2024年江苏省常州市中考数学调研试卷（4月份）

第1页（共1页）2024年江苏省常州市中考数学调研试卷（4月份）一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分，在每小题所给的四个选项中，只有一项是正确的，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）1．（2分）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的一个根为﹣1，则m的值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．22．（2分）Rt△ABC的边长都扩大2倍，则cosA的值（）A．不变 B．变大 C．变小 D．无法判断3．（2分）已知⊙O与直线l相交，圆心到直线l的距离为6cm，则⊙O的半径可能为（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm4．（2分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，则（）A．a＞0，c＜0 B．a＞0，c＞0 C．a＜0，c＞0 D．a＜0，c＜05．（2分）点A（5，3）经过某种图形变化后得到点B（﹣3，5），这种图形变化可能是（）A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．绕原点逆时针旋转90° D．绕原点顺时针旋转90°6．（2分）随机抛掷一枚质地均匀的骰子1次，下列事件中概率最大的是（）A．点数为2 B．点数为3 C．点数小于3 D．点数为奇数7．（2分）某校用标准视力表检查全校学生的视力，并将全校学生的视力情况会制成如图的扇形统计图，则该校学生视力的中位数可能是（）A．4.5 B．4.7 C．4.9 D．5.18．（2分）如图，点A坐标为（﹣2，1），点B坐标为（0，4），若点A′恰好落在x轴上，则点B′到x轴的距离为（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）9．（2分）一元二次方程x2﹣x＝0的解是．10．（2分）已知圆锥的侧面积是4π，母线长为3，则它的底面圆半径为．11．（2分）已知一段公路的坡度是1：3，沿这条公路上坡走了10m，那么垂直高度上升了m．12．（2分）若抛物线y＝x2﹣3x+ax+2的对称轴是y轴，则a的值是．13．（2分）如图，A、B、C、D均为正方形网格的格点，线段AB和CD相交于点P，则．14．（2分）如图，和y＝x的图象，若一个数x大于它的倒数．15．（2分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D分别在两个半圆上，∠E＝50°，则∠D的度数为．16．（2分）《墨子•天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A′B′C′D′，则四边形A′B′C′D′的外接圆的半径为．17．（2分）定义：在△ABC中，∠C＝30°，我们把∠A的对边与∠C的对边的比叫做∠A的邻弦，即：．如图，则thiA的值为．18．（2分）如图，P是第一象限内一次函数y＝﹣2x+4图象上一动点，反比例函数，则k的取值范围是．三、解答题（本大题共10小题，共84分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出演算步骤）19．（6分）计算：．20．（8分）解方程：（1）（x﹣1）2＝9；（2）x2+2x﹣4＝0．21．（8分）为了解春节期间游客对我市旅游服务满意度，从中随机抽取部分游客进行调查，并将调查结果按照“A．非常满意；C．基本满意；D．不满意”四个等级绘制成了如下不完整的条形统计图和扇形统计图：请根据以上统计图中的信息，回答下列问题：（1）抽样调查共抽取游客人；（2）请通过计算补全条形统计图，并求出A等级所在扇形统计图的圆心角度数；（3）春节期间，我市累计接待游客近1000万人次，请你估计对服务表示不满意的游客大约有多少万人次？22．（8分）2024年春节档电影票房火爆，电影《飞驰人生2》、《热辣滚烫》、《第二十条》深受观众喜爱．甲、乙两人从这三部电影中任意选择一部观看．（1）甲选择《热辣滚烫》的概率是；（2）请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两人选择同一部电影的概率．23．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，∠BCD＝120°，AD＝DC．（1）连接AC，则∠BAC＝°；（2）若P为四边形ABCD边上的一点，满足∠BPC＝30°．请用无刻度的直尺和圆规作出所有的点P（不写作法，保留作图痕迹）；（3）在（2）的条件下，若BC＝2．24．（8分）如图，Rt△ABC的两个顶点A、B都在反比例函数的图象上，垂足为D．已知点A的坐标为（1，2）．（1）求直线AB和反比例函数的解析式；（2）求Rt△ABC的面积．25．（8分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，过点A作AE∥BC交CD的延长线于点E，AD＝ED，连接BD．（1）求证：∠BAD＝∠EAD；（2）连接AC，若CD＝1，DE＝326．（10分）图1是凸透镜成像示意图，蜡烛AC发出的光线CE平行于直线AB，经凸透镜MN折射后，并与过凸透镜中心O的光线CO交于点D，从而得到像BD．其中，像距BO＝v，焦距OF＝f，DB⊥AB，MN⊥AB．（1）如图2，当蜡烛AC在离凸透镜中心一倍焦距处时，即u＝f；（2）若蜡烛AC的长为5cm，物距u＝15cm，焦距f＝10cm27．（10分）【发现问题】P是二次函数的图象上一点，小丽描出OP的中点Q．当点P运动时，如图所示，她发现这些中点的位置有一定的规律．【提出问题】小丽通过观察，提出猜想：所描的中点都在某二次函数的图象上．【分析问题】若，则中点Q1（，）；若，则中点Q（，）．【解决问题】请帮助小丽验证她的猜想是否成立．【问题推广】若P是二次函数y＝ax2（a≠0的常数）的图象上一点，在射线OP上有一点Q，满足（k为常数），则点Q也在某函数的图象上运动，请直接写出该函数解析式（用a、k表示）．28．（10分）定义：在平面直角坐标系xOy中，P、Q为平面内不重合的两个点，其中P（x1，y1），Q（x2，y2）．若x1+y1＝x2+y2，则称点Q为点P的“等和点”．（1）如图1，已知点P（2，1），求点P在直线y＝x+1上“等和点”的坐标；（2）如图2，⊙A的半径为1，圆心A坐标为（2，0）（0，m）在⊙A上有且只有一个“等和点”，求m的值；（3）若函数y＝﹣x2+2（x≤m）的图象记为W1，将其沿直线x＝m翻折后的图象记为W2，当W1，W2两部分组成的图象上恰有点P（0，m）的两个“等和点”，请直接写出m的取值范围．

2024年江苏省常州市中考数学调研试卷（4月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分，在每小题所给的四个选项中，只有一项是正确的，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）1．（2分）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的一个根为﹣1，则m的值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．2【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝7的一个根是﹣1，∴（﹣1）2﹣2×（﹣1）+m＝7，解得：m＝﹣3．故选：A．2．（2分）Rt△ABC的边长都扩大2倍，则cosA的值（）A．不变 B．变大 C．变小 D．无法判断【解答】解：∵Rt△ABC的边长都扩大2倍，∴所得的三角形与原三角形相似，∴∠A的大小没有发生变化，∴cosA的值不变，故选：A．3．（2分）已知⊙O与直线l相交，圆心到直线l的距离为6cm，则⊙O的半径可能为（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm【解答】解：∵⊙O和直线l相交，∴d＜r，又∵圆心到直线l的距离为6cm，∴r＞6cm，故选：D．4．（2分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，则（）A．a＞0，c＜0 B．a＞0，c＞0 C．a＜0，c＞0 D．a＜0，c＜0【解答】解：∵图象开口向上，∴a＞0，∵图象与y轴正半轴相交，∴c＞0，故选：B．5．（2分）点A（5，3）经过某种图形变化后得到点B（﹣3，5），这种图形变化可能是（）A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．绕原点逆时针旋转90° D．绕原点顺时针旋转90°【解答】解：点A关于x轴的对称点的坐标为（﹣5，3），显然此点不是点B，所以A选项不符合题意．点A关于y轴的对称点的坐标为（4，﹣3），显然此点不是点B，所以B选项不符合题意．如图所示，分别过点A和点A′作x轴和y轴的垂线，垂足分别为M和N，因为∠A′OA＝∠NOM＝90°，所以∠A′ON＝∠AOM．又因为A′O＝AO，∠A′NO＝∠AMO，所以△A′NO≌△AMO（AAS），所以A′N＝AM＝3，NO＝MO＝5，故点A′的坐标为（﹣3，5）．此点与点B重合．所以C选项符合题意．同理可得，当点A绕原点顺时针旋转90°时，旋转后的对应点坐标为（8．此点显然不是点B．所以D选项不符合题意．故选：C．6．（2分）随机抛掷一枚质地均匀的骰子1次，下列事件中概率最大的是（）A．点数为2 B．点数为3 C．点数小于3 D．点数为奇数【解答】解：A、朝上一面的点数是2的概率为；B、朝上一面的点数是3的概率为；C、朝上一面的点数小于3的概率为；D、朝上一面的点数为奇数的概率为；故选：D．7．（2分）某校用标准视力表检查全校学生的视力，并将全校学生的视力情况会制成如图的扇形统计图，则该校学生视力的中位数可能是（）A．4.5 B．4.7 C．4.9 D．5.1【解答】解：把全校学生的视力从低到高排列，排在中间的数在4.6﹣5.7，所以该校学生视力的中位数可能是4.3．故选：B．8．（2分）如图，点A坐标为（﹣2，1），点B坐标为（0，4），若点A′恰好落在x轴上，则点B′到x轴的距离为（）A． B． C． D．【解答】解：如图，连接OA，过点B′作B′H⊥x轴于点H．∵点A坐标为（﹣2，1），7），∴AT＝2，OT＝1，∴OA＝＝，∴OA＝OA′＝，∵S△OA′B′＝S△OAB＝＝4，∴＝4，∴B′H＝＝，∴点B′到x轴的距离为，故选：B．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）9．（2分）一元二次方程x2﹣x＝0的解是x1＝0，x2＝1．【解答】解：x2﹣x＝0，x（x﹣5）＝0，∴x＝0或x﹣6＝0，∴x1＝7，x2＝1，故答案为：x7＝0，x2＝2．10．（2分）已知圆锥的侧面积是4π，母线长为3，则它的底面圆半径为．【解答】解：设圆锥的底面圆半径为r，由题意得，×6π×r×3＝4π，解得，r＝．故答案为：．11．（2分）已知一段公路的坡度是1：3，沿这条公路上坡走了10m，那么垂直高度上升了m．【解答】解：如图．Rt△ABC中，tanB＝，设AC＝xm，则BC＝5xmx2+（3x）6＝102，解得x＝（负值舍去）．∴垂直高度上升了m，故答案为：．12．（2分）若抛物线y＝x2﹣3x+ax+2的对称轴是y轴，则a的值是3．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x+ax+6的对称轴是y轴，∴﹣＝2．∴a＝3．故答案为：3．13．（2分）如图，A、B、C、D均为正方形网格的格点，线段AB和CD相交于点P，则．【解答】解：连接AE、BC，如图，由勾股定理得AC＝BE＝＝，AE＝BC＝，∴四边形ACBE是平行四边形，∴BE∥AC，∵B、E、D三点在同一条直线上，∴BD∥AC，∴△PBD∽△PAC，∵BE＝DE，∴BD＝2BE＝8AC，∴＝2，∴＝＝．故答案为：．14．（2分）如图，和y＝x的图象，若一个数x大于它的倒数﹣1＜x＜0或x＞1．【解答】解：令＝x，∴函数和y＝x的图象的交点的横坐标为﹣8和1，由图象可知当﹣1＜x＜2或x＞1时，一次函数y＝x的图象在反比例函数y＝，∴根据图象可知x的取值范围是﹣4＜x＜0或x＞1．故答案为：﹣3＜x＜0或x＞1．15．（2分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D分别在两个半圆上，∠E＝50°，则∠D的度数为70°．【解答】解：∵CE与⊙O相切于点C，∴∠OCE＝90°，∵∠E＝50°，∴∠COE＝90°﹣∠E＝40°，∴∠AOC＝180°﹣∠COE＝140°，∴∠D＝∠AOC＝70°，故答案为：70°．16．（2分）《墨子•天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A′B′C′D′，则四边形A′B′C′D′的外接圆的半径为2．【解答】解：连接B′D′，∵正方形ABCD与正方形A′B′C′D′是位似图形，AB：A′B′＝1：2，∴正方形ABCD与正方形A′B′C′D′的面积比为2：4，∵正方形ABCD的面积为2，∴正方形A′B′C′D′的面积为6，∴正方形A′B′C′D′的边长为2，∵四边形A′B′C′D′是正方形，∴∠A′＝90°，∴B′D′＝＝7，∴四边形A′B′C′D′的外接圆的半径为2，故答案为：2．17．（2分）定义：在△ABC中，∠C＝30°，我们把∠A的对边与∠C的对边的比叫做∠A的邻弦，即：．如图，则thiA的值为．【解答】解：作BH⊥AC于H，设BH＝x，∵∠A＝45°，∴△ABH是等腰直角三角形，∴AB＝BH＝x，∵∠C＝30°，∴BC＝8BH＝2x，∴thiA＝＝＝．故答案为：．18．（2分）如图，P是第一象限内一次函数y＝﹣2x+4图象上一动点，反比例函数，则k的取值范围是0＜k≤2．【解答】解：联立方程组，消掉y得﹣6x+4＝，整理得2x7﹣4x+k＝0，∵点P是两个函数的交点，方程组有解，∴Δ＝16﹣2×2k≥0，∴k≤3，反比例函数图象在第一象限，k＞0，∴0＜k≤2．故答案为：0＜k≤2．三、解答题（本大题共10小题，共84分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出演算步骤）19．（6分）计算：．【解答】解：＝6×+﹣×＝+﹣8＝2﹣6．20．（8分）解方程：（1）（x﹣1）2＝9；（2）x2+2x﹣4＝0．【解答】解：（1）∵（x﹣1）2＝5，∴x﹣1＝±3，则x7＝4，x2＝﹣7；（2）∵x2+2x﹣3＝0，∴x2+4x＝4，则x2+5x+1＝4+8，即（x+1）2＝4，∴x+1＝±，∴x4＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．21．（8分）为了解春节期间游客对我市旅游服务满意度，从中随机抽取部分游客进行调查，并将调查结果按照“A．非常满意；C．基本满意；D．不满意”四个等级绘制成了如下不完整的条形统计图和扇形统计图：请根据以上统计图中的信息，回答下列问题：（1）抽样调查共抽取游客50人；（2）请通过计算补全条形统计图，并求出A等级所在扇形统计图的圆心角度数；（3）春节期间，我市累计接待游客近1000万人次，请你估计对服务表示不满意的游客大约有多少万人次？【解答】解：（1）抽样调查的游客有：24÷48%＝50（人）；故答案为：50；（2）“基本满意”的游客有：50﹣10﹣24﹣2＝14（人），补全条形图如图：A等级所在扇形统计图的圆心角度数为：360°×＝72°；（3）1000×＝40（万人），答：估计对服务表示不满意的游客大约有40万人次．22．（8分）2024年春节档电影票房火爆，电影《飞驰人生2》、《热辣滚烫》、《第二十条》深受观众喜爱．甲、乙两人从这三部电影中任意选择一部观看．（1）甲选择《热辣滚烫》的概率是；（2）请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两人选择同一部电影的概率．【解答】解：（1）甲选择《热辣滚烫》的概率是；故答案为：；（2）用A、B、C分别表示电影《飞驰人生2》、《第二十条》，画树状图为：共有6种等可能的结果，其中甲，所以甲、乙两人选择同一部电影的概率＝＝．23．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，∠BCD＝120°，AD＝DC．（1）连接AC，则∠BAC＝30°；（2）若P为四边形ABCD边上的一点，满足∠BPC＝30°．请用无刻度的直尺和圆规作出所有的点P（不写作法，保留作图痕迹）；（3）在（2）的条件下，若BC＝22或2或4．【解答】解：（1）如图，连接AC，∵BC∥AD，∠DCB＝120°，∴∠D+∠DCB＝180°，∴∠D＝60°，∵DC＝DA，∴△ACD是等边三角形，∴∠DAC＝60°，∵AB⊥BC，∴∠CBA＝∠BAD＝90°，∴∠BAC＝30°，故答案为：30；（2）如图所示，作AC的垂直平分线，以O为圆心，AD于点P1，P2，P4与A重合，点P1，P2，P5即为所求；（3）当P3与A重合时，∠BP3C＝30°，此时CP4＝2BC＝4，连接CP7，∵AC为直径，∴CP2⊥AD，∴四边形BCP2A是矩形，∴CP6＝AB＝2，当CB＝CP6时，∠CP1B＝∠CBP1＝30°，此时CP5＝2，综上所述，CP的长为2或3．故答案为：2或3或4．24．（8分）如图，Rt△ABC的两个顶点A、B都在反比例函数的图象上，垂足为D．已知点A的坐标为（1，2）．（1）求直线AB和反比例函数的解析式；（2）求Rt△ABC的面积．【解答】解：（1）把（1，2）代入∴k＝2，∴反比例函数的解析式为y＝，∵点A和B关于原点对称，∴点B坐标为（﹣8，﹣2），设直线AB解析式为y＝ax，将点A（1解得：a＝7，∴直线AB解析式为y＝2x；（2）∵A（1，3），﹣2），∴AB＝＝2，∵对角线AC垂直于x轴，∴∠AEO＝∠ABC＝90°，∵∠EAO＝∠BAC，∴△AOE∽△ACB，∴，∴∴BC＝，∴Rt△ABC的面积＝×AB×BC＝5．25．（8分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，过点A作AE∥BC交CD的延长线于点E，AD＝ED，连接BD．（1）求证：∠BAD＝∠EAD；（2）连接AC，若CD＝1，DE＝3【解答】（1）证明：∵AD＝ED，∴∠EAD＝∠E，∵AE∥BC，∴∠E+∠BCD＝180°，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∴∠BAD＝∠EAD；（2）解：如图，连接AC，在△ADB和△ADE中，，∴△ADB≌△ADE（SAS），∴∠ABD＝∠E，由圆周角定理得：∠ABD＝∠ACD，∴∠ACD＝∠E＝∠EAD，∵∠E＝∠E，∴△ACE∽△DAE，∴＝，即＝，解得：AE＝3，∴AB＝AE＝2．26．（10分）图1是凸透镜成像示意图，蜡烛AC发出的光线CE平行于直线AB，经凸透镜MN折射后，并与过凸透镜中心O的光线CO交于点D，从而得到像BD．其中，像距BO＝v，焦距OF＝f，DB⊥AB，MN⊥AB．（1）如图2，当蜡烛AC在离凸透镜中心一倍焦距处时，即u＝f；（2）若蜡烛AC的长为5cm，物距u＝15cm，焦距f＝10cm【解答】解：（1）∵四边形AOEC是矩形，∴AC＝EO，∠CAO＝∠AOE＝90°，∴∠EOF＝180°﹣∠AOE＝90°，∴∠CAO＝∠EOF＝90°，∵AO＝OF，∴△CAO≌△EOF（SAS），∴∠COA＝∠EFO，∴CO∥EF，∴CO与EF没有交点，∴此时“不成像”；（2）∵CA⊥AB，DB⊥AB，∴∠CAO＝∠DBO＝∠EOF＝90°，∵∠COA＝∠BOD，∴△CAO∽△DBO，∴＝，∴＝，∴BO＝3BD，∵∠EFO＝∠DFB，∴△EFO∽△DFB，∴＝，∴＝，∴＝，解得：BD＝10，∴BO＝6BD＝30（cm），∴像距v为30cm，像BD的长为10cm．27．（10分）【发现问题】P是二次函数的图象上一点，小丽描出OP的中点Q．当点P运动时，如图所示，她发现这些中点的位置有一定的规律．【提出问题】小丽通过观察，提出猜想：所描的中点都在某二次函数的图象上．【分析问题】若，则中点Q1（，）；若，则中点Q（m，m2）．【解决问题】请帮助小丽验证她的猜想是否成立．【问题推广】若P是二次函数y＝ax2（a≠0的常数）的图象上一点，在射线OP上有一点Q，满足（k为常数），则点Q也在某函数的图象上运动，请直接写出该函数解析式（用a、k表示）．【解答】解：【分析问题】由中点坐标公式得：点Q1（，），点Q（m，m2），故答案为：，，m，m2，【解决问题】小丽她的猜想成立，理由：由【分析问题】点Q（m，m8），设x＝m，y＝m2，则m＝4x，则y＝m2＝×（5x）2＝x2，即点Q在y＝x2；【问题推广】如图，过点P、QN交x轴于点M、N，则△OPM∽△OQN，则，即ON＝k•OM，设点P的坐标为：（t，at2），即ON＝kt，同理可得：QN＝kat3，即点Q的坐标为：（kt，kat2），设x＝kt，y＝kat2，则t＝，则y＝kat4＝ka（）2＝x2，即函数表达式为y＝x6．28．（10分）定义：在平面直角坐标系xOy中，P、Q为平面内不重合的两个点，其中P（x1，y1），Q（x2，y2）．若x1+y1＝x2+y2，则称点Q为点P的“等和点”．（1）如图1，已知点P（2，1），求点P在直线y＝x+1上“等和点”的坐标；（2）如图2，⊙A的半径为1，圆心A坐标为（2，0）（0，m）在⊙A上有且只有一个“等和点”，求m的值；（3）若函数y＝﹣x2+2（x≤m）的图象记为W1，将其沿直线x＝m翻折后的图象记为W2，当W1，W2两部分组成的图象上恰有点P（