2021-2022学年河南省南阳市西峡县九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年河南省南阳市西峡县九年级（上）期末数

学＞、建试卷2U4

注意事项：

1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息.考

生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、

姓名是否一致.

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.非选择题答案用0.5毫米黑色墨水签字

笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效.

3.作图可先使用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑.

一、选择题

1.下列式子属于最简二次根式的是（）

A.VSrB.2\/Wc.D.再

2.一元二次方程3/=4I的解是（）

4

A4.x=-B.1=0

O

43

C.3=0，X=-D.xi=-,电=0

2o

3,下列说法正确的是（）

A.“买中奖概率为上的奖券10张中奖”是必然事件

B.气象局预报说“明天下雨的概率是70%”，就是说明天70%的时间下雨

C.抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上

D.“水中捞月”是不可能事件

4.如图，AB//DE,4E与相交于点C,BC：DC=1：2,

S/XACB—2,贝S/XDCE等于()

A.4

B.6

C.8

D.10

5.把抛物线沙=/+1向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线（）

A.y=(a?+3)2-lB.y=(a：+3)24-3C.y=(x-3)2-lD.y=(a:-3)2+3

B

6.如图，点P在△HBC的边4。上，如果添加一个条件后可以

得到△力BPsAACB,那么以下添加的条件中，不正确的

A.AABP=ZCB.NAPB=NABC

„ABAC

C.AB2=AP-ACIJ=

'BPCB

如图，已知：4B是。。的直径，。。的半径为1,

BD=V3＜贝Usin/C的值等于()

遗

吏

8.如图，在平面直角坐标系立。“中，以原点。为位似中6

心，把线段放大后得到线段CD若点4(1,2),5

B(2,0),0(5,0),则点才的对应点。的坐标是()

A.(2,5)

5bl23456

B.(|,5)工

C.(3,5)

D.(3,6)

9.如图，抛物线2/=加2+近+c(a/0)与v轴交于点。，

其中点B的坐标为(4,0),抛物线的对称轴交工轴于点。，彳芯；一

CF//AB,并与抛物线的对称轴交于点E.下列结论：/:

①a>0；②b>0；③4a+2b+c<0；A'°|D

④AO+CE=4.其中正确的个数是()

A.1B.2C.3D.4

10.如图，在△46。中，ZA=90°,48=47=4,点E、F

分别是边43、47的中点，点P是以4为圆心、以4E为

半径的圆弧上的动点，则;PB+PC的最小值等于()B

A.4B.3\/2C.y/17D.715

二、填空题(本大题共5小题，共15.0分)

第2页，共21页

11.已知点P(a1)在二次函数沙=2/的图象上，则a的值等于

12.如图，是。。的内接四边形，4。=CO,点E在

的延长线上，ACDE=52°,则

13.在一个布袋里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，从布袋里摸出1

个球，记下颜色后不放回，再摸出1个球，则两次摸出的球都是红球的概率是

14.如图，正方形4BC。和正方形EFCG的边长分别为6和2,

点F,G分别在边BC，CD上，P为4E的中点，连接PG,

则PG的长为.

15.如图，点P是矩形/BCD的边上的动点，沿直线P。将

△PBC折叠，点B落在了点3'位置.已知：AB=3,BC=2,

则当点3'恰好落在了矩形的对称轴上时，BP=.：

BL---

三、解答题(本大题共8小题，共75.0分)

16.计算：_通)2+(2cos45。-1)(芋+1)+(西五)°.

17.已知关于立的一元二次方程/+24+3(1—1=0.

(1)若a=—l,解这个方程；

(2)若该方程有实数根，求a的取值范围.

18.如图，A,B两地间有一座山，汽车原来从4地到B地需要经折线绕山行

驶.为加快城乡对接，建立全域美丽乡村，某地区对4、B两地间的公路进行改

建，在这座山打一条隧道，使汽车可以直接沿43行驶.已知4c=80千米，

ZA=30°-/B=45°.求：

(1)开通隧道前，汽车从4地到3地需要行驶多少千米；

(2)开通隧道后汽车从A地到B地大约少行驶多少千米？(结果精确到0.1千米)(

参考数据：6y1.41，y3«1.73)

19.在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数？/=/+，-2的图象，再根据图象

回答后面的问题.

(1)己知直线AB的解析式是y=x+2,直接写出不等式/+e—2W7+2的解

集为;

(2)已知点P(3,91)、Q(42,U2)在二次函数的图象上，且；^1<立2<—；，则VI、见

的大小关系是仍仇.

(3)当—时，V的取值范围是.

第4页，共21页

20.甲、乙两家水果店经销同一种水果，采取不同的降价措施增加销售额，提高利润.

(1)甲水果店原售价每千克20元，连续两次降价后每千克12.8元，每次降价的百分

率相同.求每次降价的百分率；

(2)乙水果店原来每千克盈利6元，每天可售出60千克.经市场调查发现，若每千

克降价0.5元，日销售量将增加10千克.在进货价不变的情况下，乙水果店决定采

取适当的降价措施增加销售盈利.乙水果店降价多少元时，每天销售这种水果获利

最多？最多可获利多少元？

21.如图，在四边形ABC。中，AB^AD,CB=CD,圆心在

四边形对角线4。上的©O与。。边相切于点E.

(1)求证：是。。的切线；

(2)若。是/C的中点，点E是CD的中点，ACAD=30°，

◎O的半径7?=3,求。。的长.

22.如图，已知抛物线沙=/+H+C经过点4(—3,0)和点

。(0,-3).解答下列问题.

(1)求抛物线的解析式；

(2)抛物线的顶点为。，对称轴与1轴的交点为E,求

线段的长；

(3)点尸在抛物线上运动，是否存在点尸使△F4B的面

积等于6?如果存在，求出点E的坐标；如果不存在，

说明理由.

第6页，共21页

23.(1)观察发现：如图1,在△48。中，AC=BC,ZACB=90°,点。是平面内

一点，连结OC、DB,将线段绕点。逆时针旋转90°得到线段DE,连结力E.

求益的值.

(2)拓展应用：如图2,点工是线段上一点，且MA=4N=2,点P是平面

上的动点，且P4=1,连结PN,将线段PN绕点P逆时针旋转90°得到线段PB,

连结MB,求线段MB的取值范围.

答案和解析

L【答案】B

【解析】解：A.㈤;的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故

本选项不符合题意；

旦2，话是最简二次根式，故本选项符合题意；

C.反的被开方数中含有能开得尽方的因式，不是最简二次根式，故本选项不符合题

忌；

。.*不是最简二次根式，故本选项不符合题意；

故选：B.

根据最简二次根式的定义逐个判断即可.

本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足下

列两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数中的每个因数都是整数，因式

都是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式.

2.【答案】C

【解析】解：3/-4立=0，

x(3x—4)=0,

1：=0或31-4=0,

,4

所以的=0,X2=—■

O

故选：C.

先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程.

本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解

的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法.

3.【答案】D

【解析】解：4、“买中奖概率为上的奖券10张中奖”是随机事件，故此选项不合题

忌;

第8页，共21页

B、气象局预报说“明天的降水概率为70%”，意味着明天大概率下雨，是随机事件，

故此选项不合题意；

C、抛掷一枚质地均匀的硬币两次，正面朝上的概率是：，故此选项不合题意；

。、“水中捞月”是不可能事件，故此选项符合题意；

故选：D.

概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定

发生，机会小也有可能发生.

此题主要考查了概率的意义以及方差的意义、随机事件，正确掌握概率的意义是解题关

键.

4.【答案】C

【解析】解：

：,/\ABC-/\EDC,

.S^ABC__1

,.SAEDC=(丽)="

,/S^ACB=2,

S^DCE=8,

故选：C.

根据得△AB。，△EDC,则弱些=(售产=：,即可得出答案.

b2EDC4

本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的

平方是解题的关键.

5.【答案】C

【解析】解：由题意得原抛物线的顶点为(0,1),

.•.平移后抛物线的顶点为(3,-1),

二.新抛物线解析式为g=3-3)2-1,

故选：C.

易得原抛物线的顶点及平移后抛物线的顶点，根据平移不改变抛物线的二次项系数可得

新的抛物线解析式.

考查二次函数的几何变换；用到的知识点为：二次函数的平移不改变二次项的系数；得

多新抛物线的顶点是解决本题的突破点.

6.【答案】D

【解析】解：/、当乙43P=/。时，又•.•乙4=乙4,/\ABP^/\ACB,故此选

项错误；

B、当乙4P3=乙43。时，又•.•乙4=乙4,/./\ABP-/XACB,故此选项错误；

4PAR

c、当482=40.4。即芸=芸时，又.../4=乙4，,-./\ABP^/\ACB,故此选

AIDAC

项错误；

D、无法得到故此选项正确.

故选：D.

分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可.

此题主要考查了相似三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键.

7.【答案】A

【解析】解：连接40,

rAB是。O的直径，

AADB=90°，

在Rt/\ABD中,

◎O的半径为1,BD=5，

：.AB=2,

：,AD=i/AB2-BD2=1，

ZB=ZC,

.，八,AD1

sinZC=smZ.B=—=-=—,

AB2

故选：A.

连接4。，根据圆周角定理得到/AOB=90°,解直角三角形即可得到结论.

本题考查了圆周角定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键.

8.【答案】B

第10页，共21页

【解析】

【分析】

此题主要考查了位似变换，坐标与图形，正确得出对应点的关系是解题关键.在平面直

角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为人，那么位似图形对应点的

坐标的比等于人或-h利用位似图形的性质得出位似比，进而得出对应点坐标的关系.

【解答】

解：•.•以原点。为位似中心，把线段放大后得到线段。。，且3(2,0),0(5,0),

OB_2

"OD=5,

5

C(-,5).

故选艮

9.【答案】B

【解析】解：①观察图象开口向下，。<0,

所以①错误；

②对称轴在9轴右侧，b>Q,

所以②正确；

③因为抛物线与立轴的一个交点B的坐标为(4,0),

对称轴在V轴右侧，

所以当立=2时，y>0,即4a+2b+c>0,

所以③错误；

④1,抛物线y=ax2+bx+c(a^O)与工轴交于A,B两点，

：,AD=BD,

-：CE//AB,

二.四边形OOEC为矩形，

：.CE=OD,

AD+CE=BD+OD=OB=^,

所以④正确.

综上：②④正确.

故选：B.

根据抛物线开口方向即可判断①；根据对称轴的位置即可判断②；根据图象即可判断

③；根据抛物线与X轴的交点坐标及对称轴可得A。=BO,再根据即可

判断④.

本题考查了二次函数图象与系数的关系，解决本题的关键是综合运用二次函数图象上点

的坐标特征、抛物线与立轴的交点进行计算.

10.【答案】C

【解析】解：在43上截取HQ=1,连接4P,PQ,CQ,

•:点、E、F分别是边43、的中点，点P是以4为圆心、以4E

为半径的圆弧上的动点，BC

AP_1

,,AB=2，

AP=2,AQ=1,

_AQ_1

--...19

AP2

•「APAQ=ABAP,

△AP。〜△ABF,

PQ=gpB,

：PB+PC=PC+PQ》CQ,

在跳△4CQ中，AC=4,AQ=1,

：,QB=y/AC2+AQ2=V17,

+的最小值«7，

故选：C.

在43上截取4Q=1,连接4P,PQ,CQ,证明△HPQs/VlBP,可得PQ=：PB,

则:PB+PC=PC+PQ,的当C、Q、P三点共线时，PC+PQ的值最小，求出

CQ即为所求.

本题考查了阿氏圆问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线

构造相似三角形是解题的关键.

11.【答案】g或一:

第12页，共21页

【解析】解：•.•点P（Q,；）在二次函数沙=2/的图象上，

：=2。2,即Q2=：,

24

解得。=士;.

故答案为：；或-

把点的坐标代入函数解析式计算即可得解.

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了函数图象上的点的坐标满足函数

解析式.

12.【答案】52°

【解析】解：:48。。是。。的内接四边形，

AABC+AADC=180°,

又ACDE+AADC=180°,

AABC=ACDE=52°,

AAOC=2x52°=104°,

：AD=CD,

：,AAOD=ACOD=104°+2=52°.

故答案为：52°.

根据圆内接四边形的性质先求N4BC的度数，从而得到N49C的度数，再根据

AD=DC即可求出答案.

本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识,注意：圆内接四边形的对角互补，

并且一个外角等于它的内对角.

13.【答案】|

O

•.•共有6种情况，两次摸出的球都是红球的有2种情况,

厂.两次摸出的球都是红球的概率是（2二］1

63

故答案为：

根据题意先画出树状图，求出总情况数，再根据概率公式即可得出答案.

此题考查的是树状图法求概率.树状图法适合两步或两步以上完成的事件.用到的知识

点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

14.【答案】2①

【解析】解：延长GE交于点O,作PHJ.OE于点修.

则

P是4E的中点，

:.PH是△49E的中位线，

•.・直角△49E中，ZOAE=45°，

.•.△4OE是等腰直角三角形，即O4=OE=4,

同理△?打£中，HE=PH=2.

:.HG=HE+EG=2+2=4.

在Rt/XPHG中，PG=7PH2+吟=+42=2通.

故答案是2西

延长GE交43于点。，作PH_LOE于点则PH是△O4E的中位线，求得Pb的

长和HG的长，在①△PGH中利用勾股定理求解.

本题考查了勾股定理和三角形的中位线定理，正确作出辅助线构造直角三角形是关键.

15.【答案】《

0

【解析】解：设BP=z,则PB'=z，AP=PC=3-x,

在RtLPBC中,

PB2+BC2=PC2，

a:2+22=(3-xf,

第14页，共21页

5

：.x=-.

o

设BP=2,则PB'=缶,4P=PC=3-s,在AtZXPBC中，PB2+BC2=PC2,

即/+22=(3—c)2,即可求得二的值.

本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，

学会构建方程解决问题，属于中考常考题型.

16.【答案】解：原式=6+3-2，Ii+(2x竽-1)(四+1)+1

=9-6V2+(y2-1)(y2+1)+1

=9-6四+2-1+1

=11-6\/2-

【解析】首先代入特殊角的三角函数值，再利用完全平方公式、平方差公式、零指数暴

进行计算，最后计算加减即可.

此题主要考查了二次根式的混合运算，关键是熟练掌握角的三角函数值，掌握计算顺序.

17.【答案】解：(1)当a=—1时，方程为«+2立一4=0，

解得的=—1—g=-1+；

⑵由题意得，△=22—4(3a—l)=—12a+8>0,

2

QV司•

o

故Q的取值范围为Q<12.

o

【解析】(1)把a=-1代入/+2工+3a—1=0，得到/+2r—4=0,解之可得.

(2)根据该方程有两个不相等的实数根，由根的判别式可求加的取值范围.

此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a#0)的根的判别式△=庐—4ac：当△>0，

方程有两个不相等的实数根；当△=(),方程有两个相等的实数根；当△<(),方程没

有实数根.

18.【答案】解：（1）如图，过点。作的垂线。。，垂足为

80千米,

CD=AC-sin300=80x:=40（千米），—szn45°—A/2—4。〃^（千米）,

/—

2

：,AC+BC=80+40V2«1.41x40+80=136.4（千米）.

二.开通隧道前，汽车从地到地大约要走136.4千米.

An

（2）cos30°=—,AC=80千米,

AD=AC-cos30°=80x殍=40遍（千米），

「D

,/tcm45°=——,CD=40（千米），

BD

.•.3。=端=¥=4°（千米）'

AB=BD+AD=40+40«40+40x1.73=109.2（千米）.

汽车从4地到B地比原来少走的路程为:

AC+BC-AB=136.4-109.2=27.2（千米）.

开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走27.2千米.

【解析】（1）开通隧道前，汽车从工地到B地要走的距离为47+BC的长，利用角的

正弦值和余弦值即可算出.

⑵开通隧道后，汽车从工地到B地要走的距离为的长，汽车从工地到B地比原来

少走的路程为AC+BC-AB的长，利用角的余弦值和正切值即可算出.

本题主要考查了三角函数在解直角三角形中的应用，明确三角函数的定义式及其变形是

解题的关键.

9

19.【答案】一2WcW2>

第16页，共21页

【解析】解：(1)如图,

抛物线与直线交点坐标为(-2,0),(2,4),

比?+比―2<I+2的解集为一2WI(2.

故答案为：一2Wi42.

⑵・「g=/+/一2,

二抛物线对称轴为直线立=-抛物线开口向上，

.•.当时，V随Z增大而减小，

1

'：Xi<X2<~,

yi>y2-

故答案为：〉.

⑶•・・沙=/+C-2=(2+；)2一3'

1Q

.,.当i=—5时，v取最小值为沙=-“

---1-(-|)>(-1)，

4=1时，V取最大值V=。，

故答案为：—

(1)根据抛物线与直线交点横坐标，结合图象求解.

(2)由抛物线开口方向及对称轴求解.

(3)将抛物线解析式化为顶点式求解.

本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握函数与方程及不等式的关系.

20.【答案】解：⑴设每次降价的百分率为八

根据题意，得：20(1-02=12.8,

解得的=20%,©=180%(不符合题意，舍去)，

答：每次降价的百分率为20%；

(2)设乙水果店降价a元，每天销售这种水果获利为"元，

则w=(6—a)(60+10x袅)

0.5

=-20a2+60a+360，

•.•该函数图象开口向下，当Q=-0sz的、=L5时,"取得最大值，

此时W的最大值为-20x1.52+60x1.5+360=405(元),

答：乙水果店降价1.5元时，每天销售这种水果获利最多，最多可获利405元.

【解析】(1)根据题意和题目中的数据，可以列出相应的一元二次方程，然后求解即可，

注意下降率不能超过100%；

(2)根据题意，可以写出"与下降的钱数之间的函数关系式，然后根据二次函数的性质，

可以求得当a为何值时，M取得最大值.

本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相

应的方程和写出相应的函数解析式.

21.【答案】(1)证明：连接OE,过点。作垂足为F,

与©O相切于点E,

：,OELCD,

■：AB=AD,CB=CD,AC=AC,

「.△ABC三△ADC(SSS),

4BCA=ZDCA,

：,OF=OE,

是©O的半径,

二8。是。。的切线;

第18页，共21页

(2)解：是力。的中点，点E是。。的中点，

.•.0E是△47。的中位线，

:.OE//AD,

：,ACOE=ACAD=30°,

在RtZXOCE中，OE=3,

CE—OEtan30°=3x——=V3<

o

CD=2CE=2\/3•

【解析】(1)直线BC与圆无公共点，作垂直，证半径，所以连接OE,过点。作

OF±BC,垂足为F，证明△HBC三△4OC,然后利用角平分线的性质定理即可解

答；

(2)利用三角形的中位线定理证明0E〃4。，从而可得/COE=/CAO=30°,最后

在跳△OCE中，利用锐角三角函数进行计算即可解答.

本题考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握切

线的判定与性质是解题的关键.

22.【答案】解：⑴•.・抛物线+历:+c经过点4-3,0),2(0,-3),

9—3b+c=0,0+0+c=-3,

即得b=2,c=—3,

,抛物线的表达式为：V=/+27-3;

(2)y=a:2+2a:—3=(x+I)2—4；

二.函数的对称轴为直线4=—1,顶点£>(-1,-4),

•