解析几何 01 面积问题 突破专项训练-2022届高三数学解答题

临澧一中2022届高三数学解答题突破专项训练解析几何01（面积问题）1．设椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过原点的动直线与椭圆交于，两点，其中点在第一象限，且．（1）求椭圆的方程；（2）过的直线交于，两点，求面积的最大值．2．若椭圆的焦距为，其短轴的两个端点与右焦点的连线构成正三角形．（1）求椭圆的标准方程；（2）设过点的动直线与椭圆相交于，两点，当的面积最大时，求的方程．3．在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，过椭圆右焦点作两条互相垂直的弦与．当直线斜率为0时，．（1）求椭圆的方程；（2）求四边形面积的最小值．4．设是椭圆C：()的左、右焦点，离心率为；过点的直线

交椭圆于两点，且的周长为．（1）求椭圆C的方程；（2）若线段中点的横坐标为，求直线

的斜率的值及的面积．5．已知抛物线，过点的直线交抛物线于，，且为坐标原点）．（1）求抛物线的方程；（2）过作与直线垂直的直线交抛物线于、，求四边形面积的最小值．6．已知抛物线和椭圆，过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，线段的中垂线交椭圆于，两点．（1）若恰是椭圆的焦点，求的值；（2）若恰好被平分，求面积的最大值．7．已知椭圆上的点到焦点的最大距离为3，最小距离为1．（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆右焦点，作直线与椭圆交于，两点，不为长轴顶点），过点，分别作直线的垂线，垂足依次为，，且直线，相交于点．①证明：为定点；②求面积的最大值．8．已知动点到点与到直线的距离相等．（1）求点的轨迹的方程；（2）设，在曲线上，过作两条互相垂直的直线分别交曲线异于的两点，，且，记直线的斜率为．（ⅰ）试用的代数式表示；（ⅱ）求面积的最小值．9．已知椭圆，直线与圆相切，且与圆截得的弦长为．（1）求椭圆的方程；（2）直线过椭圆右焦点，与椭圆交于，两点，设椭圆的右顶点为，设的面积和面积比为，试求的取值范围；10．已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于，两点，且．（1）求抛物线的方程；（2）过焦点的直线与抛物线交于，两点，若点在抛物线的准线上，且，的面积为，求直线的方程．11．已知直线过椭圆的右焦点，且交椭圆于，两点，线段的中点是．（1）求椭圆的方程；（2）过原点的直线与线段相交（不含端点）且交椭圆于，两点，求四边形面积的最大值．12．已知椭圆上一点到两焦点的距离之和为，且其离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，已知，是椭圆上的两点，且满足，求面积的最大值．参考答案1．（1）根据对称性知，与互相平分，则四边形为平行四边形，则，又，结合椭圆定义知，，故，由离心率，故，椭圆方程为．（2）设，，，，的直线方程为，联立椭圆与直线方程，化简得，则，则的面积为：令，，则上式，函数在时，单调递增，则上式在，即时取得最大值，且最大值为．2．（1）由题意知：，，，椭圆方程为：．（2）当时，不符合题意，由题意可设直线的方程为：，设，，，，，整理得：，当△时，即，由韦达定理可知：，，则的面积令，则，即有，当且仅当，即有时，取得最大值，最大值为1，直线的方程为或．3．（1）由题意知，，则，因为，所以，则，，所以椭圆的方程为．（2）①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，由题意知；②当两弦斜率均存在且不为0时，设，，，，且设直线的方程为，则直线的方程为．将直线的方程代入椭圆方程中，并整理得，所以，所以同理，．所以，因为当且仅当时取等号，所以．综上可得四边形面积的最小值．4．（1）由题意：，又解得：，，∴椭圆方程为．（2）由题意：的斜率存在且不为．又，∴设：，，．则由∴∵AB中点的横坐标为，∴，．此时，又到的距离∴5．（1）设直线为，，，，，联立方程，消去得：，，，，由得：，，解得，抛物线的方程为．（2）由（1）得，，，，，，令，则，故当时，四边形面积有最小值．6．（1）在椭圆中，，所以，由，得．（2）设直线，代入抛物线方程得．设的中点，，则，，由得，解得，由点在椭圆内，得，解得，因为，所以的最大值是2，面积，所以，当时，面积的最大值是．7．（1）设椭圆的半焦距为，由题意可得，解得，，则，故椭圆的标准方程为；（2）①证明：由（1）可知，，当直线斜率不存在时，直线的方程为，所以，解得，所以直线，相交于点；当直线的斜率存在且不为零时，设，，，，则，，设直线的方程为，联立方程，可得，化简可得，所以，又直线，直线：，当直线与相交时，联立作差可得，，解得且，将代入，化简可得，即直线与相交于点．综上所述，为定点．②当直线的斜率不存在时，可知；当直线斜率存在且不为零时，由①可得，．综上所述，面积的最大值为．8．（1）因为动点到点与到直线的距离相等，所以可得的轨迹为抛物线，且焦点在轴上，，所以，所以点的轨迹的方程为：；（2）由（1）可得，设直线的方程为：，，，整理可得：，设，，易知，为该方程的两根，故有，可得，从而得，类似的设直线的方程为：，，可得，（ⅰ）由可得，解得：；（ⅱ）因为，，所以，所以，所以的最小值为16．9．（1）因为直线与圆相切，则，又直线被圆解得的弦长为，则，所以椭圆的方程为．（2）设直线方程为斜率不为，联立得：，△，，，所以，所以，而，因为，所以，则，所以的取值范围是，．10．（1）设，，，，联立，整理可得：，则，，所以弦长，由题意，，整理可得：，解得：，所以抛物线的方程为：；（2）由（1）可得焦点，且抛物线的准线方程为：，由题意可得直线的斜率存在，设直线的方程为：，设，，，，的中点为，，在准线的投影分别为，，联立，整理可得：，所以，，所以的横坐标为，由抛物线的性质，到焦点的距离等于到准线的距离，所以，因为，所以，所以，即为梯形的中位线，所以的坐标为，到直线的距离，所以，由题意可得：，解得：，所以直线的方程为：或．11．（1）直线与轴交于点，所以椭圆右焦点的坐标为，故，因为线段的中点是，设，，，，则，且，又，作差可得，则，得又，，所以，，因此椭圆的方程为．（2）由（1）联立，解得或，不妨令，易知直线的斜率存在，设直线，代入，得，解得或，设，，，，则，则，因为到直线的距离分别是，由于直线与线段（不含端点）相交，所以，即，所以，四边形的面积，令，，则，所以，当，即时，，因此四边形面积的最大值为．12．（1）由椭圆的定义得，，又离心率，，则，椭圆