第04讲 基本不等式（含解析）-【提高班精讲课】2021-2022学年高一数学重点专题18讲（沪教版2020必修第一册上海专用）

第4讲基本不等式第4讲基本不等式知识梳理与应用主要考察一：三角不等式的应用对任意实数、有，当且仅当时等号成立.基础：应用三角不等式求最值【例1】（2020·上海高三专题练习）★★☆☆☆对于实数，，若，，则的最大值为().A．5 B．4 C．8 D．7【答案】A【解析】由题意得,|x-2y+1|=|(x-1)-2(y-1)|≤|x-1|+|2(y-2)+2|≤1+2|y-2|+2≤5,即|x-2y+1|的最大值为5.进阶：应用三角不等式解决不等式恒成立（或有解）问题【例2】（2020·上海市南洋模范中学高一月考）★★★☆☆为实数，且有解，则的取值范围是().A． B． C． D．【答案】C【详解】有解，只需大于的最小值，，所以，有解．故选C．【例3】（2020·上海市新场中学高一期中）★★★☆☆对，若恒成立，则的取值范围是_______________.【答案】【详解】因为恒成立，所以，因为，所以.故答案为：【练习】1、（2021·上海杨浦区高一期末）★★☆☆☆函数的最小值等于__________．【答案】4【详解】因为,当时，取等号，所以的最小值为4故答案为：4【练习】2、（2018·上海市七宝中学高一月考）★★★☆☆已知关于的不等式有解，则实数的取值范围是________.【答案】【详解】因为，又关于的不等式有解，所以故答案为【练习】3、（2021·上海中学高一）★★★☆☆不等式对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围.【答案】或【详解】因为，当且仅当时取等号，即当时取等号，所以最小值是，要想不等式对一切实数x恒成立，只需，解得或.

主要考察二：应用平均值不等式求最值平均值不等式：对于任意的正数，有，且等号当且仅当时成立.常用不等式：对于任意，有，当且仅当时等号成立.基础：直接型【例4】（2021·上海市川沙中学高一期末）★☆☆☆☆已知，则的最小值为_______________.【答案】2【详解】，，当且仅当时，取“”，以的最小值为2，进阶1：凑配型【例5】（2017·上海市宝山中学高一期中）★★☆☆☆已知，则的最小值是_________.【答案】5.【详解】因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，故答案为：.【例6】（2020·上海市洋泾中学高一期中）★★★☆☆当时，的最小值为______.【答案】【详解】当时，，当且仅当时等号成立.进阶2：“1的妙用”【例7】（2021·上海长宁区高一期末）★★★☆☆设a、b都为正数，且，则的最小值为________.【答案】1【详解】因为a、b都为正数，所以有：，当且仅当时取等号，即时取等号，故答案为：.【例8】（2021·上海市奉贤高三二模）★★★★☆已知，且.式子的最小值是___________.【答案】2【详解】令，，则，且，∴，∴，当且仅当取等号，即时成立.故答案为：2【例9】（2020·上海高一专题练习）★★★☆☆非零实数、、满足，则的最小值是________.【答案】9【详解】依题意，且，.当且仅当时等号成立.故答案为：【例10】（2018·上海格致中学高一期中）★★★☆☆已知正数、满足：，则的最小值为____________.【答案】【详解】由可得,,当且仅当时，等号成立,所以的最小值为.故答案为:【练习】（2021·辽宁沈阳市·高三一模）★★★☆☆已知，则的最小值为__________．【答案】16【详解】因为，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为16.进阶3：和积共存等式，求最值【例11】（2020·华东师范大学第一附属中学高一期中）★★★☆☆已知正数x，y满足，则的取值范围为____________.【答案】【详解】化简得：因为：，由均值不等式得：，令，则．化简得解得或（舍去），所以的取值范围为.故答案为：.【例12】（2017·上海市进才中学高一期中）★★★☆☆若a，，，则的最大值为______.【答案】18.【详解】因为a，，所以，而，所以有，于是有，所以的最大值为18.【练习】（2019·上海中学高三开学考试）★★★☆☆已知正实数，满足，则的最小值为_____.【答案】【详解】试题分析：因为为正实数,且，设，则代入已知式得，整理得，关于的方程有解，所以，解之得：或，又因为，所以，即的最小值为．考点：方程与不等式．*平均值不等式的拓展1、三元算术-几何平均值不等式对于任意的正数，有，且等号当且仅当时成立.【例13】（编者精选）★★★★★设，求证：.【详解】【练习】（编者精选）★★★☆☆设，且，则的最小值是__________.【答案】3【详解】，当且仅当时等号成立.2、平均值不等式平均值不等式：对于任意的正数，有，且等号当且仅当时成立.其中，分别叫做这两个数的平方平均值和调和平均值.【例14】（编者精选）★★★☆☆设，已知，则的最小值为__________.【答案】32【详解】即，所以由得，当且仅当时等号成立.1、（2020·上海曹杨二中高一月考）★★★☆☆若满足，则的最小值是___________.【答案】【详解】由满足，可得，则，当且仅当时，即时等