新教材高中数学基础练12基本不等式含解析新人教A版必修第一册

基本不等式

>基础练一水平一

(30分钟60分)

一、选择题(每小题5分，共30分)

1.下列不等式中，正确的是()

4

A.a+—24B.才+/?224a6

a

C.y[ab2；〃D.六十号22g§

4

【解析】选D.水0,则a+-24不成立，故A错；a=l,6=1,&<4ab,故B错，a=4,

a

6=16,则西〈哈，故C错：由基本不等式可知D项正确.

2.若0Wx<6,则f(x)=yjx(8—x)的最大值为()

164mr

A.-B.4C.~~~D.yj5

oo

________x+(8—x)

【解析】选B.因为0这x<6,所以8—x>0,所以F(x)=3(8—x)---------=4,

当且仅当x=8—%即x=4时，等号成立.故代才)的最大值为4.

3.若/U)=x+U(x>2)在处取得最小值，则〃=()

X—乙

5八7

A.-B.3C.-D.4

【解析】选B.由f(x)—x+—^—z—(x—2)4―+224,当且仅当x—2——^—z>0,即x

x—2x—2x—2

=3时;取得等号.

4.若a>0,b>0,贝ij“a+8W4”是“a6W4”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分又不必要条件

【解析】选A.当a>0,b>0时，a+b^2y[ab,则当a+AW4时有2，^Wa+6W4,解得

abW4,充分性成立.当a=l,6=4时满足a6W4,但此时a+6=5〉4,必要性不成立，综

上所述，“a+6W4”是“abW4”的充分不必要条件.

5.(2021•玉溪高一检测)若实数a,6满足一+T=4几，则助的最小值为()

ab'

A.yj2B.2C.2y/2D.4

2/212

>2/得-

【解析】选C.由J/=:-\益-

6/aA

6.已知x,y为正实数，且灯=4,则x+4y的最小值是（）

A.4B.8C.16D.32

4

【解析】选B.由题意，正实数％y且盯=4,可得旷=一，

则x+4y=x+—22、/xX—=8,当且仅当x=—时，即x=4时等号成立，

x\1xx

所以x+4y的最小值是8.

二、填空题（每小题5分，共10分）

9Q

7.设x>0,则函数夕=/+若百--的最小值为.

【解析】y=x+存9-23=,卜1+?、+-1T-2》

吗

2.一彳—2=0,当且仅当A-+1=一片，即x=T时等号成立.所以函数的

x+2x+2

最小值为0.

答案：0

19

8.若a,8是正实数且a+6=1,则-+~的最小值为

ab

【解析】因为a+Z?=l,所以，+7=（-+y）（a+b）=-+与+322、•与+3=3

ababab\1ab

+2y[2,

a+b=l

当且仅当《2=在，

l=~b

即@=斓-1,b=2-木时，等号成立.

答案：3+2短

三、解答题（每小题10分，共20分）

9.设a,b,c,都是正数，求证上+-7+—2a+6+c.

abc

【证明】因为a,6,c都是正数，所以:，了，丁也都是正数，所以:+了R，了

、ab、〜be、ab、…

+—22a,—十—226,

cac

三式相加得2(?+?+勺22(a+0+c).

即"+半+—2a+6+c,当且仅当a=6=c时取等号.

abc

10.⑴已知x>0,y>0,且2x+3y=6,求灯的最大值.

19

(2)已知x>0,y>0,-+-=1,求x+y的最小值.

【解析】⑴因为x>0,Q0,2x+3y=6,

22

所以(2x・3°〈上•(2八；")=|•(3=|)当且仅当2x=3y,即,y

3

=1时，灯取到最大值鼻.

(2)因为一+-=1,所以x+y=(x+y)•匕+方

xyyj

QFVyQy

=1+—+=+9=-+—+10,又因为x>0,y>0,

yxxy

所以2+—+10^2A/-•—+10=16,

xyxy

yQv

当且仅当乙=—,即尸3x时，等号成立.

xy

'y=3x,,

\x—4,

由V1,9得°

^+尸，〔尸⑵

即当x=4,y=12时，x+y取得最小值16.

用提.升...练.•••一•••••••水•••••••平••••••二•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

（35分钟70分）

一、选择题（每小题5分，共20分）

1.已知x>0,y>0,则“xy=l”是“x+y22”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【解析】选A.若xy=l,由基本不等式，知不+了》2^^=2；反之，取x=3,y=l,贝ij满

足x+y22,但孙=3W1,所以“灯=1”是“x+y22”的充分不必要条件.

2x

2.当x>0时，函数f（x）=在j有（）

A.最小值1B.最大值1

C.最小值2D.最大值2

2

【解析】选B.因为x>0,所以/"（4）=­pW1.

x+一

X

3.《几何原本》卷2的几何代数法（以儿何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题

的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为

无字证明.现有如图所示图形，点尸在半圆。上，点。在直径的上，且0U/8,设/C=a,

BC=b,则该图形可以完成的无字证明为（）

A.(a>0,6>0)

B.a+^^2y[ab(a>0,6>0)

2abi—.

C.—r-7(a>0,b>0)

a-rbv

a+b/la+l}/,、

D.亍(a>0,6>0)

【解析】选D.由於=&仁。,可得圆。的半径r=嘤，又OC=OB—Bg号-b=平,

则称=%+办=工巧2―+>丐-2一：=且尹，再根据题图知FO^FC,即审

缺巨,当且仅当a=b时取等号.

W

4.（多选题）规定：“③”表示一种运算，即3（8）6=次+&+6（8人为正实数）.若1<8）“

依x

=3,函数/"（分二〒,1WXW4,则下列说法正确的是（)

A.f（x）的最小值为3

B.f（x）的最小值为2

7

c.f（x）的最大值为5

3

D.f（x）的最大值为]

【解析】选AC.由题意得l®k=y[k+1+4=3,即k+由-2=0,解得=1或5=

一2（舍去），故衣的值为1.

10X

又4)=万=与±1=1+5++

21+2=3,当且仅当爪——F=,即x

yjx

1。工

=1时取等号,故函数f(x)的最小值为3.由函数单调性知：f(x)=

7

在x=4时有最大值为5.

二、填空题(每小题5分，共20分)

5.函数y=2x+二-j"(x>l)的最小值为.

【解析】因为y=2x+—^—r(x〉l),所以y=2x+-^—=2(x—l)+'y+222+

x—1x—1x—1

2(x—1)J_]=2y^2+2.

当且仅当x=l+¥时取等号，故函数尸2X+£(x>D的最小值为次「+2.

答案：24+2

八病

6.定义运算”":x®y=一逐一(x,yGR,犯¥0).当x>0,y>0时，x®y+(2y)0x

的最小值为.

【解析】因为x>0,y>0,所以x0y+(2y)㊈户丁J+多J=4|督_用

》也，当且仅当乙=—,即/=隹y时取等号.故x(8)y+(2y)<g)x的最小值为也.

yx

答案：^2

7.己知正数a,方满足2a2+^=3,则八产I的最大值为.

【解析】a\jtf+l=乎X/冷/炉+1W*X；(Za'+Z^+l)=平X(3+1)—y/2,当

且仅当小a—y]/J+1,且2a°+籽=3,

即a?=l,Z/=i时，等号成立.故尔/WT的最大值为也.

答案：小

8.已知x,y^R,且2x+y=4,则孙的最大值是______.

【解析】因为x,由基本不等式可得4=2才+夕22m春，得xjW2,

当且仅当2x=y,即x=l,y=2时，等号成立.

因此灯的最大值是2.

答案：2

三、解答题（共30分）

9.（10分）若正数金。满足a6=a+6+3,

求：（1）助的取值范围.

（2）a+6的取值范围.

【解析】（1）因为+3,

令t=y[ab>0,所以d—2t—320所以（/-3）（Z+D20.所以-23即迎23,所以助29,

当且仅当a=b=3时取等号.

（2）因为a6=a+6+3,所以a+6+3W（，^’.令t=a+Z?>0,所以t2—4^—12^0,所

以（£-6）（1+2）20.所以CN6即a+626,当且仅当a=b=3时取等号.

4

10.（10分）（1）若x>0,求函数的最小值，并求此时x的值.

3

⑵设0<x货,求函数y=4x（3—2x）的最大值.

4

（3）已知x>2,求x+—-的最小值.

x一乙

4/4

【解析】（1）当x〉0时，x+;22\x・3=4,

4

当且仅当牙=一，即V=4,x=2时取等号.

x

4

所以函数尸x+-（x〉0）在x=2时取得最小值4.

x

（2）因为0<x<|,所以3—2x>0,

所以y=4x（3—2x）

3

当且仅当2x=3—2x,即时，等号成立.

所以函数尸4X（3-2X）（0〈K|）的最大值为?.

44/4

（3）因为x>2,所以万一2〉0,所以x+—;=*-2+—-+222、/（入-2）-----+2

x—2x—2\1x—2

=6,

4

当且仅当x—2=--,即x=4时,等号成立.

X—L

4

所以x+—-的最小值为6.

x—2

11.（10分）己知a>0,b>0,a+b—1,求证：

111

-+-+-2&

力

a

11111

1-