上海市闵行区2024届高三下学期学业质量调研（二模）数学试卷

学年第二学期高三年级学业质量调研数学试卷（考试时间120分钟，满分150分）考生注意：1．本试卷共21题，答题纸共2页．作答前，考生在答题纸正面填写学校、姓名、考生号，粘贴考生本人条形码．2．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位．在草稿纸、试卷上作答一律不得分．3．用2B铅笔作答选择题，用黑色笔迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸相应位置直接填写结果．1.集合，，则________.2.复数满足（为虚数单位），则_________.3.始边与轴的正半轴重合的角的终边过点，则=_________.4.在的二项展开式中，项的系数为_________.5.正实数满足，则的最大值为_________.6.等比数列的前项和为，若，，则_________.7.现有个工程队承建某工程的个不同项目，每个工程队承建一个项目，其中甲工程队不能承建项目，则不同的承建方案有_________种.（用数字作答）8.函数在处的切线方程为_________.9.已知、是空间中两个互相垂直的单位向量，向量满足，且，当取任意实数时，的最小值为_________.10.双曲线的左右焦点分别为，过坐标原点的直线与相交于两点，若，则_________.11.对于任意的,且，不等式恒成立，则实数的取值范围为_________.12.已知空间中有2个相异的点，现每增加一个点使得其与原有的点连接成尽可能多的等边三角形.例如,空间中3个点最多可连接成1个等边三角形，空间中4个点最多可连接成4个等边三角形.当增加到8个点时，空间中这8个点最多可连接成________个等边三角形.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.设，则“”是“”的（）（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充要条件（D）既非充分又非必要条件14.已知，为奇函数，当时，，则集合可表示为（）（A）（B）（C）（D）15.某疾病预防中心随机调查了339名50岁以上的公民，研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，调查数据如下表：不吸烟者吸烟者总计不患慢性气管炎者121162283患慢性气管炎者134356总计134205339假设：患慢性气管炎与吸烟没有关系，即它们相互独立.通过计算统计量，得，根据分布概率表:,,,.给出下列3个命题，其中正确的个数是（）①“患慢性气管炎与吸烟没有关系”成立的可能性小于；②有的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关；③分布概率表中的、等小概率值在统计上称为显著性水平，小概率事件一般认为不太可能发生.（A）个（B）个（C）个（D）个16.已知，集合，，.关于下列两个命题的判断，说法正确的是（）命题①：集合表示的平面图形是中心对称图形；命题②：集合表示的平面图形的面积不大于.（A）①真命题；②假命题（B）①假命题；②真命题（C）①真命题；②真命题（D）①假命题；②假命题三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在锐角中，角所对边的边长分别为，且.（1）求角；（2）求的取值范围.18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，已知为等腰梯形,,,平面,.（1）求证：；（2）求二面角的大小.19.（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分）ChatGPT是OpenAI研发的一款聊天机器人程序，是人工智能技术驱动的自然语言处理工具，它能够基于在预训练阶段所见的模式和统计规律来生成回答，但它的回答可能会受到训练数据信息的影响，不一定完全正确.某科技公司在使用ChatGPT对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为0.98；如果出现语法错误，它回答正确的概率为0.18.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1，且每次输入问题，ChatGPT的回答是否正确相互独立.该公司科技人员小张想挑战一下ChatGPT，小张和ChatGPT各自从给定的10个问题中随机抽取9个作答，已知在这10个问题中，小张能正确作答其中的9个.（1）求小张能全部回答正确的概率；（2）求一个问题能被ChatGPT回答正确的概率；（3）在这轮挑战中，分别求出小张和ChatGPT答对题数的期望与方差.20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）如图，已知椭圆和抛物线，的焦点是的上顶点，过的直线交于、两点，连接、并延长之，分别交于、两点，连接，设、的面积分别为、．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的取值范围.21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知定义在上的函数的表达式为,其所有的零点按从小到大的顺序组成数列（）.（1）求函数在区间上的值域；（2）求证：函数在区间（）上有且仅有一个零点；（3）求证：.

参考答案与评分标准一.填空题1．；2．；3．；4．；5．；6．；7．；8．；9．；10．；11．；12．20.二.选择题13．B；14．D；15．D；16．A．三. 解答题17．[解]（1）,,……………4分又,,.………………6分（2）为锐角三角形，,则，…10分.………………14分18．[解]（1）连接,为等腰梯形，,,；，，………………2分平面,所以由三垂线定理得.……6分（2）取的中点，连接，则，因为，所以,所以为二面角的平面角，…8分因为，，所以平面,所以……10分在中，,,所以，所以二面角的大小为.……14分19．[解]（1）设小张答对的题数为，则.………4分（2）设事件表示“输入的问题没有语法错误”，事件表示“一个问题能被ChatGPT正确回答”，由题意知，，，则，………………6分………………8分（3）设小张答对的题数为，则的可能取值是，且，，………………10分设ChatGPT答对的题数为，则服从二项分布，，，……12分，.……14分20．[解]（1）抛物线的焦点为，故.……4分（2）若直线与轴重合，则该直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意，所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，点、，联立可得，恒成立，则,……………6分.……10分（3）设直线、的斜率分别为、，其中，，联立可得，解得，………………12分点在第三象限，则，点在第四象限，同理可得，……………14分且……………16分，当且仅当时，等号成立.…………18分21．[解]（1）由，………………2分当时，，即函数在区间上是严格增函数，且，，所以在区间上的值域为.……………4分（2）当时，①当是偶数时，，函数在区间上是严格增函数；…6分②当是奇数时，，函数在区间上是严格减函数；…8分且，故，所以由零点存在定理可知，函数在区间上有且仅有一个零点.…10分（3）由（2）可知函数在上有且仅有一个零点，且满足，即（几何意义：是与交点的横坐标）