().

A.［-3,-1］B.［-1,1］C.(-°°,-3)D.

9、函数y=7="^=的单调递增区间为()

Jx~—2x—80

A.(-8,-8)B.(一0°,1)C.(1,-K>o)D.(-8,

是QT1函数单调性的判断或证明

［例1］已知函数兀0=出?+1—ax,其中a>0.

⑴若1),求a的值；

(2)证明：当时，函数式x)在区间［0,+8)上为单调减函数.

［方法.观幻______________________________

判断或证明函数的单调性的两种方法

(1)利用定义的基本步骤是：

I取值I作差(商)变形］确定符号I4得出结论

||睢KUH练

1.讨论函数兀0=*，(心0)的单调性.

［例2］求下列函数的单调区间.

(l)_y=—X2+2|X|+3；

［方法.规的______________________________

1.求函数单调区间应注意的问题

函数的单调区间是函数定义域的子集或真子集，求函数的单调区间必须首先确定函数的

定义域，求函数的单调区间的运算应该在函数的定义域内进行.

2.求复合函数y=〃(x)J的单调区间的步骤

(1)确定定义域；

(2)将复合函数分解成基本初等函数：y=/,),w=g(x)；

(3)分别确定这两个函数的单调区间；

(4)若这两个函数同增或同减，则y=/［g(x)］为增函数；若一增一减，则y=〃(x)］为减函

数，即“同增异减”.

■国tUH练

2.求函数y=-x2+x—6的单调区间.

X2+tZ

［例3］已知函数/(幻=7(〃>0)在(2,+8)上为单调递增函数，求实数。的取值范围.

者Q四］1函数的最值与应用

।

［例4］(2013•昆明模拟)已知函数人x)=---------,xe［l,+oo).

(1)当a=g时，求函数/(X)的最小值；

(2)若对任意xe［l,+<=°),/(x)>0，恒成立，试求实数。的取值范围.

1.恒成立问题的解法

⑴机》(X)恒成立<=>/n»(X)max；

⑵加勺(X)恒成立命"勺(X)mim

IIIK^训练

4.设函数—)=f-1,对任意Xd|,+8),.岛)-4加2/)(/(*-1)+相机)恒成立,

求实数〃，的取值范围.

［通法-----方纳领悟］

2个防范——函数单调区间的记法及性质的易误点

(1)函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减.单调区间

要分开写，即使在两个区间上的单调性相同，也不能用并集表示.

⑵两函数./(x),g(x)在xW(a,b)上都是增(减涵数，则於)+g(x)也为增(减涵数，但<x>g(x),

六等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比.

2种形式——单调函数的等价变形

设任意X],b]S.X]<X29那么

(1/3)—於2)>0㈡但一X2)[AX|)-/(X2)]>OQ/(X)在①，切上是增函数；

X]-%2

⑵曲士&辿<O0(X]—X2)[AX|)-AX2)]<O0/(X)在[。，〃上是减函数.

X\一%2

4种方法——函数单调性的判断方法

判断函数单调性的方法有以下四种：

(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论；

(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数;

(3)导数法：利用导数研究函数的单调性；

(4)图象法：利用图象研究函数的单调性.

[变式训练]

1,x>0,

1.设函数/(x)=<0，x=0，g(x)=x2/(x—1),则函数g(x)的递减区间是()

「1,x<0,

A.(一8,0]B.[0,1)

C.[1,+8)D.[-1,0]

一、选择题

4.(2013・潍坊模拟)已知函数.危)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当

时，[AX2)-XX,)].(X2-XI)<0恒成立，设。=/(—，，b=a，。={3)，则a,b,c的大小关

系为()

A.c>a>bB.c>b>a

C.a>c>bD.b>a>c

三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)

10.已知函数/(x)=[—：(。>0,x>0).

⑴求证：於)在(0,+8)上是单调递增函数；

(2)若麻)在已21上的值域是停2],求a的值.

11.已知函数/(x)对任意的a,bCR恒有贝a+b)=/(a)+/(6)-l,并且当x>0时，兀.

(1)求证：兀0是R上的增函数；

(2)若./(4)=5,解不等式./(3〃/一加一2)<3.

第四节舀数的奇偶性与周期性

［帕林•知在整合］

1.函数的奇偶性

奇偶性定义图象特点

一般地，如果对于函数人X)的定义域内任意一个X,都

偶函数关于谢对称

有/(—x)=/(x),那么函数/(X)就叫做偶函数

一般地，如果对于函数的定义域内任意一个X,都

奇函数关于原点对称

有/(—X)=—/(X),那么函数兀V)就叫做奇函数

［探究］1.奇函数、偶函数的定义域具有什么特点？它是函数具有奇偶性的什么条件？

2.若/(x)是奇函数且在x=0处有定义，是否有/(0)=0?如果是偶函数呢？

3.是否存在既是奇函数又是偶函数的函数？若有，有多少个？

2.周期性

(1)周期函数：

对于函数y=/(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时，都有位

+D=/U),那么就称函数y=/(x)为周期函数，称7为这个函数的周期.

(2)最小正周期：

如果在周期函数_/(x)的所有周期中存在一个量小的正数，那么这个最小正数就叫做/U)

的最小正周期.

4.若T为夕=兀0的一个周期，那么〃T(〃ez)是函数外)的周期吗？

［匈部牛力小丁］

i.(教材习题改编)下列函数是奇函数的有()

42

®/(X)=2X+3X:②/(X)=X3-2X；

*+1

③Ax)=一^-；④Ax)=d+i.

A.1个B.2个

C.3个D.4个

2.(2013•郑州模拟)设函数段)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成

立的是()

A.Kx)+|g(x)|是偶函数

B.人r)—|g(x)|是奇函数

C.l/U)|+g(x)是偶函数

D.g(x)是奇函数

3.设於)是周期为2的奇函数，当04W1时，y(x)=241—x),则7(一1)=()

1

A-

B.4

1

D2-

4.(2012・重庆高考)若人x)=(x+a)(x—4)为偶函数，则实数。=.

|雪点H判断函数的奇偶性

［例1］判断下列函数的奇偶性

(l)/(x)=—x+,\Jx2—3；

(2双,)=*二？

(3»(x)=(x+l)

判断函数奇偶性的方法

(1)首先确定函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则既不是奇函数也

不是偶函数.

(2)若定义域关于原点对称，则可用下述方法进行判断：

①定义判断：y(—x)=/(x)0/(x)为偶函数，

X—X)=—Kx)e/(x)为奇函数.

②等价形式判断：/(—x)—/(x)=OQ/U)为偶函数，

X-x)+/(x)=Oe/(x)为奇函数.或等价于。三=1,则Xx)为偶函数；与"=一1，则

/(X)为奇函数.

(3)对于分段函数的奇偶性的判断应分段进行.

(4)对于抽象函数奇偶性的判断，应充分利用定义，巧妙赋值，通过合理、灵活地变形

配凑来判定.

||脸：UII练

1.判断下列函数的奇偶性

fx2+x(x>0),

(1求X)=2(G

[x—x(x<0)；

音后二函数奇偶性的应用

[例2]⑴(2012•上海高考)已知是奇函数，且负1)=1.若g(x)=/(x)+2,则g(一

1)=.

(丫+1sinx

(2)(2012・新课标全国卷)设函数危尸1-----的最大值为A/,最小值为加，则M+

m=.

[方法•胡彳打__________________________________

与函数奇偶性有关的问题及解决方法

(1)已知函数的奇偶性，求函数值

将待求值利用奇偶性转化为己知区间上的函数值求解.

(2)已知函数的奇偶性求解析式

将待求区间上的自变量，转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构

造关于兀0的方程(组)，从而得到_/(x)的解析式.

(3)已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值，常常利用待定系数法：利用./(x)±/(-

x)=0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程求解.

(4)应用奇偶性画图象和判断单调性，利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另

一区间上的单调性.

11^0训练

2.(1)设义x)为定义在R上的奇函数.当x》0时，Xx)=2*+2x+bS为常数)，则八一1)

=()

A.-3B.—1

C.1D.3

(2)已知函数/(x)在区间［-5,5］上是奇函数，在区间［0,5］上是单调函数，且负3)勺(1),则

()

A../(-D<X-3)B.人0)/—1)

C.人一1)勺(1)D.人—3)»—5)

［通法——归纳领悟］

2个特点——奇、偶函数的定义域及关系式的特点

(1)奇、偶函数的定义域关于原点对称.函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性

的必要不充分条件.

(2次一x)=一/(x)或式-x)=/(x)是定义域上的恒等式.

5个性质——函数奇偶性的性质

(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于

原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.

(2)若/(X)为偶函数，则人一x)=/a)=/(M).

(3)若奇函数兀0定义域中含有0,则必有负0)=0.

/(0)=0是<x)为奇函数的既不充分也不必要条件.

(4)定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函

数的和(或差)”.

(5)设火幻，g(x)的定义域分别是。”D2,那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇

*奇=偶，偶+偶=偶，奇乂偶=奇.

3种方法——函数奇偶性的判断方法

判断函数的奇偶性一般有三种方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)性质法.

3条结论——关于函数周期性常用的结论

(1)若满足/(x+a)=-左)，则«x+2a)=/［(x+a)+a］=-/(x+a)=/(x),所以2。是函数

的一个周期(。彳0);

(2)若满足/(x+a)=〃则_/(x+2a)=/［(x+a)+“］=“-所以2a是函数的一

J\x)J\x'4)

个周期(a¥0)；

(3)若函数满足兀v+a)=-六，同理可得2a是函数的一个周期(a#0).

一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)

1.(2012・陕西高考)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为()

A.y=x+lB.y=­x3

C.y=~D.y=x\x\

2.已知./(x)是定义在R上的奇函数，且满足«c+4)=/(x),则｛8)=()

A.0B.1

C.2D.3

3.设偶函数在(0,+8)上为减函数，且五2)=0,则不等式©邛工0的解集为

()

A.(-2,0)U(2,+8)B.(-8,-2)U(0,2)

C.(-8,-2)U(2,+°°)D.(-2,0)U(0,2)

5.(2013•广州模拟)己知定义在R上的奇函数人x)满足大x-4)="/x),且在区间［0,2］

上是增函数，则()

A.大-25)勺(11)勺(80)B.X80)</(ll)</(-25)

C../(11)</(80)<^-25)D../(-25)<A80)</(H)

二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)

6.若函数y(x)=ar2+bx+3a+b是偶函数,定义域为］。-1,勿］,则a=,b=.

7、己知/(x)为奇函数，g(x)=/(x)+9,g(—2)=3M/X2)=

8、已知/'(》)=》2。11+办3—2一8,/"(—2)=10,求/'(2)=

X

9、函数/(X)在R上为奇函数，且/(x)=V7+l,x>0,则当x<0,

f(%)=.

10、如果奇函数/(x)在区间［3,7］上是增函数且最大值为5,那么/(x)在区间［-7,-3］上是

()

A.增函数且最小值是-5B.增函数且最大值是-5

C.减函数且最大值是-5D.减函数且最小值是-5

11、若偶函数/(X)在(一8,-1］上是增函数，则下列关系式中成立的是()

A./(-|x/(-l)</(2)B./(-1)</(-|)</(2)

12、若函数/(x)=(左—2)x?+(左—l)x+3是偶函数，则/(x)的递减区间是

13、函数了=一一+|》|,单调递减区间为,最大值和最小值的情况为

14、设奇函数/(x)的定义域为［-5,5］,若当xe［0,5］时，/(x)的图象如右图，则不等式

/(x)<0的解是

15、已知偶函数/(X)在区间［0,—)上单调增加，则满足/'(2X-1)</(；)的x取值范围是.

16、定义在(一1,1)上的函数人x)

3)对任意工，*(—1,1)都有：,危)+")=/律§；

(ii)当xd(—1,0)时，加)>0,

回答下列问题.

(1)判断7U)在(-1,1)上的奇偶性，并说明理由；

(2)判断函数兀0在(0,1)上的单调性，并说明理由;

⑶若斗试求后1一6)一/(击)的值•

17、已知外)是定义在［-1,1］上的奇函数，且火1)=1,若a,/)£［-1,IJ,a+b#0时,

(1)判断/(x)在［—1,1］上的单调性，并证明它；

(2)解不等式,4丫+0勺6匕)；

(3)若7(x)4/—2〃m+1对所有的1,1］恒成立，求实数机的取值范围.

18、已知函数外)对于任意x,yGR,总有兀0+加)=危+刃，且当x>0时，/(x)<0,/(1)=

_2

~3'

(1)求证：/(x)在R上是减函数；

(2)求加)在［一3,3］上的最大值和最小值.

第六节指数与指数的数

1.根式

(1)根式的概念:

根式的概念符号表示备注

如果引三口那么X叫做。的〃次方根n>\且"WN*

当〃是奇数时，正数的〃次方根是一个正数,

零的n次方根是零

负数的〃次方根是一个负数

当〃是偶数时，正数的〃次方根有两个，这两

±y[a(a>0)负数没有偶次方根

个数互为相反数

(2)两个重要公式:

a,〃为奇数,

①缶三2(。20),

\a\=]〃为偶数;

l-a(a<0),

②(缶)"=g(注意a必须使抵有意义).

2.有理数指数寻

⑴事的有关概念：

m

①正分数指数嘉：/=府(40,m,-GN*,且〃>1)；

*11

②负分数指数幕：a"=一/=(a>0,m,"CN*,且”>1)；

/传

③0的正分数指数幕等于0,0的负分数指数指无意义.

(2)有理数指数基的性质：

@aas—a'+'(a>0,r,sGQ)；

②(a')s=4(a>0,r,sGQ)；

®(abY^ab''(a>0,b>0,rGQ).

3.指数函数的图象与性质

y=aa>\0<a<l

y/片a”

图象3@2

定义域R

值域(0,+8)

(1)过定点皿

(2)当％>0时，y>l；x<0时，0<E

性质(2)当x>0时，0<y<l；x<0时，y>\_

<1

(3)在R上是增函数(3)在R上是减函数

［探究］2.如图是指数函数(1»=",(2)y=b*,(34=/,(4»=，的图

象，底数a,h,c,d与1之间的大小关系如何？你能得到什么规律？

3.函数尸y—aM,y=\ax\(a>0,aWl),之间有何关系？

［t）刷•牛力小诚］

1.（教材习题改编）化简［（一2）6］2—（-1）°的结果为（）

A.-9B.-10

C.9D.7

2.化简(〃>0,6>0)的结果是()

94b

A。

B.ab

a

5.

5.若函数兀0=/—l（a>0,aWl）的定义域和值域都是［0,2］,则实数

晋点一口指数募的运算

［例1］求值与化简:

⑴（|尸X（-款+8“X版+（翡X由）6_

I随式训练

1.化简下列各式(其中各字母均为正数).

1

(2\~2_11

(D------7=-----；

指数函数的图象及应用

[例2]⑴已知函数/)=。一分0—6)(其中0＞力,若段)的图象如图所示,

则函数g(x)="x+6的图象是()

(2)若曲线飙=2'+1与直线y=b没有公共点，则b的取值范围是

若将本例⑵中“6=2、+1"改为'3=|2'—1|"，且与直线y=b有两个公共点，求b的

取值范围.

II侬大训练

2.（2012・四川高考）函数y=/-a（a>0,且的图象可能是（）

3.（2013・盐城模拟）已知过点。的直线与函数y=3"的图象交于4,8两点，点工在线

段02上，过工作y轴的平行线交函数y=9'的图象于C点，当8c平行于x轴时，点”的

横坐标是.

［例3］已知函数而）=g产4"3

（1）若。=-1,求加）的单调区间；

（2）若大x）有最大值3,求。的值；

（3）若4）的值域是（0,+8）,求。的值.

||喳式UH练

4.设a>0且arl,函数y=『+2"-1在上的最大值是14,求a的值.

[通法——归纳领悟]

1个关系——分数指数幕与根式的关系

根式与分数指数基的实质是相同的，分数指数基与根式可以互化，通常利用分数指数基

进行根式的化简运算.

2个应用——指数函数单调性的应用

(1)比较指数式的大小

若两个指数式的底数相同、指数不同，则根据底数与1的大小，利用指数函数的单调性，

通过自变量的大小关系判断相应函数值的大小；若两个指数式的底数不同、指数也不同，则

常借助1,0等中间量进行比较.

(2)解指数不等式

形如的不等式，借助于函数y=/的单调性求解，如果a的取值不确定，需分。>1

与0<a<l两种情况讨论,而形如ax>b的不等式，需先将b转化为以a为底的指数嘉的形式.

3个注意——指数式的化简及指数函数的应用需注意的问题

(1)在进行指数累的运算时，一般用分数指数塞的形式表示，并且结果不能同时含有根

号和分数指数基，也不能既有分母又含有负指数.

(2)指数函数y=/(“>0,a/l)的图象和性质跟。的取值有关，要特别注意区分与

0<a<l来研究.

(3)对可化为『+万/+c=0或肃+万/+。》0修0)的指数方程或不等式，常借助换元

法解决，但应注意换元后“新元”的范围.

创新交汇一指数函数与不等式的交汇问题

1.高考对指数函数的考查多以指数与指数函数为载体，考查指数的运算和函数图象的

应用，且常与函数性质、二次函数、方程、不等式等内容交汇命题.

2.解决此类问题的关键是根据已知(或构造)指数函数或指数型函数的图象或性质建立

相关关系式求解.

1.化简4m的结果是()

A.—y]—xB.yfx

C.—\[xD.\l~x

5

2.(2012•天津高考)已知a=2%0,c=21og52,则a,b,c的大小关系为()

A.c<b<aB.c<a<b

C.b<a<cD.b<c<a

3.函数的值域是()

A.(0,+°°)B.(0,1)

C.(0,1]D.[1,+8)

4.(2013・广州模拟淀义运算，则危)=2'㊉2r的图象是()

[b(a>b)

5.设函数/(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x=l对称，且当时，兀0=3、

T,则有()

二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)

7.已知函数｛X)=4+/T的图象恒过定点尸，则点尸的坐标是

8.函数y=《下一3’在区间［—1,1］上的最大值等于.

三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)

12.已知函数./(x)=3"一质.

⑴若网=2,求x的值；

(2)判断x>0时，/(x)的单调性；

(3)若3欠2/)+切对于fC/1恒成立，求机的取值范围.

1.函数y=(分