2024届湖南长沙市雅礼洋湖实验中学中考五模数学试题含解析_第1页
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文档简介

2024届湖南长沙市雅礼洋湖实验中学中考五模数学试题请考生注意:1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上,请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2.答题前,认真阅读答题纸上的《注意事项》,按规定答题。一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)1.实数﹣5.22的绝对值是()A.5.22 B.﹣5.22 C.±5.22 D.2.如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的顶点A的坐标为(﹣1,1),点B在x轴正半轴上,点D在第三象限的双曲线上,过点C作CE∥x轴交双曲线于点E,连接BE,则△BCE的面积为()A.5 B.6 C.7 D.83.估计+1的值在()A.2和3之间 B.3和4之间 C.4和5之间 D.5和6之间4.如图,在⊙O中,直径CD⊥弦AB,则下列结论中正确的是A.AC=AB B.∠C=∠BOD C.∠C=∠B D.∠A=∠B0D5.如图,左、右并排的两棵树AB和CD,小树的高AB=6m,大树的高CD=9m,小明估计自己眼睛距地面EF=1.5m,当他站在F点时恰好看到大树顶端C点.已知此时他与小树的距离BF=2m,则两棵树之间的距离BD是()A.1m B.m C.3m D.m6.已知点为某封闭图形边界上一定点,动点从点出发,沿其边界顺时针匀速运动一周.设点运动的时间为,线段的长为.表示与的函数关系的图象大致如右图所示,则该封闭图形可能是()A. B. C. D.7.函数的图象上有两点,,若,则()A. B. C. D.、的大小不确定8.已知关于x的方程恰有一个实根,则满足条件的实数a的值的个数为()A.1 B.2 C.3 D.49.若⊙O的半径为5cm,OA=4cm,则点A与⊙O的位置关系是()A.点A在⊙O内 B.点A在⊙O上 C.点A在⊙O外 D.内含10.2017年北京市在经济发展、社会进步、城市建设、民生改善等方面取得新成绩、新面貌.综合实力稳步提升.全市地区生产总值达到280000亿元,将280000用科学记数法表示为()A.280×103 B.28×104 C.2.8×105 D.0.28×106二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)11.如图,AB为⊙O的直径,C、D为⊙O上的点,.若∠CAB=40°,则∠CAD=_____.12.如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=5,点E是边CD的中点,将△ADE沿AE折叠后得到△AFE.延长AF交边BC于点G,则CG为_____.13.一个凸多边形的内角和与外角和相等,它是______边形.14.化简的结果为_____.15.如图,⊙O的半径为1cm,正六边形ABCDEF内接于⊙O,则图中阴影部分面积为_____cm1.(结果保留π)16.如图,在菱形ABCD中,AB=BD.点E、F分别在AB、AD上,且AE=DF.连接BF与DE相交于点G,连接CG与BD相交于点H.下列结论:①△AED≌△DFB;②S四边形BCDG=CG2;③若AF=2DF,则BG=6GF.其中正确的结论有_____.(填序号)三、解答题(共8题,共72分)17.(8分)计算:.18.(8分)某工厂准备用图甲所示的A型正方形板材和B型长方形板材,制作成图乙所示的竖式和横式两种无盖箱子.若该工厂准备用不超过10000元的资金去购买A,B两种型号板材,并全部制作竖式箱子,已知A型板材每张30元,B型板材每张90元,求最多可以制作竖式箱子多少只?若该工厂仓库里现有A型板材65张、B型板材110张,用这批板材制作两种类型的箱子,问制作竖式和横式两种箱子各多少只,恰好将库存的板材用完?若该工厂新购得65张规格为的C型正方形板材,将其全部切割成A型或B型板材不计损耗,用切割成的板材制作两种类型的箱子,要求竖式箱子不少于20只,且材料恰好用完,则能制作两种箱子共______只19.(8分)如图,在平面直角坐标xOy中,正比例函数y=kx的图象与反比例函数y=的图象都经过点A(2,﹣2).(1)分别求这两个函数的表达式;(2)将直线OA向上平移3个单位长度后与y轴交于点B,与反比例函数图象在第四象限内的交点为C,连接AB,AC,求点C的坐标及△ABC的面积.20.(8分)已知关于x的一元二次方程x2+2(m﹣1)x+m2﹣3=0有两个不相等的实数根.(1)求m的取值范围;(2)若m为非负整数,且该方程的根都是无理数,求m的值.21.(8分)如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A,C分别在x轴,y轴的正半轴上,且OA=4,OC=3,若抛物线经过O,A两点,且顶点在BC边上,对称轴交AC于点D,动点P在抛物线对称轴上,动点Q在抛物线上.(1)求抛物线的解析式;(2)当PO+PC的值最小时,求点P的坐标;(3)是否存在以A,C,P,Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出P,Q的坐标;若不存在,请说明理由.22.(10分)如图,在大楼AB正前方有一斜坡CD,坡角∠DCE=30°,楼高AB=60米,在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°,在斜坡上的D处测得楼顶B的仰角为45°,其中点A,C,E在同一直线上.求坡底C点到大楼距离AC的值;求斜坡CD的长度.23.(12分)计算:1224.解不等式组并写出它的整数解.

参考答案一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)1、A【解析】

根据绝对值的性质进行解答即可.【详解】实数﹣5.1的绝对值是5.1.故选A.【点睛】本题考查的是实数的性质,熟知绝对值的性质是解答此题的关键.2、C【解析】

作辅助线,构建全等三角形:过D作GH⊥x轴,过A作AG⊥GH,过B作BM⊥HC于M,证明△AGD≌△DHC≌△CMB,根据点D的坐标表示:AG=DH=-x-1,由DG=BM,列方程可得x的值,表示D和E的坐标,根据三角形面积公式可得结论.【详解】解:过D作GH⊥x轴,过A作AG⊥GH,过B作BM⊥HC于M,设D(x,),∵四边形ABCD是正方形,∴AD=CD=BC,∠ADC=∠DCB=90°,易得△AGD≌△DHC≌△CMB(AAS),∴AG=DH=﹣x﹣1,∴DG=BM,∵GQ=1,DQ=﹣,DH=AG=﹣x﹣1,由QG+DQ=BM=DQ+DH得:1﹣=﹣1﹣x﹣,解得x=﹣2,∴D(﹣2,﹣3),CH=DG=BM=1﹣=4,∵AG=DH=﹣1﹣x=1,∴点E的纵坐标为﹣4,当y=﹣4时,x=﹣,∴E(﹣,﹣4),∴EH=2﹣=,∴CE=CH﹣HE=4﹣=,∴S△CEB=CE•BM=××4=7;故选C.【点睛】考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、反比例函数的性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会构建方程解决问题.3、B【解析】分析:直接利用2<<3,进而得出答案.详解:∵2<<3,∴3<+1<4,故选B.点睛:此题主要考查了估算无理数的大小,正确得出的取值范围是解题关键.4、B【解析】

先利用垂径定理得到弧AD=弧BD,然后根据圆周角定理得到∠C=∠BOD,从而可对各选项进行判断.【详解】解:∵直径CD⊥弦AB,∴弧AD=弧BD,∴∠C=∠BOD.故选B.【点睛】本题考查了垂径定理和圆周角定理,垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.5、B【解析】

由∠AGE=∠CHE=90°,∠AEG=∠CEH可证明△AEG∽△CEH,根据相似三角形对应边成比例求出GH的长即BD的长即可.【详解】由题意得:FB=EG=2m,AG=AB﹣BG=6﹣1.5=4.5m,CH=CD﹣DH=9﹣1.5=7.5m,∵AG⊥EH,CH⊥EH,∴∠AGE=∠CHE=90°,∵∠AEG=∠CEH,∴△AEG∽△CEH,∴==,即=,解得:GH=,则BD=GH=m,故选:B.【点睛】本题考查了相似三角形的应用,解题的关键是从实际问题中抽象出相似三角形.6、A【解析】

解:分析题中所给函数图像,段,随的增大而增大,长度与点的运动时间成正比.段,逐渐减小,到达最小值时又逐渐增大,排除、选项,段,逐渐减小直至为,排除选项.故选.【点睛】本题考查了动点问题的函数图象,函数图象是典型的数形结合,图象应用信息广泛,通过看图获取信息,不仅可以解决生活中的实际问题,还可以提高分析问题、解决问题的能力.用图象解决问题时,要理清图象的含义即会识图.7、A【解析】

根据x1、x1与对称轴的大小关系,判断y1、y1的大小关系.【详解】解:∵y=-1x1-8x+m,∴此函数的对称轴为:x=-=-=-1,∵x1<x1<-1,两点都在对称轴左侧,a<0,∴对称轴左侧y随x的增大而增大,∴y1<y1.故选A.【点睛】此题主要考查了函数的对称轴求法和函数的单调性,利用二次函数的增减性解题时,利用对称轴得出是解题关键.8、C【解析】

先将原方程变形,转化为整式方程后得2x2-3x+(3-a)=1①.由于原方程只有一个实数根,因此,方程①的根有两种情况:(1)方程①有两个相等的实数根,此二等根使x(x-2)≠1;(2)方程①有两个不等的实数根,而其中一根使x(x-2)=1,另外一根使x(x-2)≠1.针对每一种情况,分别求出a的值及对应的原方程的根.【详解】去分母,将原方程两边同乘x(x﹣2),整理得2x2﹣3x+(3﹣a)=1.①方程①的根的情况有两种:(1)方程①有两个相等的实数根,即△=9﹣3×2(3﹣a)=1.解得a=.当a=时,解方程2x2﹣3x+(﹣+3)=1,得x1=x2=.(2)方程①有两个不等的实数根,而其中一根使原方程分母为零,即方程①有一个根为1或2.(i)当x=1时,代入①式得3﹣a=1,即a=3.当a=3时,解方程2x2﹣3x=1,x(2x﹣3)=1,x1=1或x2=1.4.而x1=1是增根,即这时方程①的另一个根是x=1.4.它不使分母为零,确是原方程的唯一根.(ii)当x=2时,代入①式,得2×3﹣2×3+(3﹣a)=1,即a=5.当a=5时,解方程2x2﹣3x﹣2=1,x1=2,x2=﹣.x1是增根,故x=﹣为方程的唯一实根;因此,若原分式方程只有一个实数根时,所求的a的值分别是,3,5共3个.故选C.【点睛】考查了分式方程的解法及增根问题.由于原分式方程去分母后,得到一个含有字母的一元二次方程,所以要分情况进行讨论.理解分式方程产生增根的原因及一元二次方程解的情况从而正确进行分类是解题的关键.9、A【解析】

直接利用点与圆的位置关系进而得出答案.【详解】解:∵⊙O的半径为5cm,OA=4cm,∴点A与⊙O的位置关系是:点A在⊙O内.故选A.【点睛】此题主要考查了点与圆的位置关系,正确①点P在圆外⇔d>r,②点P在圆上⇔d=r,③点P在圆内⇔d<r是解题关键.10、C【解析】

科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.【详解】将280000用科学记数法表示为2.8×1.故选C.【点睛】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)11、25°【解析】

连接BC,BD,根据直径所对的圆周角是直角,得∠ACB=90°,根据同弧或等弧所对的圆周角相等,得∠ABD=∠CBD,从而可得到∠BAD的度数.【详解】如图,连接BC,BD,∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∵∠CAB=40°,∴∠ABC=50°,∵,∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=25°,∴∠CAD=∠CBD=25°.故答案为25°.【点睛】本题考查了圆周角定理及直径所对的圆周角是直角的知识点,解题的关键是正确作出辅助线.12、【解析】

如图,作辅助线,首先证明△EFG≌△ECG,得到FG=CG(设为x),∠FEG=∠CEG;同理可证AF=AD=5,∠FEA=∠DEA,进而证明△AEG为直角三角形,运用相似三角形的性质即可解决问题.【详解】连接EG;∵四边形ABCD为矩形,∴∠D=∠C=90°,DC=AB=4;由题意得:EF=DE=EC=2,∠EFG=∠D=90°;在Rt△EFG与Rt△ECG中,,∴Rt△EFG≌Rt△ECG(HL),∴FG=CG(设为x),∠FEG=∠CEG;同理可证:AF=AD=5,∠FEA=∠DEA,∴∠AEG=×180°=90°,而EF⊥AG,可得△EFG∽△AFE,∴∴22=5•x,∴x=,∴CG=,故答案为:.【点睛】此题考查矩形的性质,翻折变换的性质,以考查全等三角形的性质及其应用、射影定理等几何知识点为核心构造而成;对综合的分析问题解决问题的能力提出了一定的要求.13、四【解析】

任何多边形的外角和是360度,因而这个多边形的内角和是360度.n边形的内角和是(n-2)•180°,如果已知多边形的内角和,就可以得到一个关于边数的方程,解方程就可以求出多边形的边数.【详解】解:设边数为n,根据题意,得(n-2)•180=360,解得n=4,则它是四边形.故填:四.【点睛】此题主要考查已知多边形的内角和求边数,可以转化为方程的问题来解决.14、+1【解析】

利用积的乘方得到原式=[(﹣1)(+1)]2017•(+1),然后利用平方差公式计算.【详解】原式=[(﹣1)(+1)]2017•(+1)=(2﹣1)2017•(+1)=+1.故答案为:+1.【点睛】本题考查了二次根式的混合运算,在二次根式的混合运算中,如能结合题目特点,灵活运用二次根式的性质,选择恰当的解题途径,往往能事半功倍.15、【解析】试题分析:根据图形分析可得求图中阴影部分面积实为求扇形部分面积,将原图阴影部分面积转化为扇形面积求解即可.试题解析:如图所示:连接BO,CO,∵正六边形ABCDEF内接于⊙O,∴AB=BC=CO=1,∠ABC=110°,△OBC是等边三角形,∴CO∥AB,在△COW和△ABW中,∴△COW≌△ABW(AAS),∴图中阴影部分面积为:S扇形OBC=.考点:正多边形和圆.16、①②③【解析】

(1)由已知条件易得∠A=∠BDF=60°,结合BD=AB=AD,AE=DF,即可证得△AED≌△DFB,从而说明结论①正确;(2)由已知条件可证点B、C、D、G四点共圆,从而可得∠CDN=∠CBM,如图,过点C作CM⊥BF于点M,过点C作CN⊥ED于点N,结合CB=CD即可证得△CBM≌△CDN,由此可得S四边形BCDG=S四边形CMGN=2S△CGN,在Rt△CGN中,由∠CGN=∠DBC=60°,∠CNG=90°可得GN=CG,CN=CG,由此即可求得S△CGN=CG2,从而可得结论②是正确的;(3)过点F作FK∥AB交DE于点K,由此可得△DFK∽△DAE,△GFK∽△GBE,结合AF=2DF和相似三角形的性质即可证得结论④成立.【详解】(1)∵四边形ABCD是菱形,BD=AB,∴AB=BD=BC=DC=DA,∴△ABD和△CBD都是等边三角形,∴∠A=∠BDF=60°,又∵AE=DF,∴△AED≌△DFB,即结论①正确;(2)∵△AED≌△DFB,△ABD和△DBC是等边三角形,∴∠ADE=∠DBF,∠DBC=∠CDB=∠BDA=60°,∴∠GBC+∠CDG=∠DBF+∠DBC+∠CDB+∠GDB=∠DBC+∠CDB+∠GDB+∠ADE=∠DBC+∠CDB+∠BDA=180°,∴点B、C、D、G四点共圆,∴∠CDN=∠CBM,如下图,过点C作CM⊥BF于点M,过点C作CN⊥ED于点N,∴∠CDN=∠CBM=90°,又∵CB=CD,∴△CBM≌△CDN,∴S四边形BCDG=S四边形CMGN=2S△CGN,∵在Rt△CGN中,∠CGN=∠DBC=60°,∠CNG=90°∴GN=CG,CN=CG,∴S△CGN=CG2,∴S四边形BCDG=2S△CGN,=CG2,即结论②是正确的;(3)如下图,过点F作FK∥AB交DE于点K,∴△DFK∽△DAE,△GFK∽△GBE,∴,,∵AF=2DF,∴,∵AB=AD,AE=DF,AF=2DF,∴BE=2AE,∴,∴BG=6FG,即结论③成立.综上所述,本题中正确的结论是:故答案为①②③点睛:本题是一道涉及菱形、相似三角形、全等三角形和含30°角的直角三角形等多种几何图形的判定与性质的题,题目难度较大,熟悉所涉及图形的性质和判定方法,作出如图所示的辅助线是正确解答本题的关键.三、解答题(共8题,共72分)17、10【解析】【分析】先分别进行0次幂的计算、负指数幂的计算、二次根式以及绝对值的化简、特殊角的三角函数值,然后再按运算顺序进行计算即可.【详解】原式=1+9-+4=10-+=10.【点睛】本题考查了实数的混合运算,涉及到0指数幂、负指数幂、特殊角的三角函数值等,熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键.18、(1)最多可以做25只竖式箱子;(2)能制作竖式、横式两种无盖箱子分别为5只和30只;(3)47或1.【解析】

表示出竖式箱子所用板材数量进而得出总金额即可得出答案;设制作竖式箱子a只,横式箱子b只,利用A型板材65张、B型板材110张,得出方程组求出答案;设裁剪出B型板材m张,则可裁A型板材张,进而得出方程组求出符合题意的答案.【详解】解:设最多可制作竖式箱子x只,则A型板材x张,B型板材4x张,根据题意得解得.答:最多可以做25只竖式箱子.设制作竖式箱子a只,横式箱子b只,根据题意,得,解得:.答:能制作竖式、横式两种无盖箱子分别为5只和30只.设裁剪出B型板材m张,则可裁A型板材张,由题意得:,整理得,,.竖式箱子不少于20只,或22,这时,或,.则能制作两种箱子共:或.故答案为47或1.【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用,解题的关键是理解题意,列出等式.19、(1)反比例函数表达式为,正比例函数表达式为;(2),.【解析】试题分析:(1)将点A坐标(2,-2)分别代入y=kx、y=求得k、m的值即可;(2)由题意得平移后直线解析式,即可知点B坐标,联立方程组求解可得第四象限内的交点C得坐标,可将△ABC的面积转化为△OBC的面积.试题解析:()把代入反比例函数表达式,得,解得,∴反比例函数表达式为,把代入正比例函数,得,解得,∴正比例函数表达式为.()直线由直线向上平移个单位所得,∴直线的表达式为,由,解得或,∵在第四象限,∴,连接,∵,,,.20、(1)m<2;(2)m=1.【解析】

(1)利用方程有两个不相等的实数根,得△=[2(m-1)]2-4(m2-3)=-8m+2>3,然后解不等式即可;

(2)先利用m的范围得到m=3或m=1,再分别求出m=3和m=1时方程的根,然后根据根的情况确定满足条件的m的值.【详解】(1)△=[2(m﹣1)]2﹣4(m2﹣3)=﹣8m+2.∵方程有两个不相等的实数根,∴△>3.即﹣8m+2>3.解得m<2;(2)∵m<2,且m为非负整数,∴m=3或m=1,当m=3时,原方程为x2-2x-3=3,解得x1=3,x2=﹣1(不符合题意舍去),当m=1时,原方程为x2﹣2=3,解得x1=,x2=﹣,综上所述,m=1.【点睛】本题考查了根的判别式:一元二次方程ax2+bx+c=3(a≠3)的根与△=b2-4ac有如下关系:当△>3时,方程有两个不相等的实数根;当△=3时,方程有两个相等的实数根;当△<3时,方程无实数根.21、(1)y=x2+3x;(2)当PO+PC的值最小时,点P的坐标为(2,);(3)存在,具体见解析.【解析】

(1)由条件可求得抛物线的顶点坐标及A点坐标,利用待定系数法可求得抛物线解析式;(2)D与P重合时有最小值,求出点D的坐标即可;(3)存在,分别根据①AC为对角线,②AC为边,两种情况,分别求解即可.【详解】(1)在矩形OABC中,OA=4,OC=3,∴A(4,0),C(0,3),∵抛物线经过O、A两点,且顶点在BC边上,∴抛物线顶点坐标为(2,3),∴可设抛物线解析式为y=a(x﹣2)2+3,把A点坐标代入可得0=a(4﹣2)2+3,解得a=,∴抛物线解析式为y=(x﹣2)2+3,即y=x2+3x;(2)∵点P在抛物线对称轴上,∴PA=PO,∴PO+PC=PA+PC.∴当点P与点D重合时,PA+PC=AC;当点P不与点D重合时,PA+PC>AC;∴当点P与点D重合时,PO+PC的值最小,设直线AC的解析式为y=kx+b,根据题意,得解得∴直线AC的解析式为,当x=2时,,∴当PO+PC的值最小时,点P的坐标为(2,);(3)存在.①AC为对角线,当四边形AQCP为平行四边形,点Q为抛物线的顶点,即Q(2,3),则P(2,0);②AC为边,当四边形AQPC为平行四边形,点C向右平移2个单位得到P,则点A向右平移2个单位得到点Q,则Q点的横坐标为6,当x=6时,,此时Q(6,−9),则点A(4,0)向右平移2个单位,向下平移9个单位得到点Q,所以点C(0,3)

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