2022-2023学年广东省惠州市惠阳区黄埔实验学校九年级下学期开学数学试卷含详解

2022-2023学年广东省惠州市惠阳区黄埔实验学校

九年级下学期开学数学练习

一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1.若一元二次方程2犬-4x+l=°的两个根为七、X"则王匹是（）

A.1B.-1C.2D.1

2.下列方程中，一元二次方程共有（）

1Y

①3炉+》=20②2f-3xy+4=0@x2——=4©X2-3X=4@X2--+3=0

x3

A.2个B.3个C.4个D.5个

3.下列几何图形中为圆柱体的是（）

A昌B七?c（ED

4.如图，已知菱形A3CD的边长为2,对角线AC,8。相交于点。，点M,N分别是边BC,CD上的动点，

ABAC=AMAN=60°,连接ACV,OJ\kf,则下列结论错误的是（）

AD

BMC

A.AAW是等边三角形B.MN的最小值是J5

2

C.当MN最小时,S4CMN=~S菱形/收:DD.当加，8c时，OA=DNAB

o

5.如图，在△ABC中，AB=3,AC=4,BC=5,尸为边3c上一动点，PELAB于E,PF±AC^F,则所最小值

为（）

A

bpc

A.2B.2.2C.2.4D.2.5

6.已知2是关于x的方程尤2_2MX+3相=0的一个根，并且等腰三角形ABC的腰和底边长恰好是这个方程的两

个根，则的周长为（）

A.10B.14C.10或14D.8或10

7.如图，在MAABC纸片中，ZACB=90°,AC=4,BC=3,点、D,E分别在BC,AB边上，连接DE,将△BDE

沿。E翻折，使点B落在点尸的位置，连接AF,若四边形8EFD是菱形，则AF的长的最小值为（）

l53

A.-yr/5B.&C.—D.—

一3

8.在反比例函数y=—-图象上的点为（）

x

A.（1,3）B.（-1,-3）C,（3,-1）D,（-3,-1）

9.如图所示，点P是边长为2的正方形ABCD的对角线BD上的动点，过点P分别作PELBC于点E,PFLDC于

点F,连接AP并延长，交射线BC于点H,交射线DC于点M,连接EF交AH于点G,当点P在BD上运动时

（不包括B、D两点），以下结论中：①MF=MC；②AP=EF；®AH±EF；®AP2=PM'PH；⑤EF的最小值是

72.其中正确结论有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

10.如图，边长为2的正方形ABCO中，点E、F分别在A。、AB上（点E不与点。重合），DE=AF,DF、CE交

于点G,则AG的取值范围是（）

EU\G

A.V2-l<AG<2B.V3-l<AG<2

C.1<AG<2D.V5-l<AG<2

二.填空题(共7小题，满分28分，每小题4分)

11.一个三角形的两边长为3和5,第三边长为方程式—5%+6=0的根，则这个三角形的周长为.

12已知根、〃是一元二次方程Y+龙一2023=0的两个实数根，则代数式2机二+加的值等于.

13.在阳光下，身高1.6〃?.的小林在地面上的影长为2〃?，在同一时刻，测得学校的旗杆在地面上的影长为10根，则

旗杆的高度为m.

14.方程，f_］=］根是.

15.如图，已知。［4、△A£4、△&A4、…均为等腰直角三角形，直角顶点;、P>鸟、…在函数

y=±(%>0)图象上，点4、4、&、…在x轴的正半轴上，则点鸟oio的横坐标为.

16如图，长方形A3CD中，BC=2,DC=1,如果将该长方形沿对角线折叠，使点C落在点C处，那么图

中重叠部分的面积是

17.如图，在正方形ABCD中，AB=3,点E,F分别在CD,AD上，CE=DF,BE,CF相交于点G,若图中阴影部

分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3,则ABCG的周长为

三.解答题（共8小题，满分62分）

（2CC

18.如果石=1=7=左+/wO）,且a+c+e=3（Z?+d+/）.求左的值.

19.3/-（x-2>=5.

20.米奇家住宅面积为90平方米，其中客厅30平方米，大卧室18平方米，小卧室15平方米，厨房14平方米,

大卫生间9平方米，小卫生间4平方米.如果一只小猫在该住宅内地面上任意跑.求：

（DP（在客厅捉到小猫）；

（2）P（在小卧室捉到小猫）；

（3）P（在卫生间捉到小猫）；

（4）P（不在卧室捉到小猫）.

21.数学课上，老师出示了一道题目：如图1,在，A6C中，AB=AC,点£在A5上，点。在CB的延长线

上，且ED=EC,试探究线段A£、BD、AB.之间存在的数量关系，并说明理由.

（1）［猜想证明］线段AEBD、AB.5c的关系是——=——.请补全下列证明思路；

BDBC

如图1：过点E作所〃3C交AC于点F,则NFEC=NECD,

'：ED=EC,

:.NEDB=NECD,

：./EDB=NFEC,

又：AB=AC,

ZABC=ZACB,

ZABC=ZEDB+ZDEB,ZACB=NECF+ZECD.

ZDEB=ZECF.

,DBE9（ASA）,

•••BD=EF,

.AEFs.

,AE_

••一,

AB-------------

AE

•••-—,

AB-------------

.AE_AB

"BD~BC'

（2）［变式拓展］

如图2,在，ABC中，A3=A。，点E在朋的延长线上，点O在直线上，且ED=EC.请你在图2中补齐

图形.并探索（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出完整的证明；若不成立，请直接写出新的结论.

图1图2

1n

22.如图，已知A（-4,-）,B（-Jl,m）是一次函数y=kx+b与反比例函数y=—图象的两个交点，AC_Lx轴

于点C,BD_Ly轴于点D.

（1）求m的值及一次函数解析式；

（2）P是线段AB上的一点，连接PC、PD,若4PCA和4PDB面积相等，求点P坐标.

23.如图1,△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD=CF,

BD_LCF成立.

(1)当正方形ADEF绕点A逆时针旋转0(0。<0<90。)时，如图2,BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成

立，请说明理由.

(2)当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45。时，如图3,延长BD交CF于点G.

①求证：BDXCF；

②当AB=4,AD=J^■时，求线段BG的长.

24.如图，在边长为16的菱形ABCD中，AC、BD为对角线,NBCD=60°,点E、F分别是边AB、边BC上的

动点，连接DE、DF、EF.

(1)当点E、点F分别是边AB,边BC的中点时.

①求证：』无反是等边三角形；

②若点G是对角线AC上的动点，连接EG,FG,则直接写出EG+RG的最小值为；

(2)若点H是对角线AC上的动点，连接EH、FH,则直接写出石H+E修的最小值为；

(3)若AE=BF=4,EF交BD于点K,点P、点Q分别是线段DE、线段DF上的动点，连接KQ、PQ,则直

接写出KQ+PQ的最小值为.

25.将一个直角三角形纸片。46放置在平面直角坐标系中，点0(0,0),点A(2,0),点B在第一象限,

ZOAB=90°,NB=30°,点尸在边上(点P不与点0,3重合).

（2）折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P,并与x轴的正半轴相交于点。，且。，点。的对应点为

0',设OP=t.

①如图②，若折叠后.。'尸。与，。钻重叠部分为四边形，O'RO'Q分别与边A5相交于点C。，试用含有f的

式子表示OZ）的长，并直接写出/的取值范围；

②若折叠后-O'PQ与八。W重叠部分的面积为S,当1W/W3时，求S的取值范围（直接写出结果即可）.

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九年级下学期开学数学练习

一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1.若一元二次方程2犬-4x+l=°的两个根为七、X"则王匹是（）

A.1B.-1C.2D.1

【答案】D

【分析】利用两根之积等于上即可解决问题.

a

【详解】解：一元二次方程2必—4x+l=0的两个根为不、巧，

1

•.•和力2=5，

故选：D.

bc

【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记“两根之和等于-一，两根之积等于一”是解

aa

题的关键.

2.下列方程中，一元二次方程共有（）

1

222

@3X+X=20②2x2—3xy+4=0③/——=4@x-3x=4@%一--+3=0

x3

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】B

【分析】根据一元二次方程的定义解答.

【详解】解：①符合一元二次方程的定义，故本选项正确；

②含有x、y两个未知数，故本选项错误；

③分母中含有未知数，故本选项错误；

④符合一元二次方程的定义，故本选项正确；

⑤符合一元二次方程的定义，故本选项正确；

故选:B

【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后

看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2.

3.下列几何图形中为圆柱体的是()

【答案】C

【详解】解：选项A是圆台，B是圆锥，C是圆柱，D是三棱柱.

故选C.

4.如图，已知菱形A3CD的边长为2,对角线AC,5。相交于点。，点N分别是边BC,CD上的动点,

N54C=NM4N=60。，连接儿W,OM,则下列结论错误的是()

A.4W是等边三角形B.的最小值是&

C.当最小时，5徵加=：5菱形.0D.当8c时，OA2=DNAB

o

【答案】B

【分析】由菱形的性质结合题意易证和ACD都是等边三角形，即得出NABM=NAC/V=60°,

AB=AC.又易证4AM=NC4N=60°—NC4M,从而可证△54"也△CW(ASA),即得出

AM=AN,即是等边三角形，可判断选项A正确；由垂线段最短可知当8c时，AM的值最小，此

时的值也最小.再根据含30度角的直角三角形的性质可求出BM=LA3=1.最后根据勾股定理即可求出

2

AM=布=MN,可判断选项B错误；由AM_LBC时，的值最小，此时即得出

CN=BM=-BC=-CD,从而得出DN=CN.又易诬MMNs&BD,即得出叁”=(也］=-,

22SACBDVCB)4

结合菱形的性质即可得出S»=：x1S菱形.。=：S菱形Mo，可判断选项C

4Zo

CMOC

正确；由题意易证cOCMs.5co,即得出=再根据CM=DV,即得出QTVMDN.AB，可判断

OCCB

选项D正确.

【详解】•••四边形A3CD是菱形，

AB=BC=AD—CD，AB//CD，AC.LBD,OA—OC,

ZBAC=ZACD=60°,

：.ABC和&ACD都是等边三角形，

ZABM=ZACN=60°,AB=AC.

,：ZMAN=60°,

：.ZBAM=ZCAN=600-ZCAM,

/\BAMKCW(ASA),

：.AMAN,

...「4W是等边三角形，故选项A正确；

当8c时，AM的值最小，此时MN的值也最小.

VZAMB=90°,ZABAf=60°,AB=2,

：.ZBAM=30°,

：.BM=-AB=l.

2

在RtABM中，AM=^AB--BM2=V22-I2=73>

:.MN=6，即MV的最小值是君.故选项B错误；

：4W_LBC时，“W的值最小，此时=

CN=BM=-BC=-CD,

22

：.DN=CN,

：.MN//BD,

：.4CMN""BD,

.S^CMN(CM^

•.SMBDVCB)[2)4'

•c_J_c

,,04CMN_4u^CBD•

・S^cBD~]S菱形ABCD，

•,S^CMN=二*工S菱形二dS菱形ABCD，故选项C正确；

4Zo

VCB=CD,BM=CN,

：.CB-BM=CD-CN,

：.CM=DN.

•：OMLBC,

/.NCMO=NCOB=9。。.

■：ZOCM=ZBCO,

_OCMsBCO,

,CMPC

,•工—ZF'

/.OC2=CMCB，

，0尺=DNAB，故选项D正确.

故选B.

【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角形相似的判

定和性质，含30度角的直角三角形的性质，垂线段最短等知识，综合性强，考查的知识点全面，选择题中的压轴

题.熟练掌握菱形的性质是解题关键.

5.如图，在△ABC中，AB=3,AC=4,BC=5,P为边BC上一动点,PELAB于E,PFLAC^F,则EF的最小值

为（）

A

A.2B,2.2C.2.4D.2.5

【答案】C

【分析】连接AP,根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形4EPF是矩形，根据矩形的对角线相等，得

EF=AP,则EF的最小值即为AP的最小值，根据垂线段最短，知："的最小值即等于直角三角形ABC斜边上的

【详解】解：如图，连接AP,

A

F

DpC

:在△ABC中，AB=3,AC=4,BC=5,

.'.AB-+A^BC2,

即ZBAC=90°.

又；PE_LAB于E,PF±AC^F,

四边形AEP尸是矩形，

：.EF=AP,

因为A尸的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即2.4,

...EF的最小值为2.4,

故选：C.

【点睛】此题综合运用了勾股定理的逆定理、矩形的判定及性质、直角三角形的性质，要能够把要求的线段的最

小值转换为便于分析其最小值的线段.

6.已知2是关于x的方程2^+3机=0的一个根，并且等腰三角形ABC的腰和底边长恰好是这个方程的两

个根，则的周长为()

A.10B.14C.10或14D.8或10

【答案】B

【分析】把x=2代入方程求出机的值，进而求出方程的两个根，再根据等腰三角形的定义结合构成三角形的条件

进行求解即可.

【详解】解：；2是关于x的方程23+3m=0的一个根，

*,*把％=2代入方程得：4—4zn+3m-0,

**.解得m=4,

原方程为：X2-8X+12=0)即(x—6)(x—2)=0,

.••方程的两个根分别是2,6,

又：等腰三角形ABC的腰和底边长恰好是这个方程的两个根，

二若2是等腰三角形ABC的腰长，则的三边长分别为2,2,6,

,/2+2=4<6,

•••此时不能构成三角形，

•,•若6是等腰三角形ABC的腰长，则底边长为2,

6—2<6<6+2,

此时能构成三角形，

.••三角形ABC的周长为：6+6+2=14,

故选：B.

【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的解，等腰三角形的定义，构成三角形的条件等等，正确

把》=2代入方程求出m的值是解题的关键.

7.如图，在MAABC纸片中，ZACB=90°,AC=4,BC=3,点D,E分别在BC,AB边上，连接DE,将△BDE

沿OE翻折，使点B落在点尸的位置，连接AF,若四边形BEFD是菱形，则河的长的最小值为（）

「l53

A.y/5B.73c.-D.y

【答案】A

【分析】连接交瓦》于点0,设所与AC交于点G.根据菱形的性质可得点尸在NABC的平分线上运动，从而

得到当产时，AF的长最小.再证明△BEOSA可得BE=』AB=AE,再证明AAGEs△ACB,

2

EG=-BC=1.5,AG=-AC=2,从而得到GP=1,再由勾股定理，即可求解.

22

【详解】解：如图，连接3尸交即于点。，设即与AC交于点G.

B

•••四边形BMD是菱形，

/平分NABC,

/.点F^ZABC的平分线上运动，

.•.当时，AP的长最小.

在菱形BEED中，BF±ED,OB=OF,EF//BC,

：.EO//AF,

:ABEOSABAF,

.BE_OEBO_1

"AB~AF~BF~2)

：.BE=-AB=AE,

2

在RtABC中，ACM,3C=3,

\AB=5,

•・BE=AE=2.5,

：AF_LBF,

•・EF=2.5,

：EF//BC,

・・AAGE^AACB,

.EGAG4/71

—=-,ZAGE=ZACB=90°,

*BC-ACAB2

,,EG=-BC=1.5,AG=-AC=2,

22

\GF=EF-EG=1,

：ZAGF=ZAGE=90°,

AF=VAG2+GF2=V22+12=75-

故选：A

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，菱形的性质，熟练掌握相似三角形的判

定和性质，直角三角形的性质，菱形的性质，准确得到点/在NABC的平分线上运动是解题的关键.

_3

8.在反比例函数y=—-图象上的点为()

x

A.(1,3)B.(-L-3)C,(3,-1)D,(-3,-1)

【答案】C

3

【分析】依次把各个选项的横坐标代入反比例函数y=——,求出纵坐标的值，即可得到答案.

x

【详解】解：：反比例函数的比例系数为-3,

.••在该反比例函数上的点的横纵坐标的积为-3,

A、1x3=3,不符合题意；

B、-1x(-3)=3,不符合题意；

C、3x(-1)=-3,符合题意；

D、-3X(-1)=3,不符合题意；

故选：C.

【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确掌握代入法是解题的关键.

9.如图所示，点P是边长为2的正方形ABCD的对角线BD上的动点，过点P分别作PELBC于点E,PFLDC于

点E连接AP并延长，交射线BC于点H,交射线DC于点M,连接EF交AH于点G,当点P在BD上运动时

(不包括B、D两点)，以下结论中：①MF=MC；②AP=EF；®AH±EF；®AP2=PM«PH；⑤EF的最小值是

V2.其中正确结论有()

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】C

【分析】由点P为BD中点时，MC=(#MF,可得①错误；连接PC,交EF于0,由点P在BD上，可得AP=PC,

根据PF±CD,PE±BC,/BCF=90。可得四边形PECF是矩形，可得EF=PC,即判断②正确；利用SSS可证明

△APD^ACPD,可得ZDAP=ZDCP,由矩形的性质可得ZOCF=ZOFC,即可证明ZDAP=ZOFC,可得

ZDAP+ZAMD=ZOFC+ZAMD=90°,即可判断③正确；根据平行线的性质可得/DAP=/H,可得/DCP=/H,

PCPM

由ZHPC是公共角可证明ACPMSAHPC,根据相似三角形的性质可得——=——，根据PC=AP即可判断④正确,

PHPC

当PCXBD时PC的值最小，根据等腰直角三角形的性质可求出PC的最小值为a,根据EF=PC即可判断⑤正确；

综上即可得答案.

【详解】当点P为BD中点时，点M与点C重合，MC=0WMF,故①错误，

连接PC,交EF于0,

•点P在BD上，BD为正方形ABCD的对角线，

；.AP=PC,

VPFXCD,PE_LBC,ZBCF=90°,

四边形PECF是矩形，

；.EF=PC,

.,.AP=EF,故②正确，

VAD=CD,AP=PC,PD=PD,

AAPD^ACPD,

AZDAP=ZDCP,

••,四边形PECF是矩形，

.\ZOCF=ZOFC,

ZDAP=Z0FC,

ZDAP+ZAMD=ZOFC+ZAMD=90°,

ZFGM=90°,BPAHXEF,故③正确，

VAD//BH,

.\ZDAP=ZH,

VZDAP=ZDCP,

AZMCP=ZH,

：/CPH为公共角，

,.△CPMSAHPC,

.PCPM

PH-PC'

VAP=PC,

.\AP2=PM«PH,故④正确，

当PCLBD时，PC有最小值，PC=1BD=72>

,."PC=EF

.•.EF的最小值为故⑤正确,

综上所述：正确的结论有②③④⑤，共4个，

故选C.

【点睛】本题考查正方形的性质、矩形的判定与性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定

理及正方形的性质是解题关键.

10.如图，边长为2的正方形ABCD中，点£、F分别在AD、AB（点E不与点。重合），DE=AF,DF、CE交

于点G,则AG的取值范围是（）

A.V2-1<AG<2B.73-1<AG<2

C.1<AG<2D.V5-l<AG<2

【答案】D

【分析】通过证明△DECg^AFD得出NDGE=90。，可知ADGC是直角三角形，则G点运动轨迹是以DC为直径

的圆上，设圆的圆心为O,当A、G、O三点共线时，AG最短.由点E不与点D重合可得AG<2.

【详解】解：VAD=DC,ZEDC=ZFAD,DE=AF,

.,.△DEC丝△AFD(SAS).

ZDCE=ADF.

ZDCE+ZDEC=90°,

ZADF+ZDEC=90°,即NDGE=90°=NDGC.

所以点G运动的轨迹在以DC为直径的圆上的一段弧，圆心在DC中点O处.

当A、G、O三点共线时，AG最短，如图所示.

此时AO=AD2+DO2=A/4+1=A/5，OG=；DC=1,

所以AG=AO-OG=75-1.

因为点E不与点D重合，所以AG<2.

所以石-1SAG<2.

【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，解决动点问题的最值问题，要先

分析出动点运动的轨迹，根据轨迹特征确定最大或最小值.

二.填空题(共7小题，满分28分，每小题4分)

11.一个三角形的两边长为3和5,第三边长为方程式—5%+6=0的根，则这个三角形的周长为.

【答案】11

【分析】先运用因式分解法解一元二次方程得到第三边的可能长度，再根据三角形的三边关系确定第三边的长，最

后求周长即可.

【详解】解：X2-5X+6=0

(x-3)(x-2)=0,解得：石=3,X2=2,

一个三角形的两边长为3和5,

第三边长的取值范围是：2<%<8,则第三边长为：3,

这个三角形的周长为：11.

故答案为：11.

【点睛】本题主要考查了解一元二次方程、三角形的三边关系等知识点，根据题意确定确定第三边的长是解答本题

的关键.

12.已知相、”是一元二次方程为2+X―2。23=0的两个实数根，则代数式2n?+“2+m的值等于.

【答案】6070

【分析】由相、”是一元二次方程V+工一2023=0的两个实数根，可得根+〃=一1,mn=-2023,

m2+m-2023=0，由2trr+rr+m=irr+n2+/w2+m=(^+n)~-+(疗+时，代入求值即可.

【详解】解：•••加、〃是一元二次方程%—2023=0的两个实数根，

m+n=-l,mn=-2023,m2+m-2023=0>

2m2+n2+m

=m2+n2+m2+m

=(7〃+H)2-2mn+(a2+mj

=1+4046+2023

=6070,

故答案为：6070.

【点睛】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值.解题的关键在于对知识的

熟练掌握与灵活运用.

13.在阳光下，身高1.6根的小林在地面上的影长为2处在同一时刻，测得学校的旗杆在地面上的影长为10〃3则

旗杆的高度为m.

【答案】8

【分析】根据在同一时刻身高与影长成比例得出比例式，即可求解.

【详解】解：设旗杆的高度为x也

根据在同一时刻物高与影长成比例可得：——=一

210

解得：x=8.

故答案为8.

【点睛】本题考查了相似三角形的应用.根据同一时刻物高与影长成比例得出比例式是解决问题的关键.

14.方程，=1的根是.

【答案】x=±^2

【分析】首先把方程两边同时平方，然后解一元二次方程，最后要验根.

【详解】解：&_]=],

%-1=1，

r=2,

•-x=±^2，

经检验X=+y/2是原方程的根，

%=±^2•

故答案：x=±^2'

【点睛】本题考查了无理方程的解法，把方程两边同时平方是解题的关键，要注意解答后一定要检验.

15.如图，已知…均为等腰直角三角形，直角顶点4、鸟、…在函数

y=3(%〉0)图象上，点&、4、A3、…在x轴的正半轴上，则点ECHO的横坐标为.

X

A：A3

【答案】2(j2009+j2010)

【分析】分别过Pl、P2、P3作X轴的垂线，垂足为Hl、H2、H3,则A0P1H1,AA1P2H2,△A2P3H3为等腰直角三

角形，根据Pi、P2、P3上点的横坐标与纵坐标的积为4,分别求各点的横坐标的值，发现规律.

【详解】分别过6、5、A作X的垂线，垂足为d，H2,H3,则△。片乜，△4鸟“2，为等腰直

角三角形，

则a2=4>

解得“=2（负值舍去），

即R的横坐标为2,

；.OAi=4,

设4“2=P2Hl=b,

则（4+。）/?=4,

解得人=2卜1+0）（负值舍去），

即2的横坐标为4+人=2（1+忘），

同理：设4H3=鸟83=。，

则（2Q+2Z?+C）C=4,

解得：C=2（-V2+73）（负值舍去）,

+

所以Eoio的横坐标为2(72009+V20W).

故答案为：2(J^5面+闻

【点睛】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，以及点坐标规律探究.关键是根据等腰直角三角形的性

质，依次设反比例函数图象上各点的纵坐标，表示横坐标，代入反比例函数解析式求解，发现规律.

16.如图，长方形A3CD中，BC=2,DC=1,如果将该长方形沿对角线折叠，使点C落在点C处，那么图

中重叠部分的面积是.

【答案】-##0.625

8

【分析】设C'E的长龙，根据折叠得出NC'5D=NCBD,根据平行线的性质得出NAZ)5=NCBD,得出

ZC'BD^ZADB,根据等腰三角形的判定得出BE=QE=2—x,根据勾股定理得出DE?=+。,。？，即

,3

(2-%y=x2+1,求出x=[,再求出结果即可.

【详解】解：设C'E的长尤，•••长方形沿对角线折叠，

:•NC'BD=NCBD,C'D=CD=1,BC'=BC=2,

•：8。为长方形A3CD的对角线，

ZADB=ZCBD,

：.ZC'BD=ZADB,BE=DE=2—x,

在VXZXC'DE中,DE2=C'E2+C'D2,

即(2-4=f+i,

3

解得：x=：,

4

阴影=

SSBCD-sCDE=-x2xl--x-xl=-.

故答案为：—.

8

【点睛】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，矩形的性质，等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握勾股定

理，求出C'E的长.

17.如图，在正方形ABCD中，AB=3,点E,F分别在CD,AD上，CE=DF,BE,CF相交于点G,若图中阴影部

分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3,则ABCG的周长为.

【答案】V15+3.

【详解】分析：根据面积之比得出ABGC的面积等于正方形面积的工，进而依据ABCG的面积以及勾股定理，得出

6

BG+CG的长，进而得出其周长.

详解：•••阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3,

2

阴影部分的面积为&x9=6,

空白部分的面积为9-6=3,

由CE=DF,BC=CD,ZBCE=ZCDF=90°,可得ABCE义ACDF,

3

AABCG的面积与四边形DEGF的面积相等，均为Jx3=—,

22

3

设BG=a,CG=b,则！ab=-,

22

又：a2+b2=32,

.\a2+2ab+b2=9+6=15,

即(a+b)2=15,

a+b=，即BG+CG=y/l5，

.•.△BCG的周长=JI?+3,

故答案为JE+3.

点睛：此题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形面积问题.解题时注意数形结合思想与方

程思想的应用.

三.解答题(共8小题，满分62分)

ace

18.如果习=彳=7=左+/wO),且a+c+e=3(/?+d+/).求左的值.

【答案】3

【分析】根据比例的性质求得。=〃匕。=成,e=於，代入a+c+e=3(Z?+d+/),即可求解.

ace,

【详解】解：7=:=:=左，

bdf

a=bk,c=dk,e=fk,

”+c+e=3(Z?+d+/).

:.bk+dk+fk=3(b+d+于),

:.k=3.

【点睛】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键.

19.3%2—(%—2)2=5.

［答案］-2+后,士叵.

1222

【分析】

根据求根公式解一元二次方程即可.

【详解】解：3X2-X2+4X-4-5=0

2A:2+4X-9=0

a=2,b=4fc=—9,

△=16+72=88,

—b±y/b2-4ac—4±A/88

?.x=

2a4

-2+722-2-V22

------------，x--------------

29'2

【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解题关键是熟记求根公式，按照用公式法解一元二次方程的步骤熟练

计算.

20.米奇家住宅面积为90平方米，其中客厅30平方米，大卧室18平方米，小卧室15平方米，厨房14平方米，

大卫生间9平方米，小卫生间4平方米.如果一只小猫在该住宅内地面上任意跑.求：

(DP(在客厅捉到小猫)；

(2)P(在小卧室捉到小猫)；

(3)P(在卫生间捉到小猫)；

(4)P(不在卧室捉到小猫).

111319

【答案】(1)-(2)-(3)—(4)—

369030

【详解】分析：

根据题意，由相应房间的面积比上总面积90进行计算即可.

详解：

由题意可得：

_30_1

(1)「(在客厅提到小獭=3^=3；

_15_1

(2)P(在小卧室提到小猫；

906

_9+4_13

(3)P(在卫生间提到小猫)=90=~；

八D_90-18-1557_19

(4)P(不在卧室提到小猫)=—=-=—■

点睛：知道：”在某个房间捉到小猫的概率=该房间的面积：米奇家住宅的总面积”是解答本题的关键.

21.数学课上，老师出示了一道题目：如图1,在一ABC中，AB=AC,点E在A3上，点。在CB的延长线

上，且ED=EC,试探究线段AEBD、AB,5C之间存在的数量关系，并说明理由.

AEAB

(1)［猜想证明］线段AEBD、AB.BC关系是——=——.请补全下列证明思路；

BDBC

如图1：过点E作所〃5c交AC于点F,则NFEC=NECD,

ED=EC,

ZEDB=ZECD,

NEDB=NFEC,

又：=

ZABC=ZACB,

*ZABC=ZEDB+ZDEB,ZACB=ZECF+/ECD.

.ZDEB=ZECF.

•DBE沿_______(ASA),

•BD=EF,

•£.AEFS.

AE_

・=,

AB-----------

AE_

•二,

AB-----------

AEAB

(2)［变式拓展］

如图2,在中，点E在84的延长线上，点D在直线上，且上。=EC.请你在图2中补齐

图形.并探索(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出完整的证明；若不成立，请直接写出新的结论.

(2)(1)中结论成立，理由见解析

分析】(1)先判断出=再判断出NDEB=NEC产.得出Z^DBE必△EFC,得出BD=EF,

再判断出△AEF即可解答；

(2)先判断出"4C=NACB,进而判断出N7Z4C=NABC,进而判断出=,得出

_AHCsBDE，得出AHBE=ACBD,再判断出，AEH〜BEC,得出结论AF-BE=AE-BC即可解答.

【小问1详解】

证明：如图1,过点E作所〃3C交AC于点R则NFEC=NECD,

ED=EC,

ZEDB=ZECD,

：./EDB=NFEC,

又；=

：.ZABC=ZACB,

•：ZABC=ZEDB+ZDEB,ZACB=NECF+ZECD.

：.ZDEB=ZECF.

•••(ASA),

；•BD=EF,

AAEFs^ABC.

,AE_EF

••=,

ABBC

.AE_BD

••二,

ABBC

,AEAB

EFBD

故答案为：,EFC,ABC----,-----.

BCBC

【小问2详解】

图1

解（1）中的结论仍然成立,;

如图2,过点A作犯〃3。交EC于点",

ZHAC=ZACB,

AB=AC,

：.ZABC=ZACB,

ZHAC=ZABC,

•?ED=EC,

：./EDC=NECD,

•••ZEDC=ZABC+ABED,ZECD=ZACB+ZECA,

ZBED=/ECA,

.AHCsBDE,

AHAC

DB~BE'

AHBE=ACBD,

AH//BC,

AEHsBEC,

AH_AE

BLBE'

AFBE=AEBC,

ACBD^AEBC,

AB=AC,

AEAB

AD~^C

图2

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识点，正确作出辅助线、构造出相似

三角形是解本题的关键.

1n

22.如图，已知A(-4,-),B(-Jl,m)是一次函数y=kx+b与反比例函数y=—图象的两个交点，AC_Lx轴

于点C,BD_Ly轴于点D.

(1)求m的值及一次函数解析式；

(2)P是线段AB上的一点，连接PC、PD,若4PCA和4PDB面积相等，求点P坐标.

【答案】（1）m=2；y=^-x+—；（2）P点坐标是（-工，—）.

2224

【分析】（1）利用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式；

（2）设点P的坐标为+根据面积公式和已知条件列式可求得x的值，并根据条件取舍，得出点P的

坐标.

【详解】解：（1）•..反比例函数y=:的图象过点[-4,g],

TI——4x—=—2,

2

・・,点B（-1,m）也在该反比例函数的图象上，

-l・m=-2,

设一次函数的解析式为y=kx+b,

由y=kx+b的图象过点B（-1,2）,则

，

-4k+b=1—

2解得:

-k+b=2,,5

:.一次函数的解析式为y=1x+|；

（2）连接PC、PD,如图，设P+g

APCA和4PDB面积相等,

；—x—x(x+4)=—XHX[

22v72

“曰5155

解得：x=——,y=~x+~=~^

2224

AP点坐标是it

【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数以及一次函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握

待定系数法是解题的关键.

23.如图1,△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形