数学建模与实验

数学建模与实验目录

第一章数学建模概述………..2

第二章MATLAB入门……………14

第三章初等模型…………………32

第四章微积分模型………………48

第五章微分方程模型……………53

第六章数学规划模型……………59第七章插值与拟合………………74

第八章代数模型…………………82第九章评价模型…………………90第十章回归模型………………..104

参考解答……………………........111第一章数学建模概述

数学与计算机的结合，形成了数学技术，使数学的应用越来越广泛。随着数学建模竞赛的开展和数学建模课程的普及，数学建模教育对培养学生的重要性，使越来越多的人达成共识。

数学模型是指用数学的语言和工具对现实世界的部分信息翻译、归纳形成的图表、公式等。通过对数学模型的分析、求解，再回到现实世界，使数学模型的结论经过现实的检验。若检验结果基本正确，模型可用，否则要重新对模型修改。

所谓数学实验，就是选择适当的算法和数学软件，将数学问题在计算机上加以讨论，试验，得到各种结果，并使结果可视化。

数学建模的大体过程如下：

1.模型准备了解问题的实际背景，搜集各种相关信息。要查阅大量的资料，包括请教专家。对背景了解得越透彻，建模才能越贴近实际。

2.模型假设

我们不可能，也没有必要将实际对象的所有因素都考虑到模型中去。必须对模型简化，尽量抓住问题的基本实质。模型假设极具挑战性，它要求既要贴近现实，又要贴近数学。通过假设，把主要影响因素的关系清晰地描述出来。

3.模型建立我们将问题的主要变量用数学字母来表示，构成实际问题的数学描述，建立相关的数学模型。这当然要求学生有一定的数学基础知识，比如初等数学、微积分、微分方程、线性代数、统计学、运筹学、图论、排队论等等多方面的知识。4.模型求解利用数学方法、数学软件，求出数学模型的结果。5.模型分析对模型定性或定量的结果给出数学上的预测。要对结果进行误差分析、灵敏度分析等等。6.模型检验把模型求解的结果放回到实际问题数据中，验证模型的可靠性和实用性，说明产生误差的原因，并确定是否对模型进行补充修正。7.模型的推广如果模型是适用的，他除了解决题目中的现实问题还可以解决哪些相关的问题呢？

这里仅以我们的学生段明宏、杨建春、王艳同学做过的题目（全国2等奖）来说明上述过程。

输油管道最优布置模型摘要本模型以输油管道铺设总费用最小为目标，解决了在此目标下的最佳中转运输站点的设置和管道布置方案问题。主要运用了多元函数无条件极值理论和三角形的费马点理论以及初等数学知识，借助matlab7.0软件，根据炼油厂A、B之间的距离和它们与铁路干线的距离不同，将问题1分成三种情况建立了三个一般模型，然后在一般模型中进一步讨论了共用管道费用和非共用管道费用相同和不同的情况，将方案分成了2类，从而全面准确地得出了解决该问题的3个一般模型。针对具体的问题2和问题3，利用问题1的重要结论和费马点的判断理论，分别建立了两个三元函数无条件极值模型。对于问题2，得出了最小总费用为：(万元)，给出了最佳布线方案：管道节点P的坐标为，站点C的坐标为，最佳管道铺设路线为：；对于问题3，得出了最小总费用为：(万元)，给出了最佳布线方案：三段铺设非共用管道，CP段铺设共用管道，车站点C的坐标确定为C，管道节点P的坐标确定为P。关键词输油管道最优布置多元函数无条件极值三角形的费马点1、问题重述某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。由于这种模式具有一定的普遍性，油田设计院希望建立管线建设费用最省的一般数学模型与方法。（1）针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，提出你的设计方案。在方案设计时，若有共用管线，应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形。（2）设计院目前需对一更为复杂的情形进行具体的设计。两炼油厂的具体位置由附图1.1所示，其中A厂位于郊区（图中的I区域），B厂位于城区（图中的II区域），两个区域的分界线用图中的虚线表示。图1.1中各字母表示的距离（单位：千米）分别为a=5，b=8，c=15，l=20。图1.1若所有管线的铺设费用均为每千米7.2万元。铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，为对此项附加费用进行估计，聘请三家工程咨询公司（其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质）进行了估算。估算结果如下表所示：工程咨询公司公司一公司二公司三附加费用（万元/千米）212420请为设计院给出管线布置方案及相应的费用。（3）在该实际问题中，为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力，选用相适应的油管。这时的管线铺设费用将分别降为输送A厂成品油的每千米5.6万元，输送B厂成品油的每千米6.0万元，共用管线费用为每千米7.2万元，拆迁等附加费用同上。请给出管线最佳布置方案及相应的费用。2、模型假设2.1、炼油厂B到铁路干线的距离大于等于炼油厂A到干线的距离.2.2、站点C在铁路干线上.2.3、共用的单位长度的管道铺设费用n大于或等于非共用的单位长度的管道铺设费用m.2.4、炼油厂B、站点C、管道节点P、管道线与城郊区竖直分界线的交点B’均在第一象限，炼油厂A点在y轴正半轴上.2.5、铁路干线在A、B两厂附近为直线.2.6、炼油厂A、B，站点C，管道节点P，以及点它们之间的所有管道均是直线。2.7、炼油厂A、B，站点C，管道节点P，以及点共面。3、符号说明3.1以下符号是全文公用符号，不同模型的中具体符号详见各个模型内。m非共用的单位长度的管道铺设费用；n用的单位长度的管道铺设费用；Z管道铺设、拆迁费和工程补偿等附加费的总费用；P共用管道和非共用管道的节点；C铁路上待修建的车站站点；B’管道线与城郊区竖直分界线的交点。3.2在原问题重述中，如果问题2中的坐标图中的字母与本论文中的其他字母有悖，以论文中的字母为准。4、模型准备4.1费马点定义在一个三角形中，到3个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点。（1）若三角形ABC的3个内角均小于120°，那么3条距离连线正好平分费马点所在的周角。所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。(2)若三角形有一内角不小于120度，则此钝角的顶点就是距离和最小的点。4.2费马点的判定（1）对于任意三角形△ABC，若三角形内或三角形上某一点E,若EA+EB+EC有最小值,则E为费马点。\o"查看图片"图1.2（2）如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。5、问题分析5.1问题1的分析针对炼油厂A和B与铁路干线的垂直距离以及A和B之间的距离的不同，欲在铁路干线附近建立一个站点C,使得站点C能方便运输A、B两处的成品油，以总管线建设费用最小为目标函数，建立相应的数学模型。（1）就一般情形来看，A、B、C三点构成一个三角形，当90度<=角ACB<120度或三角形ABC为锐角三角形时，问题就转化为在三角形ABC内部找到一点P，使得P点到A、B、C连线距离之和最小。根据费马点定律知识可知，该数学问题可以充分利用该理论知识的性质和结论，建立最一般的模型1.1（2）当三角形ABC中，角ACB>=120度时，在三角形ABC内部不存在费马点，根据费马点理论，此时费马点即为顶点C，而C点在铁路干线上，此问题就进一步转化为在铁路干线上寻找一点C‘，使得|AC‘|+|BC’|最小，利用平面镜成像原理建立了模型1.2，这是在模型1的基础进一步完善。（3）当三角形ABC中，角ACB<90度且角OAB>120度时，在三角形ABC内部也不存在费马点，根据费马点理论，此时费马点即为顶点A，而C点在铁路干线上，此问题又进一步转化为在铁路干线上寻找一点C’，使得|AC’|+|AB|最小，利用点到直线的距离最短知识建立了模型1.3，这也是在模型1的基础进一步完善。根据题意，由管道铺设方案中是否含有共用管道，将各类模型对应的方案分成两类.(1)第一类方案，不含共用管道（2）第二类方案：含有共用管道5.2问题2的分析首先，针对给定的两炼油厂A、B的具体坐标位置，我们首先根据问题（1）的分析可知，问题二中，在郊区和城区的分界点B’与炼油厂A连线的最大仰角小于30度，推导过程详见问题2的模型求解部分。由此判断，问题2中在郊区部分的管线布置满足模型1的先决条件，从而主要用模型1来求解问题2。其次，在城区内的管道铺设的单位长度的费用需要考虑拆迁和工程补偿等费用，三家公司的级别有异，所以需要用加权平均法处理，这里我们给定了公司一、二、三的权重系数分别为0.4、0.3、0.3，使得城区管道单位长度的铺设费用为21.6+7.2=28.8（万元），而郊区的所有管道的单位长度铺设费用均为7.2（万元）。最后，我们结合模型1和三元函数的无条件极值的必要条件建立了问题2的数学模型。5.3问题3的分析为了进一步解决更加实际的问题，问题3给出在各个炼油厂的生产能力不同导致油管的输送的单位长度铺设费用不同A为5.6，B为6.0，共用管道的单位长度铺设费用更大为7.2，同样以总的费用最小为目标，建立三元函数的无条件极值模型。其次，3问和2问的其他条件完全相同，所以3问即为2问的模型的推广和应用。6、模型建立与模型求解6.1对问题1的模型建立和模型求解6.1.1模型1.1设定点为炼油厂建造点，车站点共用管道节点其中点C、P为动点，铺设所有管道的总费用为Z（千元）。如图6.1所示，为共用管道的长度，为非共用管道的长度，假设两段每千米的铺设费用为m千元，段每千米的铺设费用为n千元。当任一内角小于120度时，设的费马点为，由三角形费马点理论，可知一定在内部。再由初等数学知识易知，炼油厂A、B两点的坐标只需满足下列公式：;（1）下面建立满足条件（1）的一般模型1.1：模型1.1的建立（2）其中不妨假设点,,均在第一象限内，m，n>0常数。模型1.1（3）模型1.1求解：根据多元函数无条件极值的必要条件（即所有自变量的偏导数为零）可得：令，，得到由得到所以得到唯一解：（10）即是取得极值的必要条件。现在由以上结论，此时的共用管道应该垂直x轴，非共用管道AP与BP和水平线成的夹角是相等的，既有如下重要结论：，现在欲根据此结论，求出管道节点P的坐标，即求。如图6.1所示，建立如下直角坐标系：

图1.3如上图6.1，由以及反三角函数性质、直角三角形的相关性质，有：求解结果讨论：据非共用管道铺设的单位长度费用m与共用管道单位长度铺设费用n相同和不同两种情况，讨论如下：当m=n，即k=1/2时，管道节点的坐标为：P（，）当m<n，即k=m/2n时，管道节点的坐标为：P（，）③当m>n，不存在，因为假设部分已经假设m<=n.方案1（属于第二类方案）：站点C的坐标为（，0），管道节点P的坐标为（，），管道铺设路线为BP，AP，PC三段，只有PC段为两个炼油厂的共用管道。其中，，如图6.1所示。6.1.2模型1.2当三角形ABC中，角ACB>=120度时，根据费马点理论，在三角形ABC内部不存在费马点，此时三角形ABC的费马点即为钝角顶点C，利用初等数学知识可得，满足角ACB>=120度的条件等价于:（11）设，车站点，具体见图6.2，管道铺设总费用为，炼油厂A,B到车站C的管道的单位长度的费用为m（千元/千米）（常数）图1.4（12）欲求只需要根据平面镜成像原理，易知且在中，,据平行线成比例解得：（13）结论：(1)车站点C可由确定。(2)两段非共用管道之和的最小值为：(3)总费用的最小值为：注意：当AB//x轴时，即时，也即炼油厂A和B距离铁路干线同样远时，站点C的坐标显然为，上式结论(1)、(2)、(3)依然成立。方案2(属于第一类方案)：根据A、B的坐标位置确定最佳的站点C的坐标为：C，管道建设路线为AC、BC，无共用管道，如图6.2所示。6.1.3模型1.3当三角形ABC中，角ACB<90度且角OAB>120度时，根据费马点理论，在三角形ABC内部也不存在费马点，此时费马点即为钝角顶点A。如图6.3建立直角坐标系：图1.5,；据费马定律，此时费马点即为钝角顶点A，AB为定值，A与动点C的最短距离即为AO，所以最终建管道的总费用达到最小为：当一旦满足条件|AB|>,则总的建管费最小为：（13）其中m、n分别为非共用管道与共用管道的单位长度费用（千元/千米），m>0,n>0,易知，此时，Z最小总费用完全由决定。特别地，当AB⊥x轴时上述模型依然成立。最小总费用为：方案3（属于第二类方案）：站点C的坐标为（0，0），管道铺设路线为BA，AO两段，其中AO段为A、B炼油厂的共用管道，BA段为B炼油厂的非共用管道。6.2.1问题2的模型建立利用问题1中模型1.1的理论知识和结论，建立如图6.4所示的坐标系以及各个坐标点图1.6各点坐标：由题意可知，目标函数即为总的费用（包含管道铺设费用和拆迁、工程补偿费用等）如下：（15）代入各点坐标化简得：总费用目标函数为：其中：这是一个非线性的三元函数的无条件极值问题。6.2.2问题2的模型求解利用matlab首先计算并判断出该三元函数黑塞矩阵判断极值点的充要条件，程序见附件[2],最后利用matlab解多元函数的无约束优化问题的命令[x,fval]=fminunc(‘filename’,x0)求得：6.2.3问题2的方案管道节点P的坐标为，站点C的坐标为，管道铺设路线为：AP，BB’，B’P，CP，总费用Z=283.2013(万元)。4.3.1问题3的模型建立基于2问和3问的条件基本相同，建立2问的直角坐标系。可以得到如下三元函数的无条件极值模型：其中：6.3.2问题3的模型求解该模型的求解与问题2模型的求解类似。同样利用matlab解多元函数的无条件极值命令[x,fval]=fminunc(‘filename’,x0)解出，模型求解matlab程序和运算结果见附件[3].即得到管道节点P的坐标为P，城郊区分界线上的点B’的坐标为B’车站点C的坐标为C总费用最小值为(万元)6.3.3问题3的管道布线方案AP、B’P、BB’三段铺设非共用管道，CP段铺设共用管道，车站点C的坐标确定为C，管道节点P的坐标确定为P。7、模型检验与误差分析7.1模型检验对于问题1得出的三个一般模型，检验主要是从各个模型适用的先决条件和参数满足的取值范围来讨论7.1.1对于模型1.1的检验满足的先决条件是，参数满足的条件是，从参数的取值范围可以看出，他们都满足先决条件。7.1.2对于模型1.2的检验满足的先决条件是，参数满足的条件是，从参数的取值范围可以看出，他们都满足先决条件。7.1.3对于模型1.3的检验满足的先决条件是，参数满足的条件是，从参数的取值范围可以看出，他们都满足先决条件。7.2误差分析对于问题2和3优化模型，我们主要使用了不同的软件，matlab和lingo对求解结果进行误差分析,从求解结果可以看出，误差非常小。对于问题2的误差计算：用matlab采用多元函数无条件极小值命令fminunc计算用lingo软件采用非线性规划求解得到的计算对于问题3的误差计算与问题2类似，详见附件[4]8、模型评价和推广8.1模型评价该模型首先是根据费马点理论和多元函数无条件极值理论，从一般情况建立了一般模型1.1，1.2，1.3，并给出了三个一般模型满足的三个前提条件，然后从在根据炼油厂A、B的具体坐标位置，先判断满足哪个条件，然后直接利用对应的一般模型的重要结论和性质，建立了2问和3问的最优管道布线方案模型，模型的层层递进，建立优化模型，步步接近解决实际问题。8.2模型推广具有很好的实用性，可以用于城市地下水管铺设、农场灌溉管道的铺设、交通流量路线布置等研究和参考。9、参考文献[1]姜启源，数学模型（第三版），北京：高等教育出版社，2003.[2]赵静，数学建模与数学实验（第三版），北京：高等教育出版社，2008.主要参考页码:77页[3]张勇，徐茂良等，数学实验，湖南长沙：湖南教育出版社.2009年7月。主要参考页码：33页32页[4]百度百科，费马点，/view/184329.htm?fr=ala0_1_1，2010.9.10.第二章MATLAB入门MATLAB是由美国Mathworks公司推出的一个科技应用软件，其名由matrix(矩阵)和laboratory（实验室）的前三个字母拼成。作为一种广泛应用于工程计算及数值分析领域的新型高级语言，它用非常方便的环境把科学计算、结果可视化和编程集中起来，因而功能强大、简单易学，编程效率高，深受广大科技工作者和数学建模者的欢迎。.2.1.变量与函数2.1.1.变量MATLAB中变量的命名规则是：（1）变量名必须是不含空格的单个词；（2）变量名区分大小写；（3）变量名最多不超过19个字符；（4）变量名必须以字母开头，之后可以是任意字母、数字或下划线，变量名中不允许使用标点符号.特殊变量 取值ans 用于结果的缺省变量名pi 圆周率的近似值eps 数学中无穷小的近似值flops 浮点运算数inf 无穷大，如1/0=inf(infinity)NaN 不定量，如0/0=NaN(NotaNumber)i，j 虚数单位nargin 所用函数的输入变量数目nargout 所用函数的输出变量数目realmin 最小可用正实数realmax 最大可用正实数2.22.2.数学运算符号及标点符号2.3M-文件MATLAB的内部函数是有限的，有时为了研究某一个函数的各种性态，需要为MATLAB定义新函数，为此必须编写函数文件.函数文件是文件名后缀为M的文件，这类文件的第一行必须是一特殊字符function开始，格式为：function因变量名=函数名（自变量名）函数值的获得必须通过具体的运算实现，并赋给因变量.M文件建立方法：(1).在MATLAB中，点:File→New→M-file(2).在编辑窗口中输入程序内容(3).点File→Save，存盘，M文件名必须与函数名一致.2.4矩阵及其运算(1)数组的输入

简单数组的创建方法：命令用途

x=[1234]创建指定元素的行向量

x=first:last创建从开始，加1计数，到结束的行向量x=first:increment:last创建first开始，加increment计数，last结束的行向量x=linspace(first,last,n)创建first开始，到last结束，n个元素的行向量x=logspace(first,last,n)创建开始，到结束，n个元素的对数分隔行向量

数组与数组的运算维数相同的数组才能进行运算。加、减、乘、除、幂运算可按元素对元素方式进行。数组与数组的运算设a=[a1a2…an],b=[b1b2…bn],则a+b=[a1+b1a2+b2…an+bn];a.*b=[a1*b1a2*b2…an*bn];a./b=[a1/b1a2/b2…an/bn];

a.\b=[a1.\b1a2.\b2…an.\bn];

a.^b=[a1^b1a2^b2…an^bn];

corrcoef(a,b),两序列a,b的相关系数;

,计算矩阵X中的每一行向量与矩阵Y中每个列向量之间的欧氏距离；

,计算矩阵X中的每一行向量与矩阵Y中每个列向量之间的绝对距离。(2).矩阵的输入

（2.1）直接输入法从键盘直接输入矩阵的元素。例如A=[123;456;789],回车就可以了。（2.2）外部文件输入法可以利用任意的文本编辑器编辑所要使用的矩阵，利用MATLAB的load函数调用数据文件，调用方法为：load+文件名。例如，先在记事本中建立文件：data1.txt123456789在MATLAB命令窗口输入

loaddata1.txt

data1

data1=123456789Load函数会从文件名所指定的文件中读取数据，并将数据赋给以文件名命名的变量。(3).特殊矩阵的建立生成特殊矩阵的命令函数a=[]生成空矩阵a=zeros(m,n)生成m行n列的零矩阵a=ones(m,n)生成m行n列全为1的矩阵a=eye(m,n)生成m行n列的单位矩阵rand(m)生成m阶均匀分布的随机矩阵randn(m)生成m阶正态分布的随机矩阵(4).矩阵中元素或块的操作矩阵中元素或块的常用操作表达式或命令函数功能A(k,:)提取矩阵A的第k行A(:,k)提取矩阵A的第k列A(:)依次提取矩阵A的每一列，将矩阵A拉伸为一个列向量A(i1:i2,j1:j2) 提取矩阵A的第i1行~i2行、第j1列~j2列，构成新矩阵A([abcd],:) 提取矩阵A指定的第abcd行，构成新矩阵A(:,[abcd]) 提取矩阵A指定的第abcd列，构成新矩阵A(i1:i2,:)=[] 删除A的第i1~i2行，构成新矩阵A(:,j1;j2)=[] 删除A的第j1~j2列，构成新矩阵[AB] 将矩阵A和B拼成新矩阵A’矩阵A的转置.矩阵的基本运算矩阵的函数运算命令det(A)求矩阵A的行列式inv(A)求矩阵A的逆矩阵eig(A)求矩阵A的特征值与特征向量rref(A)求矩阵A的阶梯形的最简形式rank(A)求矩阵A的秩find(A==a)求矩阵A中元素a的位置

例symsAA=[123;456;789]A=123456789>>find(A==6)ans=8

说明用命令rank(A)可以求出矩阵A的秩，命令rref(A)把矩阵A化作行阶梯型最简形，也可以求出矩阵的秩，进而可以求出向量组的极大线性无关向量组：以给定的向量组为列,做一个矩阵,用命令rref(A)将A化成行阶梯型最简形式，其中单位向量对应的列向量即为最大线性无关组所含向量，其它列向量的坐标即为其对应向量用最大线性无关组线性表示的系数．例2.１设，求的秩．输入：A=[1,0,2,1,0;7,1,14,7,1;0,5,1,4,6;2,1,1,-10,-2];rank（A）输出为：ans=3或输入：A=[1,0,2,1,0;7,1,14,7,1;0,5,1,4,6;2,1,1,-10,-2];rref(A)输出：ans=1.000000.0000-7.0000-201.0000001001.00004100000因此的秩为3.注:矩阵的秩等于它的行向量组的秩，也等于它的列向量组的秩，因此，可以用rref求向量组的秩.例2.2求向量的秩.输入:A=[1,2,-1,1;0,-4,5,-2;2,0,3,0];rref(A)输出为:ans=1.000001.5000001.0000-1.25000.50000000矩阵的秩为2,所以它的行向量组的秩也是2.例2.3向量组是否线性相关?注:向量组线性无关的充要条件是:它的秩等于其中向量的个数.输入:A=[1,1,2,3;1,-1,1,1;1,3,4,5;3,1,5,7];rref(A)ans=1002010100100000向量组的秩等于3,而它含有4个向量,所以该向量组线性相关.例2.4求向量的一个最大无关组,并将其余向量用极大无关组线性表示..输入:A=[1,-2,-1,0,2;-2,4,2,6,-6;2,-1,0,2,3;3,3,3,3,4];B=rref(a)输出:B=101/3016/3012/30-1/90001-1/300900因此,是列向量组的一个最大无关组.且有,.例2.5设,验证是R3的一个基，并把用这个基线性表示.输入:a=[2,2,-1;2,-1,2;-1,2,2];b=[1,4;0,3;-4,2];c=rref([a,b])输出为:c=1002/34/3010-2/31001-12/3可见的秩为3，因此线性无关，是R3的一个基，而且，.（6）符号变量和符号运算函数符号运算函数factor(f)因式分解，也可用于正整数的分解expand(f)展开函数collect合并同类项，按指定变量的次数合并系数simplify化简函数vpa((S,d)求符号表达式S在精度digits(d)下的数值解floor(x)地板函数，舍去正小数至最近整数ceil(x)天花板函数，加入正小数至最近整数rem(x,y)求x除以y的余数

gcd(x,y)整数x和y的最大公约数

lcm(x,y)整数x和y的最小公倍数factorial(x)正整数x的阶乘

sort(x)将数组x递增排序sort(x,'descend')将数组x递减排序rat(x)将实数x化为连分数表示

2.5MATLAB绘图MATLAB具有多种图形特性，既可以在图形窗口中由菜单和工具栏的按钮处理图形，也可以在CommandWindow中使用命令来定制，这里主要介绍命令函数。（1）.plot绘图MATLAB有很强的绘图功能，我们先介绍最简单的二维绘图指令plot。Plot指令用来画变量x对函数y的二维图，例如要画出y=sin(x),0<x<2π。symsxy

x=0:0.1:2*pi;y=sin(x);plot(x,y).plot可以在一个图上画数条曲线，且可以用不同的符号和颜色来标示曲线。格式1：plot(x,y,s)（x,y是同维向量）格式2：plot(x,，，x,,，……x,,)我们作如下说明：（1）格式1是以x,y的对应元素为坐标绘制二维曲线。s的常用内容为：‘y’黄色；‘r’红色；‘g’绿色；‘b’蓝色；‘.’点；‘-’连线；‘+’加号；'--'长虚线；‘o’圈。格式2是在一张图上画数条曲线。（2）二维图及三维图都可使用指令grid加上格线。使用gridoff去掉格线。MATLAB会将绘图在另一个视窗展示出来。（称为MATLABFigureWindows）。例如：symsxyzx=-2*pi:0.1:2*pi;y=sin(x);z=cos(x);plot(x,y,'r',x,z,'b')图1.7又如，画分段函数的图像。

x1=-2:0.1:0;y1=x1.^2;x2=0:0.1:2;y2=x2+1;plot(x1,y1,x2,y2)

图2.1又如，

x=-10:0.01:10;y=x.^2.*(x>0)+sin(x).*(x<=0);plot(x,y)（2）.ezplot作图格式：ezplot(‘f(x)’,[a,b])描绘出a<x<b函数f(x)的图形；格式：ezplot(‘f(x,y)’,[a,b,c,d]):描绘出a<x<b和c<y<d隐函数f(x,y)=0的函数图。格式：ezplot(‘x(t)’,’y(t)’,[t1,t2]):描绘出在区间[t1,t2]上参数方程x=x(t),y=y(t)表示的函数图形。例2.6在[0,pi]上画y=sin(x)的图形。解输入命令ezplot(‘sin(x)’,[0,pi])例2.7在[0,2*pi]上画，星形图。解输入命令ezplot('cos(t).^3','sin(t).^3',[0,2*pi])

图2.2

例2.8在[-2，0.5]，[0，2]上画隐函数的图。解输入命令ezplot('exp(x)+cos(x*y)',[-2,0.5,0,2])例2.9在[-1，2]上画的图形symsxyy=exp(3*x)+sin(2*x.^2);ezplot(y,[-1,2])

例2.10ezplot('x.^2.*(x>0)+sin(x).*(x<=0)')

图2.3

（3）.fplot作图格式：fplot(‘fun’,lims)表示绘制字符串fun指定的函数在lims=[xmin,xmax]的图形.fun必须是M文件的函数名或是独立变量为x的字符串.绘图命令用起来很方便，命令中的画图区间与手写表示的区间是一致的。虽不能画参数方程和隐函数图形，但可以把多个图形画在一个图上。

例2.11fplot('[sin(x),cos(x),x^2]',2*[-1,1])图2.4（4）.三维曲线图MATLAB三维曲线作图的指令结构为：plot3(x,y,z,s)x,y,z是n维向量，分别表示曲线上点集的横坐标、纵坐标、竖坐标，按照空间曲线的参数方程确定曲线点集来作图的。例2.12t=0:pi/50:10*pi;plot3(sin(t),cos(t),t)

图2.5（5）.三维网格图命令调用格式：ezmesh(z),用于绘制函数在默认平面区域内的网格图。

命令调用格式：ezmesh(z,[a,b,c,d]),用于绘制函数在平面区域内的网格图。例2.13作出函数（）的三维网格图形。

symsxytzt=(x^2+y^2)^(1/2);z=sin(t)/t;ezmesh(z,[-8,8,-8,8])

图2.62.6MATLAB编程（1）for-end循环语句的格式：for循环变量=初值：步长：终值循环体语句end

例2.14对n=1到10，分别求sin(n*pi/10).

matlab程序如下：在命令窗口输入如下命令forn=1:10x(n)=sin(n*pi/10);endxx=0.30900.58780.80900.95111.00000.95110.80900.58780.30900.0000例2.15x=zeros(1,6);%x是一个1行6列的零矩阵

fori=1:6,

x(i)=1/i;

end

formatrat%使用分数来表示数值

disp(x)

11/21/31/41/51/6

例2.16求1~100的整数的和。在命令窗口输入如下命令sum=0;fori=1:100sum=sum+i;endsumsum=5050

注意：循环可以是多层的，循环的嵌套调用格式：

for循环变量1=初值1：步长1：终值1

for循环变量2=初值2：步长2：终值2

循环体语句

end

end例2.17构造一个5行5列的Hilbert矩阵h,其中第i行第j列元素为1/(i+j-1).

matlab程序如下：在命令窗口输入如下命令symshijh=zeros(5);fori=1:5,forj=1:5,h(i,j)=1/(i+j-1);endendformatratdisp(h)11/21/31/41/51/21/31/41/51/61/31/41/51/61/71/41/51/61/71/81/51/61/71/81/9（2）while循环语句（条件循环方式），一般格式为

while表达式

循环体语句

endwhile循环语句一般用于事先不知道循环次数的情况。

例2.18设银行年利率为11%，将10000元存入银行，多长时间连本带利翻一番？程序如下：

money=10000;years=0;whilemoney<20000years=years+1;money=money*1.11;endyearsmoneyyears=7money=103808/5

以上是这种循环单分支的情形，以下还有双分支、多分支的情形。

双分支if-else-end语句调用格式

if表达式

语句体1

else

语句体2

end

多分支if语句调用格式：

if表达式1

语句体1；

elseif表达式2

语句体2；

else

语句体3

end例2.19已知函数f(x)=,求f(-1),f(0.5),f(1.5),画出此函数的图像。解symsxyy=[];forx=-1:0.1:2ifx>=-1&x<0y=[y,x+1];ifx==-1f1=x+1endelseifx>=0&x<1y=[y,1];ifx==0.5f2=1endelsey=[y,x^2];ifx==1.5f3=x^2endendEndx=-1:0.1:2;f1=0f2=1f3=2.2500>>plot(x,y)

图2.7例2.20设求。

解在M-文件里functionf=fun2(x)ifx>1f=x^2+2elseifx<=0f=x^3elsef=3*xendend在命令窗口：

fun2(1.5)

fun2(1.5)f=4.2500

fun2(0.5)f=1.5000

fun2(-2)f=-8例2.21计算。解clearsymssns=0;n=1;whilen<=100s=s+1/n/n;n=n+1;endss=1.6350实验2[实验2.1]计算下列各式的值：（写出格式及执行结果）（1）；（2）；（3）；（4）8！；（5）x=[4,5,6,7,3,2]，求它的升序排列与降序排列;[实验2.2]，计算：；[实验2.3]在计算机上练习以下算式的输入：；.[实验2.4]在一幅图上画出一个周期的正弦曲线和余弦曲线，正弦曲线用蓝色，余弦曲线用红色．[实验2.5]画出函数在上的图像。

实验2.6]绘出函数在上的图象。

[实验2.7]画出函数在[-1,2]上的图象.

[实验2.8]画出函数在上的网格图。[实验2.9]已知矩阵，求它的行列式、秩、逆矩阵。将此矩阵化为阶梯形最简形式。求此矩阵的1行、2行，2列、3列的元素排成的矩阵。取出此矩阵的第3行。取出此矩阵的第2列。删除此矩阵的第1列。

[实验2.10]编程求[实验2.11]设编程求。第三章初等模型大量的实际问题可以用初等模型的方法去解决，全国大学生数学建模竞赛（乙组）的不少赛题也可用初等模型求解，例如,1999年的“煤矸石堆放”、“钻井布局”，2000年的“空洞探测”，2001年的“基金使用计划”，2007年的“手机套餐”，2008年的“NBA赛程编排”，2009年的“卫星地面监测”等等。

例3.1有两个乡镇要在河边合建一个自来水厂请设计水厂的位置及铺设水管的方法，使水管总长度最短（单位：千米）。（本例题可以看成2010年“油管铺设”模型的雏形）。

一.模型准备

（建模的问题来自科学的各个领域，从各行各业中抽象出来。建模竞赛题摆在我们面前，绝大多数题目的背景我们并不清楚。三名队员要通过查阅资料，认真学习，进一步讨论分析，才能逐步把问题搞清楚。磨刀不误砍柴功。熟悉背景是建模的最重要的环节之一，准备越充分，建模越准确快捷。）

在纸上画出乡镇及河流示意图，发觉水管的铺设布局有”V”型与”Y”两种。第一种可以用常用的轴反射来解决；第二种则是在一个三角形中如何去找费尔马点的问题。二．模型假设（现实问题是复杂鲜活的，如何去粗取精、去伪成真，抓住事物的最本质的特征，去解决问题，把问题分析清楚后，合理的假设非常重要。因此，要对问题作适当的简化。既要贴近实际问题又要贴近数学方法。模型假设是极具挑战性的。）

2.1、乡镇A到河边的距离小于等于乡镇B到河边的距离.2.2、水厂C建在河上.2.3、共用的单位长度的管道铺设费用n大于或等于非共用的单位长度的管道铺设费用m.2.4、乡镇B、水厂C、管道节点P均在第一象限，乡镇A点在y轴正半轴上,河道在x轴上.2.5、河道在A、B两厂附近为直线.2.6、乡镇A、B，水厂C，管道节点P，它们之间的所有管道均是直线。2.7、乡镇A、B，水厂C，管道节点P，以及点共面。

图3.1

此图中，坐标，=4,C(2,0),B(5,6).（单位:千米）若用“V”型法,作B点关于轴的对称点B’(5,-6),则直线AB’的方程10x+5y-20=0,水厂设在C(2,0)点上。可以立即算出水管总长度为5千米。

CC图6.1若添加费尔马点，将水管铺为“Y”型，易证角=。立即可得：

symsAA=[1(3)^(1/2)4*(3)^(1/2);1-(3)^(1/2)5-6*(3)^(1/2)]A=1.00001.73216.92821.0000-1.7321-5.3923>>rref(A)ans=1.000000.767901.00003.5566即x=0.7679,y=3.5566.

由勾股定理，立即可以算出水管总长度为4.2553+4.8868+3.5566=12.6987。symsAA=[1(3)^(1/2)4*(3)^(1/2);1-(3)^(1/2)5-6*(3)^(1/2)]A=1.00001.73216.92821.0000-1.7321-5.3923>>rref(A)ans=1.000000.767901.00003.5566>>sqrt((4-3.5566)^2+(5-0.7679)^2)ans=4.2553>>sqrt((4-3.5566)^2+(0-0.7679)^2)

ans=0.8867;>>sqrt((5-0.7679)^2+(6-3.5566)^2)ans=4.8868>>4.2553+4.8868+3.556612.6987>>5*5^(1/2)ans=11.1803

例3.2手机资费模型2007年1月以来，上海移动公司推出“全球通68套餐”方案，见下表：

每月基本费（元）包含本地通话分钟数（分钟）超出后每分钟通话费

主叫通话超出后每分钟通话费

被叫通话683600.1801288000.16018812000.130表3.1试给出他的资费计算方法。

一.模型假设1.假设上海移动公司推出“全球通68套餐”方案共有3种方案，如表所示。

2.资费按月计算，不累加到下月。

3.不考虑长途话费和短信支出。

二.变量说明

1.：每月所打电话的时间；2.：每月拨打本地电话的时间；

分别代表在不考虑IP长途资费的情况下全球通“68套餐”月基本费为68，128，188元的的费用（）；三．模型的建立关于上海移动公司“全球通告68套餐”方案模型：

由下述命令作图如下：

t1=0:0.01:360;y1=68;plot(t1,y1,'r')gridonholdont2=360:0.01:1500;y2=68+0.18.*(t2-360);plot(t2,y2,'r')holdont3=0:0.01:800;y3=128;plot(t3,y3,'g')holdont4=800:0.01:1500;y4=128+0.16.*(t4-800);plot(t4,y4,'g')holdont5=0:0.01:1200;y5=188;plot(t5,y5,'b')holdont6=1200:0.01:1500;y6=188+0.13.*(t6-1200);plot(t6,y6,'b')图3.3注：c---68元月基本费b---128元月基本费a---188元月基本费

通过解交点坐标由图可知，当通话量在区间里时，最小，故这样的上海用户适合使用68元基本费套餐；当通话量在区间里时，最小，故这样的上海用户适合使用128元基本费套餐；当通话量在区间里时，最小，故这样的上海用户适合使用市188元基本费套餐。例3.3卫星与飞船在国民经济和国防建设中起着重要的作用。对它们的发射和运行过程，进行测控是航天系统的一个重要组成部分。测控设备的测控范围只考虑与地平面夹角3度以上的空域。以神舟7号为例，假设所有测控站都与它运行轨道共面的情况下至少应该建立多少个测控站才能对其进行全程跟踪测控？符号说明符号代表含义H表示飞船距地球表面的距离(m) R 表示地球的平均半径（m）η表示一个观测站观测的最大弧度所对的圆心角K表示问题中观测站的个数（结果为小数的取整数）α表示圆心角的平分角β表示观测站的观测角的平分角γ表示β的补角模型假设1.把地球看做一个表面均匀的球体，即观测效果不受地势的影响；2.把卫星距地球表面的距离看做是固定不变的；3.卫星不受其它星体的引力的影响；4.把卫星、观测站都看做质点；5.地球表面的引力是相同的，且固定不变；6.当观测点位于海面时，用船来架设观测器；7.船可以看做质点，而且船移动与卫星的移动相差甚大，可以假设静止；8问题二假设海洋一号运行速度与它的半径不变；9.设地球可以展开成平面图形；10.假设观测站观测的最大区域所对应的圆心角的弧长为观测站在地球展开平面上的投影的直径。模型建立与求解模型建立与求解在所有测控站都与卫星或飞船的运行轨道共面的情况下。可以得出一个关于地球与飞船运行轨迹的平面图，如图1.0：图3.4图3.5为图3.4的剖析图。图3.5根据圆心角占一圆的角度的比例来求出测控站的站数，即：由图3.5可知,在三角形OAC中，利用正弦定理：

，由于（根据题意，每个测控站的测控范围与地平面夹角3°以上的空域才能测出好的效果，所以取maxβ为87°，补角是），可算出，圆心角的一半，圆心角，，

由于观测站是整数，所以至少要建立12个观测站才能对卫星或飞船进行全程跟踪测控。例3.4天气预报方法的评价问题。

以下是某地一个月4种预报方法的有雨概率预报，和实际上有雨无雨的观察结果，见表。如何根据这些数据评价4种预测方法呢？表（31天）4种预报方法的有雨概率预报与实际观测结果日期预报A/%预报B/%预报C/%预报D/%实测（有雨=1，无雨=0）19030906012403050801360308070146030907015603002006303010501780301040087030203009803040300106030604001180302080112403030400139030904011450306020015103020100166030508011720301030018030050019903060400207030100021203003002240302030023403010100248030504002530300200263030103002730302000280306040129603002003020301010031803050100计数法模型将每种预报统计表中两个对角数字之和（预报正确），除以总预报天数（表中全部数字之和），得到4种预报方法的正确率依次为：0.57,0.71,0.81,0.93.用这种模型来评价4种预报方法的正确率其实是不准确的。例如方法B都预测无雨，并未进行科学预报。它有71%的预报正确率是不可信的。从实际出发，使用预报的人更关心预报无雨条件下，实测有雨的概率，以及预报有雨条件下，实实测无雨的概率。前者可能造成预防不足而受灾；后者可能造成预防费用的浪费。这两个条件概率，可以用图中的数字来估计。例如对预报A，预报无雨却有雨的概率是3/(3+11).设两种后果的损失比为2:1，则可计算预报A的误报率为（2/3）.(3/14)+(1/3).(10/16)=0.35，预报C,D的误报率分别为0.20,0.06.从误报率来看，D最好，C次之.

计数模型没有考虑预报有雨的概率值。比如，对于预报0.9与0.6，结果是一样的。

计分方法模型在实测有雨的情形，预报有雨概率大于0.5的得到相应的正分，预报有雨概率小于0.5的得到相应的负分。

设第k天某种预报有雨概率为，第k天实测有雨为=1，无雨为=0，

令第天的某种预报得分为

将对k求和得到某种预报在模型下的的分数。据此得到预报A,B,C,D的分数分别为

1.0,2.6,7.0,6.7.预报C最好，D次之.

>>symsx1x2y1y2x1=[0.90.50.80.90.10.20.90.50.6]x2=[00.10.20.40.60.30.60.20.100.60.100.20.10.500.10.200.10.5]y1=[0.50.50.50.50.50.50.50.50.5]y2=[0.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.5]x1-y1x1=Columns1through60.90000.50000.80000.90000.10000.2000Columns7through90.90000.50000.6000x2=Columns1through600.10000.20000.40000.60000.3000Columns7through120.60000.20000.100000.60000.1000Columns13through1800.20000.10000.500000.1000Columns19through220.200000.10000.5000y1=Columns1through60.50000.50000.50000.50000.50000.5000Columns7through90.50000.50000.5000y2=Columns1through60.50000.50000.50000.50000.50000.5000Columns7through120.50000.50000.50000.50000.50000.5000Columns13through180.50000.50000.50000.50000.50000.5000Columns19through220.50000.50000.50000.5000ans=Columns1through60.400000.30000.4000-0.4000-0.3000Columns7through90.400000.1000>>y2-x2ans=Columns1through60.50000.40000.30000.1000-0.10000.2000Columns7through12-0.10000.30000.40000.5000-0.10000.4000Columns13through180.50000.30000.400000.50000.4000Columns19through220.30000.50000.40000sum(x1-x1)+sum(y2-y1)ans=7.0D>>symsx1x2y1y2x1=[0.60.80.70.70.50.80.40.80.4]x2=[0.50.50.50.50.50.50.50.50.5]y1=[0.20.40.30.30.40.40.20.10.30.50.400.30.30.10.40.20.300.20.10.1]y2=[0.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.5]x1-x2x1=Columns1through60.60000.80000.70000.70000.50000.8000Columns7through90.40000.80000.4000x2=Columns1through60.50000.50000.50000.50000.50000.5000Columns7through90.50000.50000.5000y1=Columns1through60.20000.40000.30000.30000.40000.4000Columns7through120.20000.10000.30000.50000.40000Columns13through180.30000.30000.10000.40000.20000.3000Columns19through2200.20000.10000.1000y2=Columns1through60.50000.50000.50000.50000.50000.5000Columns7through120.50000.50000.50000.50000.50000.5000Columns13through180.50000.50000.50000.50000.50000.5000Columns19through220.50000.50000.50000.5000ans=Columns1through60.10000.30000.20000.200000.3000Columns7through9-0.10000.3000-0.1000>>y2-y1ans=Columns1through60.30000.10000.20000.20000.10000.1000Columns7through120.30000.40000.200000.10000.5000Columns13through180.20000.20000.40000.10000.30000.2000Columns19through220.50000.30000.40000.4000>>sum(x1-x2)+sum(y2-y1)ans=6.7000实验3

【实验3.1】【理财模型】刘先生最近以2百万的价格卖掉自己的两套住房，有人向他建议，将这2百万用来投资，并将投资赚来的钱用来支付各种保险，生活开支等。经过再三考虑，刘先生决定用这2百万去购买公司债券和存银行。已知公司债券的年回报率是5%，银行的存款年利率是3%.假设刘先生购买了万元的公司债券，试建立他的年收入的数学模型。（2）若刘先生希望获得6.5万元的年收入，问：他至少要购买多少钱的公司债券？若刘先生希望获得6.5万元的年收入，问：他至少要购买多少钱的公司债券？

【实验3.2】【作业排布模型】设某学生有6项作业要完成，如下表所示，第一行列出课程名称，第二行是各项作业完成的限期（从现在算起，以天为单位），第三行是完成各项作业所需的时间（以天为单位），试安排这些作业，使得能按期完成的项目最多。作业排布表课程数学经济学物理化学英语文学限期31019243648需时21215101518【实验3.3】大型的塑像通常都有一个比人还高的底座，看起来雄伟壮观。但当观看者与塑像的水平距离不同时，观看像身的视角就不一样。那么，在离塑像的水平距离为多远时,观看像身的视角最大?【实验3.4】(有关交通的数学模型)某市某中学的学生到以天桥下的十字路口，希望通过对十字路口红绿灯开设时间及车流量的调查，来研究一下有关交通的数学模型．学生分组观察的到的数据取平均后得到如下一组数：东西方向绿灯即南北方向红灯的时间为49秒；南北方向绿灯即东西方向红灯的时间是39秒，所以红路灯变换的时间是88秒．在红路灯变换的一个周期内相应的车流量：东西方向平均为30量，南北方向平均为24量．那么，在红绿灯变换的一个周期时间T内，从东西方向到达十字路口的车辆数为H，从南北方向到达十字路口的车辆数为V，问如何确定十字路口某个方向红灯与绿灯点亮的时间更合理？

A1C1A2A3A4A5D1D2C2D3C3B1B2B3B4B5【实验3.5】山体、隧洞、坝体等的某些内部结构可用弹性波测量来确定，如图是一个简化模型。一个均匀介质构成的160米×160米的矩形平板内有一些充满空气的空洞。在A1、A2、A3、A4、A5处各设置一个波源，分别在B1、B2、B3、B4、B5各设置一个接收器；分别在C1、C2、C3处各设置一个波源，在D1、D2、D3处各设置一个接收器。

现已测得弹性波穿越直线A2B1、A5B4、C1D2、A1D1均用0.0573秒，穿越A1B5用时0.0786秒。穿越A3B2用时0.2863秒；穿越A4B3用时0.1717秒。

已知弹性波在介质和空气中的传播速度分别为2880米/秒和320米/秒。

求空洞的位置。(提示：可以假设每个小正方形内要么是空洞，要么是介质)第四章微积分模型

在生产和工作中，常常需要在可供选择的诸多策略中，选出最佳策略，以实现“收入最多”、“产量最大”、“利润最丰”、“用料最省”等目的。其中不少可以归结到微积分的“求最值”问题来解决。【例4-1】均流池模型社区污水净化前，通常需要集中储存在一个大池子里。这是因为社区污水的流量是时刻变化的，集中储存会起到均衡调节流量的作用，使进入净化设备的污水保持恒定的流量。所以这个大池子可以称为均流池。

现在讨论如何根据社区污水流量，按照施工成本最小的原则来确定均流池的具体尺寸。

一、模型准备

经调查，社区一天以小时为单位间隔的生活污水流量（单位：），如表1所示。

将上表中的流量乘以3600s/h,流量单位转换成。得下表：模型假设以表中社区一天的生活污水流量为依据，再留有25%裕量设计。均流池深度确定为3m,两条长边和一条短边的施工成本为250元/m.,另一短边的施工成本为340元/m..均流池最小容量设为0，初值为876.15.得下表：symscfgtx

x=[150.12115.5684.9666.6068.0471.6482.08132.84185.04226.80246.60250.92261.00271.44273.96279.00291.60302.04310.68290.52281.16248.40210.24186.84];

c(1)=876.15;

fort=1:24;

c(t+1)=c(t)+