2021年高考数学【名校地市好题必刷】全真模拟卷（广东专用）·1月卷（解析版）

备战2021年高考数学【名校、地市好题必刷】全真模拟卷•1月卷

第十模拟

一、单选题

1.（2020・河南开封市南三一模（理））已知集合4={-2,-1,0,1,2},8=b|3=凶+1,彳€4}则4B=（）

A.0B.{-1,0,1）

C.{1,2}D.{-2,-1,0,1,2,3}

【答案】c

【分析】

根据xwA|M=N+l求解出的可取值，从而集合B可确定，根据交集概念求解出A8的结果.

【详解】

因为3={M|y|=|x|+l,xwA},故当x=±l时，y=±2,当1=±2时，y=±3,当x=0时，y=±l,

所以B={-3,—2—1,123},所以AB={1,2},

故选：c.

2.（2020•河南高三月考（理））复数的共枕复数是（）

4z-3

617.617.617.617.

A.------1------ZB.------------1C.---------1------1D.---------------1

2525252525252525

【答案】A

【分析】

化简得=即得其共辗复数.

4Z-32525

【详解】

„3z+2(3z+2)(4z+3)-6+17z617.

因为-----=--------------=--------=--------1，

4«-3(4z-3)(4z+3)-252525

X|>-7

所以其共辄复数是石+石i.

故选；A

3.(2020•威远中学校高三月考(理))某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整

理了2015年1月至2017年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据，绘制了下面的折线图.

根据该折线图，下列结论错误的是().

A.年接待游客量逐年增加

B.各年的月接待游客量高峰期在8月

C.2015年1月至12月月接待游客量的中位数为30万人

D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳

【答案】C

【分析】

根据折线图，从单调性，中位数的定义、方差的性质逐一判断即可.

【详解】

A：通过折线图可知：年接待游客量逐年增加，所以本选项结论正确；

B：通过折线图可知：各年的月接待游客量高峰期在8月，所以本选项结论正确；

C：2015年1月至12月月接待游客量在1月、2月、3月、4月、5月、6月、11月、12月都不超过30万人，

因此2015年1月至12月月接待游客量的中位数不超过30万人，所以本选项结论错误：

D：根据折线图可知：各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，所

以本选项说法正确.

故选：C

4.（2020•江西赣州市•高三其他模拟（理））四面体A-8C。中，ABIJ^BCD,AB=BD=-j2,

CB=CD=1,则四面体A—BCD的外接球表面积为（）

A.3万B.4万C.6万D.12万

【答案】B

【分析】

由题意画出图形，补形为长方体，求其对角线长，可得四面体外接球的半径，则表面积可求.

【详解】

如图，在四面体A—8C。中，48_1_底面8。。，AB=BD=啦,CB=CD=\,

可得ZBCD=90°,补形为长方体，则过一个顶点的三条棱长分别为1,1,

则长方体的对角线长为卜"=2，

则三棱锥A-BCD的外接球的半径为1.

其表面积为4%XF=4万.

故选：B.

【点睛】

关键点点睛：

求解本题的关键在于，将该四面体补形得到长方体，由长方体的结构特征，即可得出外接球半径，求出结

果.

5.(2020•四川宜宾市•高三一模(文))函数/(%)=-sinx+xcosx部分图象大致形状为()

【答案】c

【分析】

利用奇偶性的定义可证/(x)是奇函数，在利用导函数研究单调性即可确定函数图象.

【详解】

由解析式知：/(—x)=—sin(—x)+(—x)cos(-x)=sinx-xcosx=—/(x),即.f(x)是奇函数，且/(())=。,

即可排除A、B；

因为尸（x）=-xsinx,所以0<x<]时/"（xXO有/（x）单调递减，排除D；

故选：C

【点睛】

关键点点睛：利用函数的奇偶性、导函数研究函数单调性判断函数的图象.

6.（2020・四川宜宾市•高三一模（文））《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚

若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.”题意是：有两只老鼠从墙的两

边打洞穿墙.大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.如果墙足够厚,

第〃天后大老鼠打洞的总进度是小老鼠的4倍，则”的值为（）

A.5B.4C.3D.2

【答案】C

【分析】

设大老鼠每天打洞的长度构成等比数列｛4｝，则4=1,4=；，小老鼠每天打洞的长度构成等比数列｛〃｝,

则4=1,4=（,再分别求和构造等式求出"的值.

【详解】

设大老鼠每天打洞的长度构成等比数列｛“"｝，

1-2"

则4=Lq=2,所以s“=^^=2"—1.

"1-2

设小老鼠每天打洞的长度构成等比数列｛2｝,

1I；）"1

则4=1应=3,所以（,=一^-=2[1

21-A2

2

fI\"

所以5,,=47；,即2"-1=81--,化简得4"—9x2"+8=0

解得：〃=3或〃=1（舍）

故选：C

7.（2020•全国高三专题练习（理））（x+2）（l-2x）s的展开式中，X的奇次褰项的系数之和为（）

A.-123B.-120C.-1D.1

【答案】A

【分析】

先将（x+2）（1-展开，再利用赋值法求出奇次基项的系数之和.

【详解】

设（X+2）（1-2x）5_4+ax+4*2+…+4%6,

令x=1,则-3=4+4+/----，

令x=-1,贝!）35=_q+%—♦•■+%，

两式相减，整理得4+%+为=—123.

故选：A

8.（2020•河南开封市•高三一模（理））已知抛物线。：/=2〃%（〃>0）的焦点为尸，0为坐标原点，A,B

为抛物线C上两点，IA。|=|AF|,且|4加+|8/|="，则A8的斜率不可能是（）

A.B,-2^2C.2&D.也

32

【答案】D

【分析】

先由题中条件，根据抛物线的焦半径公式，求出A5的横坐标，进而确定A3的坐标，由斜率公式，即可

求出结果.

【详解】

因为产为抛物线。：丁=20*(。＞0)的焦点，所以F25°/

又|AO=|AE|,即A。尸为等腰三角形，所以乙(，又点A在抛物线y2=2pxl：,

2…孕即喂,±

所以"2=2〃x(=g,则历P

22)

所以由抛物线的焦半径公式可得：|AF|=XA+5=WP，

又|4/|+|8/|="，所以|8尸|=2,即3=2

，所以兀8=〃,

422

则笫2=2p2，即%=±0〃,所以8(〃,±拒〃卜

枝P一冬2正

£

当AB(P,0P)时，AB的斜率为kAI)

42)〃P=亍

网p,-企p)时，AB的斜率为原3=二^近P

£及］工=—20：

当A

42)P_

P-

4

何+也

P_

当A，B(p,6p)时，AB的斜率为kAB=--------2_=2五；

4'2)

一及P+号一2母

P_

当A,8(，,—0p)时，AB的斜率为hB

4，2)二亍

P-W

故ABC都能取到，D不能取到.

故选：D.

【点睛】

关键点点睛：

求解本题的关键在于利用题中条件|A01=1A尸确定A点横坐标，结合|AF|+|BF|="以及焦半径公

4

式，确定3点横坐标，得出两点坐标，即可求解.

二、多选题

9.（2020•开原市第二高级中学高三三模）满足M1棺,4,%g}，且M{q,%,%}={%,4}的集合M

可能是（）

A.{4,4}B.{q,4,%}C.{4,4,4}D.{《，《，生，％}

【答案】AC

【分析】

由交集的结果知集合”一定含有元素6,%，一定不含有小,由此可判断.

【详解】

•{a”4,%}={4，出}，••集合M-XE含有兀素4,4，定不含彳J%,

M={4，生}或M={at,a2,a4}.

故选：AC.

【点睛】

本题考查由集合的交集求参数，掌握交集的定义是解题基础.

uuuir1

10.（2020•全国高三专题练习）已知正方形ABCD的边长为2,向量“，〃满足AB=2a，AD=2a+b>

则（）

A.\b\=2A/2B.aA.bC.a?b2D.（4a+b）^-b

【答案】AD

【分析】

把AB，4。作为基底结合正方形性质即可.

【详解】

1UUIUUUUUUU1ULB1广

由条件可〃=AT>_A3=B。，所以|Z?|=|B£）|=2垃，A正确；

a-^AB,与§力不垂直，B错误：

rriuunuun

ab=-ABBD=—2,C错误；

2

r1UUUUUUUUWrII

4a+b=AB+AD=AC-根据正方形的性质有AC_LBD，所以（4a+》）_L8，D正确•

故选:AD

【点睛】

选择恰当的基底是解决问题的关键，注意特定图形的性质运用.

11.（2020•江苏南通市•高三月考）如图所示，在长方体ABC0—A4G。，若AB=BC,E、尸分别是

Ag、8G的中点，则下列结论中成立的是（）

A.EF与BB1垂直B.EF上平面BDRBi

C.EF与G。所成的角为45°D.EF〃平面AMG。

【答案】ABD

【分析】

证明出E/WAC，BB]LAG，可判断A选项的正误；证明出AG，平面结合瓦7/£可判

断B选项的正误；计算出ZA,C,D的值，结合EF//A,C,以及异面直线所成角的定义可判断C选项的正误;

利用线面平行的判定定理可判断D选项的正误.

【详解】

连接AG、A。，则E为AB的中点,

AR

对于A选项，平面A4GA，4。1（=平面4由。|。],，54_1.40，

E、产分别为AB、8G的中点，则E/〃AG，二七尸A选项正确；

对于B选项，四边形4B|GA为正方形，则AG，4A，

又AGJ-BB[,BRCBB[=B「；.4G_L平面BDDB,

EF〃Aa，；.EF上平面BDRB],B选项正确；

对于c选项，易知AG。为等边三角形，则NAGO=6（）,

EFIAG，则EF与G。所成的角为幺£。=6（）,C选项错误；

对于D选项，EF"AC\,Ef（z平面A4GA，46=平面4片。|。|，，瑁?〃平面44。12,D选

项正确.

故选：ABD.

【点睛】

本题考查线线垂直、线面垂直、线面平行以及异面直线所成角的判断，属于中等题.

12.（2020•福建高三其他模拟）设函数“x）=q,则下列说法正确的是（）

Inx

A.7（力定义域是（0,+。）B.X€（0,l）时，“X）图象位于X轴下方

c./（X）存在单调递增区间D.7（X）有且仅有一个极值点

【答案】BCD

【分析】

求出函数定义域判断A,根据函数值的正负判断B,求出导函数，利用导函数确定原函数的增区间，判断C,

由导函数研究函数的单调性得极值，判断D.

【详解】

由题意，函数八月=二满足<x>°，、/

,八，解得x>0且XH1,所以函数—的定义域为

InxInx^OJ')Inx

(0,1)(1,+8),所以A不正确;

由〃x)=q,当x«O,l)时，lnx<0,.../(xhO,所以/(x)在(0,1)上的图象都在轴的下方，所

Inx

以8正确；

•/Ix),所以/'(x)>。在定义域上行解，所以函数“X)存在单调递增区间，所以C是

JX—一(Inx)2一

正确的；

由g(x)=lnx—L则8,3=^+!(_1>0),所以g'(x)>0,函数g(x)单调增，则函数/'(x)=()只

有一个根不，使得尸(须)=。，当X€(0,X。)时，尸(幻<0,函数单调递减，当X€(Xo，­8)时，函数单

调递增，所以函数只有一个极小值，所以。正确；

故选：BCD.

【点睛】

本题考查求函数的定义域，考查用导数研究函数的单调性与极值，掌握极值的定义，单调性与导数的关系

是解题关键.

第II卷(非选择题)

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三、填空题

13.(2020•四川宜宾市•高三一模(文))已知函数/(x)=e'-^ax2(e为自然对数的底数)是R上的增函数,

则实数。的取值范围是.

【答案】

【分析】

由题可得r(x)=e”—办20在R上恒成立，分。=。，”＜0和。＞0三种情况讨论可求解•

【详解】

/(x)=e'-；以2是R上的增函数，

.•./'(力=炉一。120在尺上恒成立，即

x

令X=e,y2=ax,

当。=0时，,20恒成立，符合题意；

当。＜0时，如图，不符合题意；

当a>0时,令g(x)=/_or,则g，(x)=e*-a,

令g'(x)=。,解得x=lna,

则当xe(Y»,lna),g'(x)<0,g(x)单调递减，

当xw(lna,+oo),g〈x)>0,g(x)单调递增,

na

g(x)mn=g(ina)=e'-alna>0,解得0<a«e,

综上，。的取值范围是［O,e］.

故答案为：［O,eL

【点睛】

关键点睛：本题考查已知函数单调性求参数，解题的关键是将单调性转化为了'(x)=ev-acNO在R上恒

成立，在讨论a的范围求解.

14.(2020•贵州安顺市•高三其他模拟(文))已知数列｛q｝中，4=1，4出=2%+2",贝!)4=.

【答案】n-T-'

【分析】

将an+x=2a,+2",变形为爵-a•=；,利用等差数列定义求解.

【详解】

因为%M=24+2”,

所以%L一殳=，乂幺=_1

2/:+,2〃2，乂22’

所以数列是以3为首项，以!为公差的等差数列，

2"22

所以*2"2'‘2=25'

ri

所以an^r--,

2

故答案为；n-2'-1

15.(2020•河南信阳市•罗山县教学研究室高三其他模拟(理))为稳定当前物价，某市物价部门对本市的5

家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查,5家商场商品的售价X元和销售量了件之间的一组数据如

下表所示：

价格X8.599.51010.5

销售量.V1211976

由散点图可知，销售量与价格x之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是》=-3.2》+2,则2=

【答案】39.4

【解析】

x=9.5,y=9.-.5=94-3.2x9.5=39.4

点睛：函数关系是一•种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的

关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求兄。，写出回归方

程，回归直线方程恒过点日,]).

16.(2020・武汉外国语学校高三其他模拟(文))已知A,5是圆8》—2y+16=0上两点，点

尸在抛物线f=2y上，当NAPB取得最大值时，贝ij(1)点P的坐标为；(2)|AB|=—.

【答案】(2,2)延

【分析】

首先判断出当NAPB取得最大值时，PA,PB是圆。的切线(A,B是切点).设NAPB=2a,P/方

利用构造函数法，结合导数求得1Pq的最小值，此时NAP3最大，进而求得此时|A5|的值以及p点的坐

标.

【详解】

依题意可得，当用，/>8是圆C的切线时，NAPB取得最大值，即4,8是切点，

设NAP3=2a,PI2J.

•.•圆。：/+；/一8%一2旷+16=0,g|J(x-4)2+(y-l)=1

1

圆心。(4,1),半径为1,从而sin(jf---------------

附I’

(2Y4

22

V|pc|=(x0-4)+^--1=2-8%+17,

I274

4

令=+8X+17,则r(x)=d—8.

...当x<2时，r(x)<0,即函数<(x)在(YO,2)上为减函数;

当x>2时，/'(x)>0,即函数/(x)在(2,出动上一为增函数.

⑵=5,即|PQ1m=召.

（An*,此时NAPB最大,

5

cosa=Jl—sin%=",根据圆的切线的几何性质可知PC垂直平分A3,

5

所以NC4B=。，

**•\AB\=2|AC|cosa=2cos«=-

将x=2代入％2=2y可得y=2,所以此时P（2,2）.

故答案为：（2,2）；竽

【点睛】

本题考查圆与抛物线的基本性质，考查利用导数求最值，属于较难题.

四、解答题

-l__bcos5+1

17.（2020•全国高三专题练习）在①COS2B—百sinB+2=0,②2/?cosC=2a—c,③一=k：三

aJ3sinA

个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答.

已知A48C的内角A,B,C所对的边分别是“，b,c,若,且a,b,c成等差数列，则AABC是否

为等边三角形？若是，写出证明；若不是，说明理由.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】①；证明见解析

【分析】

TT

选择①：由余弦降幕公式代入即可求得sinB,结合a,b,c,成等差数列可得2b=a+c,B=~,代入余

弦定理公式，即可得从二。。，结合等式2b=a+c可求得a=c,进而证明AABC为等边三角形.

【详解】

选择①cos2B—石sin8+2=0，

证明：则由余弦降密公式可得1—Gsin3+2=0，

即(2sinB—6)卜皿5+石)=0,

由0<B<%可得sinB=走，

2

又因为a,b,c成等差数列，则B为锐角，

7T

则2b=a+c,B=一,

3

由余弦定理可知。2="+/—2QCCOS3，

代入可得〃=(a+c/—3ac,即b?=比，

则=ac，化简可得(a-c)2=0,

7t

即。=。，又因为8=—,

3

所以A4BC为等边三角形.

【点睛】

本题考查了三角函数解析式的化简应用，余弦降幕公式化简三角函数式，余弦定理解三角形，等差中项性

质的应用，综合性较强，属于中档题.

18.（2020•山东济宁市•高三其他模拟）已知数列｛4｝是公差为2的等差数列，它的前〃项和为邑，且

4，。3,生成等比数列.

（1）求｛4｝的通项公式；

（2）求数列。的前八项和7；.

n

【答案】（1）q=2〃+2；（2）-

n+\

【分析】

（1）根据条件求出数列的首项，即可写出通项公式；

1

（2）求出S,,,即可得。.，利用裂项相消法可求解.

S“-2〃

【详解】

（1）数列｛4｝是公差为2的等差数列，且q,生,四成等比数列4，/，%成等比数列，

\始二申/,贝iJ（q+4『=6（%+12）,解得a,=4,

\a,t=4+(n-1)?22〃+2；

⑵由⑴可得S,=^|^"2+3〃，

1_1_1_11

2

Sn-2nn+nnn+l

因此［=;111n

--------1-------------F-----------=]

223n〃+1-----〃+1〃+l

【点睛】

结论点睛：

裂项相消法求数列和的常见类型:

111］、

(1)等差型------=-一一——，其中｛4｝是公差为"（doO）的等差数列;

an+\

无理型1=—诟

++kk

(3)指数型（。一1）4="向一相；

(4)对数型bg

19.（2020•四川泸州市•高三一模（理））如图，在四棱锥S—A3C3中，底面A8CD是菱形，G是线段A8

上一点（不含AB）,在平面SGD内过点G作GP//平面SBC交SO于点P.

（1）写出作点P、GP的步骤（不要求证明）;

TT

(2)若NBAO=§,AB=SA=SB=SD=2,尸是SO的中点，求平面SBC与平面SGO所成锐二面角

的大小.

【答案】(1)答案见解析；(2)

4

【分析】

(1)根据线面平行的判定定理，利用面面平行可得，作两条相交直线分别和BC,SC平行即可；

(2)过。作OE〃GB交于E,以OG,OE,OS分别为X,九z轴建立空间直角坐标系,利用向量法求

解即可.

【详解】

(1)第一步：在平面48co内作G”//8c交CO于点”；

第二步：在平面SCO内作”P//SC交SQ于P；

第三步：连接GP,点P、GP即为所求.

(2)因P是S。的中点，HP//SC,所以H是CD的中点，

而GH//BC＞所以G是的中点.

连AC,GD交于。，连SO,设S在底面A8c。的射影为M，

因为SA=SB=SZ),所以M4=M3=MO，即M为A83的外心，

所以M与。重合，因2叵，50=2,

3

所以so=^^,OC=2AC=^,

333

过。作OE//GB交BCTE,以。G,OE,OS分别为X,》，z轴建立空间直角坐标系，贝ij

S(0,0,2,),B(^y-,1,O),C(--^^,2,0),

所以SB=(*,1,-平),8C=(-4,1,0),设平面SBC的法向量为n=(x,%z),

ZB=®x+y咨

则《3-3

n-BC=-用x+y=0

取z=V2，则无=1,y=>J3，

所以“=(1,百,0).

又G8_L平面SGO,

故GB=(0,1,0)为平面SGD的法向量，

设平面SBC与平面SGD所成锐二面角的大小为0,

八|nGB|

贝I]cos。=-----L=二6==二£一，

In||GB|V62

7T八兀

因为。6(0,二)，所以。=7.

24

故平面SBC与平面SGO所成锐二面角的大小为

4

【点睛】

关键点点睛：本题在建立空间直角坐标系前，首先利用垂直关系得到2叵，so二巫,

33

OC=2AC=&8,否则建立坐标系后不能写出向量坐标，因此建系之前需要证明垂直关系，寻求数量关

33

系.

20.（2020•全国高三其他模拟（理））新型冠状病毒是一种人传人，而且隐藏至深、不易被人们直觉发现危

及人们生命的严重病毒.我们把与这种身带新型冠状病毒（称之为患者）有过密切接触的人群称为密切关

联者.已知每位密切关联者通过核酸检测被确诊为阳性后的概率为〃（0<〃<1）.一旦被确诊为阳性后即

将其隔离.某位患者在隔离之前，每天有k位密切关联者与之接触（而这上个人不与其他患者接触），其中

被感染的人数为X（OWXWk）.

（1）求一天内被感染人数X的概率"（X）的表达式和X的数学期望；

（2）该病毒在进入人体后有14天的潜伏期，在这14天内患者无任何症状，则为病毒传播的最佳时间.设

每位患者在不知自己患病的情况下的第二天又与k位密切关联者接触.从某一从名患者被带新型冠状病毒

的第1天开始算起，第n天新增患者的数学期望记为E0（n>2）.

①当％=10,p=求心的值；

②试分析每位密切关联者佩戴口罩后与患者接触能否降低患病的概率，经大量临床数据验证佩戴口罩后被

感染患病的概率p'满足关系式p'=ln（l+p）-g.当p'取得最大值时，计算p'所对应的然'和〃所对

应的值，然后根据计算结果说明佩戴口罩的必要性（取攵=10）.

]2

（参考数据：111240.7,ln3«l.l,ln5«1.6,-«0.3,-«0.7,66=4665（）计算结果保留整数）

【答案】⑴p（X）=C*x（l-P广、（O4X<K）,£（X）=劭；（2）①233280；②£6=6480（人）；

E；=16（人）；必要性见解析.

【分析】

（1）设事件A：被病毒感染的人群，随机变量X的取值为：0,1,2,…，k.得到事件A服从二项分布

X即可求解.

（2）①根据题意，第〃天新增加人数的数学期望耳,=（1+切）”一1一（1+切）”2,即可求解心的值.

21

②求得p'=f（p）=ln（l+p）—,利用导数求得函数f（〃）的单调性和最值,进而得到p=万，p'=0.1,

分别求得纭和纥'的人数，即可得到结论.

【详解】

（1）根据题意，因为任何•个与患者密切接触的关联者，被感染（患病）的概率均为P,

乂每天有女位密切关联者与一患者接触，设事件A：被病毒感染的人群，

随机变量X的取值为：0,1,2,k.显然事件A服从二项分布XB（k,p）,

即p（X）=CjpX（i_p）K-x（0«xWK）,显然E（X）=@.

（2）①根据题意，最初患者自己被感染，即第1天人数为1,

第2天被感染人数增至为：1+1•3=1+3；

第3天被感染人数增至为：（1+切）+（1+切）幼=（1+即）2,一，

显然第天被感染人数增至为；（1+即）”2,第〃天被感染人数增至为：（1+S广’，

于是根据题意中均值定义，第〃天新增加人数的数学期望£；,=（1+S广|-（1+切）”2,

即纥=切(1+切广2,于是&=iox—1+lOx-=5x6''=233280.

212)

21__2_1-2/?

②根据题意函数"=/(p)=ln(l+p)--p,求导得:/(p)

1+p33(1+p)

当且仅当时，/'(〃)>0,此时〃'=/(〃)单调递增；当pe时，r(p)wo,

即P'=/(P)单调递减，于是P，=f(P)z<pW=ln3-ln2-1«0.1.

此时〃=J，P'=。1，

于是£6=10xg(l+10xg)=5x64=648()(人)，

r^lOx—fl+10x—=24=16(人).

iol10)

经过计算得知，戴口罩情况下患者与密切接触的关联者接触被感染的人数为16人，

而不戴口罩的情况下患者与密切接触的关联者接触被感染的人数为6480人，

即我远大于线'，于是戴口罩是非常必要的.

【点睛】

本题以新冠疫情重大突发事件为背景命题，以病毒人传人大事件的预防建立数学模型来考查概率的相关概

念、事件的划分、离散型随机变量的期望等概念的应用，同时考查了理性思维、抽象思维及逻辑推理、运

算求解能力、读题理解能力、计算能力.

21.(2020•云南昆明市•高三其他模拟)已知椭圆C：・+%=l(a>6>0)的离心率为乎，其左、右焦点

分别为耳，玛，点是坐标平面内一点，且|OP|=*,为坐标原点).

(1)求椭圆c的方程;

(2)过点S且斜率为左的动直线/交椭圆于A,B两点,在y轴上是否存在定点M,使以A3为直

径的圆恒过这个点？若存在，求出〃的坐标，若不存在，说明理由.

【答案】⑴y+y=1；（2）存在M（O,1）,理由见解析.

【分析】

（1）利用|0P|=弓，，列出方程可得c=l,再由离心率即可求出a,仇得出椭圆方程;

（2）设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程，借助于韦达定理，即可求出点的坐标.

【详解】

（1）\OP\=—>•••^o+yo=7>

1124

333

又尸耳・尸鸟=“・,.（一。一天0,一％）・（C-Xo,-%）=“即工；一°2+火="

则可得C=I,乂6=也，.•.。=应力=1，

2

故所求椭圆方程为三+丁=1；

⑵设直线=代入5+9=1,有（2%2+1h2一料一g_=o.

4k-16

设削,y）,B5，%），则%+%=，叱2=,

若》轴上存在定点M（（）,〃D满足题设，则M4=（玉,y—m）,MB=（x2,y2-tn），

MAMB=X[X2+(y-m)(y2-rri)=xxx2+yxy2-m(y\+y2)+trr

z.1.1、z.1.1、2zr2i\.zl、/22n2I

+("]——)(AX2——)—m(kx、——+kx?——)+m~—(k~+1)玉々—K(—+/%)(玉+x2)+机-———F—

18(租2一1)淡2+(9团2+6加―15)

9(2一+1)

由题意知，对任意实数人都有肱=O恒成立,

即18（川一1）/+Q加2+6加—15）=0对&eR成立.

f/«2—1=0

,解得m-\,

19加~+6m-15=0

在）’轴上存在定点M（0,1）,使以AB为直径的圆恒过这个定点.

【点睛】

方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：

（1）得出直线方程，设交点为A（%,%）,B（%%）；

（2）联立直线与曲线方程，得到关于》（或了）的一元二次方程；

（3）写出韦达定理；

（4）将所求问题或题中关系转化为玉+々,5工2形式；

（5）代入韦达定理求解.

22.（2020•四川泸州市•高三一模（理））已知函数X-,一〃"nx-m，其中,e是自然对数

x

的底数.

（I）求函数/（X）的单调递增区间；

（n）设关于％的不等式f（x）＜x\nx-^--kx+n^X/xe\l,e］恒成立时k的最大值为4％e/?,«e［l,e］）,

求〃+c的取值范围.

-2"

【答案】（I）见解析；（II）〃+2,e+—+l.

【分析】

(1)先对函数求导，分别讨论A40和A〉0两种情况，解对应的不等式，即可求出单调递增区间;

(II)先由题中条件，得到，项+皿龙)7+"-+〃对Vxe[l,e>恒成立，令

x

1+InX-r4-rInr+n

g(x)=----------,对其求导，利用分类讨论的方法，结合导数的方法判定函数单调性，得出

x

最值，即可求解出结果.

【详解】

(I)因为/(x)=x----mlnx-机(x>0,，〃e,

所以/~'(4)=1+4—2="2一?+1,因为x〉0,

XXX

所以①当△=«?_4«0即14〃叱2时，％2_/加+120恒成立，即/'(%)20恒成立,

所以f(x)单调递增，即“X)的单调递增区间为(0,+co)；

②当△=加2一4>()即2<m«e时，方程f一‘"V+i=o的两根为:

m-yjm2-4m+yJm2—4”“八

X,=-----------'=-------------，-ILA,<x,

12222

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