3年模拟解答题27题压轴题满分练（六）（解析版）-2021年中考数学6年中考3年模拟题号对应满分练（江苏南京专用）

3年模拟解答题27题压轴题满分练（六）

（满分60分时间：80分钟）班级姓名得分

一、解答题：（本题共6小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤.）

1.（2019年南京市鼓楼区中考二模）提出问题：用一张等边三角形纸片剪一个直角边长

分别为2。"和3cm的直角三角形纸片，等边三角形纸片的边最小值是多少？

探究思考：几位同学画出了以下情况，其中NC=90。，BC=2cm,△ADE为等边三角

形.

（1）同学们对图1,图2中的等边三角形展开了讨论：

①图一中A。的长度______图②中4。的长度（填“>”，或"="）

②等边三角形AOE经过图形变化.AO可以更小.请描述图形变化的过程.

（2）有同学画出了图3,但老师指出这种情况不存在，请说明理由.

（3）在图4中画出边长最小的等边三角形，并写出它的边长.

经验运用：

（4）用一张等边三角形纸片剪一个直角边长为lew?和3c7〃的直角三角形纸片，等边三角

形纸片的边长最小是多少？画出示意图并写出这个最小值.

【答案】（1）①〉

②如图5,将AADE绕点A被逆时针方向旋转一定的角度，再以A为位似中心，将AADE缩

小，使得点8再次落在边DE上；

1

A

(2)如图3,-AD=AE,AC1DE,^DAE=60°,

i

・•・Z.DAC=-£.DAE=30°,

2

在RMZMC中，tanzD4C=

BPtan30°=~~=f，DC=V3»

vBC=2,

・•.BC>DC,

而这与题意矛盾，所以图3这种情况不存在;

(3)当。与B重合时，4。最小，如图4,

2

此时4。=48=V13;

则它的边长是gem；

(4)作等边A/WE的高44,

vAH=sin60°AD,

•••当AD最小时，AH最小，

考虑以下三种情况：

①当4C是等边△4DE的高时，如图6,

图6

②如图7,C在边。E上，此时4C>4H,

图7

③如图8,B在边DE上,MAH>AC,

图8

所以在图7中，AQ越往右偏，则越小，

综上，可以得到当A3与AO共线时，A。是最小的，

如图9,AB与AO共线时，AO最小，过C作CFJ.AB于F,

3

・•・AB=V10»

■■S^ABC=\AB-CF^\AC-BC,

：.V10CF=1X3,

CF4=幽

yflQ10

AF=<AC2-CF2=J32_（盍尸=需,

中，

Rt△DFCtan600=—DF,

3V10.

...DF=¥=叵，

V310

AD=AF+DF=—V10+-1

1010

答：等边三角形纸片的边长最小值是+噜）cm.

【解析】解：（1）①在图1和图2中分别过A向DE作垂线AG和AH,

AB=V22+32=V13.

由图1和图2可知：BH>BG,

AG>AH,

••,△ADE为等边三角形，

・•・Z-D=60°»

4

.••图一中AD的长度〉图②中AD的长度，

故答案为：>;

②见答案

(2)见答案

(3)见答案

(4)见答案

⑴①图1和图2中分别作高线AG和A”，根据AG和A”的大小决定结论，由A8相等，

所以根据BGC8H可知：AOAH,可得结论：②画图进行说明即可；

(2)计算OC的长，可知：BC>DC,所以图3这种情况不存在；

(3)当。与B重合时,AO最小，如图4,此时AD=4B；

(4)首先考虑特殊的情况：①4C=高线AH时，如图6,②时，如图7,C在边。E

上，③4c<4,时，如图8,综上，可以得到当AB与4。共线时，AQ是最小的，计算此时

的值即可.

本题是三角形的几何变换综合题目，考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、直角三

角形的性质、三角函数、位似的性质等知识；本题综合性强，难度较大.

2.(2019年南京市联合体中考.模)【概念提出】如图①，若正AOEF的三个顶点分别

在正△力BC的边AB、BC、AC上，则我们称尸是正△ABC的内接正三角形.

⑴求证：A/WF三△BED：

【问题解决】利用直尺和圆规作正三角形的内接正三角形(保留作图痕迹，不写作法).

(2)如图②，正△ABC的边长为。，作正A/IBC的内接正AOEF,使△DEF的边长最短,

并说明理由；

(3)如图③，作正AABC的内接正ADEF,使FD_LAB.

5

【答案】【概念提出】

证明（1）•••△4BC与ADEF都是正三角形，

A44=4B=60°,4EDF=60°,DF=ED,

•：Z.ADF+乙EDF=Z.B+乙BED,

：•LADF=LBED,h.DF=DE,4A=/B=60°

••,AADFmABED：

【问题解决】（2）如图所示：

理由：由(1)易得A/lOF三△BE。三ZiCEF,

过点。作。G_LBE,设BD=x,则4C=BE=a-x,

DG=畀’S^BED=[BE.CG="a-x)•/%=-?(x-52+盘a2；

ZZZ/4N1O

.•.当BL>=$,即点。、E、F是各边中点时，SABED有最大值3a2,

此时△ADF.△CEF的面积均为最大[&2(正4ABC的四分之一)，

则内接正的面积最小，即边长最短.

(3)如图所示:

(1)由等边三角形的性质和外角性质可得乙4OF=4BED,DF=DE,44=48=60。，即可

证^ADF=LBED；

【问题解决】

6

(2)由，DEF=4。片，可知当SADEF最小时，OF的长最小，设8。=%,贝必。=BE=a-x,

可得SABEO=(BE-DG=|(a-x)-yx=~(x-^)2+^fa2;即当x=：

时，SABED有最大值在a2,则内接正AOEF的面积最小，即边长最短.

16

(3)作A8,AC的垂直平分线交点为。，连接AO,作AO的垂直平分线交AB于。，以。为

圆心，0。为半径作圆，交AC于点F,交8c于点E,即可求解.

本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，二次函数的性

质以及尺规作图，由又如=乎。尸，可知当，DEF最小时，力尸的长最小，利用二次函数性

质求的最小值是本题的关键.

3.(2019年南京市建邺区中考模)我们定义：有一组对角相等的四边形叫做“等对角

四边形”.

(1)如图①，四边形ABCD内接于O。，点E在CQ的延长线上，且=证明：四

边形ABCE是“等对角四边形”.

(2)如图②，在“等对角四边形"48CD中，/DAB=乙BCD=53。,=90°,sin53°«

34

c°s53°"g，tm53。，

(3)如图③，在RtAACD中，乙4CD=90。，Z.DAC=30°,CD=4,若四边形ABC£>是

”等对角四边形"，且NB=nC,则8。的最大值是.(直接写出结果)

【答案】(1)证明：•泗边形A8CD内接于。0,

•••乙B+^ADC=180°,

vZ.ADE+Z.ADC=180°,

••・乙B=Z,ADE>

7

vAE-AD,

乙E=乙ADE,

:.乙B=乙E，

・•・四边形A3CE是“等对角四边形”；

(2)如图②，过点。作。E14B于点E,DF1BC于点F,

乙BED=4BFD=90°,

又乙B=90°,

四边形为矩形，

・•.BE=DF,BF=DE,

在RMCDF中

4

tanzFCD==tan53°=

设DF=4x,(：F=3x,则CO=5x

・.•BE=DF=4%,DE=BF=18-3x,AE=17-4%,

np4

在Rt△AOE中-4=53。，tan〃一，，

・・・3DE=4AE

3(18-3%)=4(17-4%),

•,*x-21

CD=5x=10

(3)4+4V3

【解析】

解：⑴见D

答案

(2)见答

(

乙ACD=B

90°,

Z.DAC=①②③与当

30°,

8

Z.CDA=60°,乙4BC=60°,

二点B在以AC为边的等边三角形的外接圆的伞nC上运动，

.•.当8。经过圆心。时，8。最长，即为名。的长，

如图③，连接。O,与弧交于点名，连接OC,作OE〃/1C,与。C的延长线交于点E

•••^ACD=90°,Z.DAC=30°,CD=4,

AC=4V3.

易知40C4=30°,乙COE=/.OCA=30°,

•••OC=OB=4,CE=2,OE=2A/3»

DE=CE+DC=2+4=6

：.OD=>/OE2+DE2=J(2火/+62=4技

OB】=OD+OB1=4V3+4>

则8力的最大值是4仃+4.

故答案为4H+4.

【分析】

(1)证明4B=4E,即可证明四边形48CE是“等对角四边形”；

(2))过点。作DE于点E,。尸1BC于点尸，先证明四边形EBED为矩形，于是BE=DF,

BF=DE,在Rt△CDF中，taMFCD=乌=tan530=可设。F=4x,CF=3x,则CD=5x

则BE=DF=4x,DE=BF=18-3x,AE=17-4x,在RtAADE中，=53°,tan〃=

,%于是3DE=4AE,列出方程3(18-3x)=4(17-4x),求得x=2,即CD=5x=10；

(3))由乙4BC=60。，可知点B在以AC为边的等边三角形的外接圆的卷上运动，当BD

经过圆心。时，80最长，即为当。的长，求出即可.

本题是圆综合题，熟练运用圆的相关性质与三角函数是解题的关键.

4.(2019年南京市滦水区中考.模〉⑴发现:如图1,点A为线段BC外一动点，且BC=a,

AB=b.填空：

当点4位于时，线段AC的长取得最大值，且最大值为(用含a,6的式子

表示)

(2)应用：点A为线段BC外一动点，且8c=4,4B=1,如图2所示，分别以AB,AC

为边，作等边三角形ABO和等边三角形ACE,连接CD,BE.

9

①请找出图中与8E相等的线段，并说明理由：②直接写出线段8E长的最大值.

(3)拓展：如图3,在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(6,0),点

P为线段4B外一动点，且P4=2,PM=PB,4BPM=90°,请直接写出线段AM长

的最大值及此时点尸的坐标.

【答案】(1)CB的延长线上a+b

(2)①CD=BE,

理由：与△ACE是等边三角形，

•••AD=AB,AC=AE,/.BAD=/.CAE=60°,

/.BAD+^BAC=/.CAE+Z.BAC,

即ZTA。=/.EAB,

AD=AB

在△C/W与△EAB中，Z.CAD=Z.EAB,

AC=AE

•••△CW三△EAB(SAS),

:.CD=BE；

②•线段8E长的最大值=线段CD的最大值，

由(1)知，当线段CO的长取得最大值时，点。在CB的延长线上,

•••最大值为80+BC=AB+BC=5；

(3)如图1,

图1

10

•.,将△4PM绕着点P顺时针旋转90。得到△PBN,连接AN,

则AAPN是等腰直角三角形，

PN=PA=2,BN=AM,

4的坐标为(2,0),点B的坐标为(6,0),

••・OA=2,OB=6,

AB—4,

••・线段AM长的最大值=线段长的最大值，

.・.当N在线段ZM的延长线时，线段BN取得最大值,

最大值=AB+AN,

-：AN=\f2AP=2或，

••.最大值为2企+4:

如图2,

过P作PE1x轴于E,

•••△4PN是等腰直角三角形，

PE=AE-y/2>

：.OE=BO-AB-AE=6-4-近=2-瓜

•••P(2-V2.V2).

如图3中，

4\图3

rLV/

11

根据对称性可知当点P在第四象限时，P(2-夜,-e)时，也满足条件.

综上所述，满足条件的点P坐标(2-鱼，疯)或(2-四，一鱼)，AM的最大值为2a+4.

【解析】解：(1)•••点A为线段BC外一动点，且BC=a,AB=b,

・•・当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为8C+4B=a+b,

故答案为：C5的延长线上，a+b；

(1)根据点A位于C8的延长线上时，线段AC的长取得最大值，即可得到结论；

(2)①根据等边三角形的性质得到40=48,AC=AE,^BAD=Z.CAE=60°,推出△

CAD=^EAB,根据全等三角形的性质得到CD=BE；②由于线段8E长的最大值=线段CD

的最大值，根据(1)中的结论即可得到结果；

(3)连接将AAPM绕着点P顺时针旋转90。得到△P8N,连接AM得到AAPN是等腰

直角三角形，根据全等三角形的性质得到PN=PA=2,BN=AM,根据当N在线段BA的

延长线时，线段8N取得最大值，即可得到最大值为2&+4;如图2,过尸作PE1x轴于E,

根据等腰直角三角形的性质即可得到结论.

本题综合考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，最大值问题，旋转的性

质.正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.

5.(2019年南京市玄武区区中考•模)如图，一张半径为的圆形纸片，点。为圆心，

将该圆形纸片沿直线/折叠，直线/交00于A、B两点.

(1)若折叠后的圆弧恰好经过点。，利用直尺和圆规在图中作出满足条件的一条直线(不

写作法，保留作图痕迹)，并求此时线段AB的长度.

(2)已知M是。。内一点，0M=lcm.

①若折叠后的圆弧经过点M,则线段4B长度的取值范围是.

②若折叠后的圆弧与直线OM相切于点M,则线段AB的长度为cm.

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（备用图）

【答案】解：（1）作图如下:

•••点P与点。关于直线/对称，

•・•直线/垂直平分P0,交圆。于点A、B.

••■ow=ipo=1.

在RtzMH。中，

vAH2+HO2=AO2,

：.AH=yjAO2-HO2=—.

2

在。。中，•••P0_L48,P0为半径，

AB=2AH=3V3:

(2)

①2遍<AB<4V2s

②帼.

【解析】

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【分析】

(1)连接A。，直线/垂直平分P。.。，=^P。=|,在RtAAH。中即可求解；

(2)分两种情况求解；

(3)过。作弦A8的垂线与圆。交于点C,与弧AB交于点E,与弦AB交于点、D,过M作

0M的垂线，两条垂线的交点为0',连接AO,得到。。'垂直平分。'为弧A8M所在圆的

圆心，00'=国，在RtZiA。。中即可求解；

本题考查圆的翻折，垂径定理，圆的切线，解直角三角形；熟练用垂径定理，在直角三角形

中求边，分类讨论折叠的情况是解题的关键.

【解答】

解：

(1)见答案；

(2)①如图1：

DM=1,0D=2,

在RtzMDM中，A0=3,0D=2,

AD—V5»

:.AB=2V5：

如图2：

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♦.•弧AB翻折与M重合，OM=1,

MD=-2,DO=1,

在RtMDM中，AO=3,OD=1,

•­•AD=2V2>

AB=4V2;

2V5<AB<4V2：

故答案为：2展£AB040:

(3)如图3：

过。作弦A8的垂线与圆。交于点C,与弧A8交于点E,与弦48交于点。，连接0M,过

点用作0M的垂线，两条垂线的交点为0',连接A。，

••・。。'垂直平分A8,。'为弧ABM所在圆的圆心，

•••折叠后的圆弧与宜线。用相切于点M,

M。'=3,CO=DO',

在Rt△00'M中，OM=1,

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・•・oo'=Vio,

在RtAAC。中，DO=—，40=3,

2

mV26

AD=—，

2

・•,AB=