中考数学专题复习《利用勾股定理求最短路径》测试卷-附带答案

第页中考数学专题复习《利用勾股定理求最短路径》测试卷-附带答案学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________1．如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他要完成这件事情所走的最短路径是km．2．如图，长方体的长为3cm，宽为2cm，高为1cm的长方体，蚂蚁沿着表面从A爬行到B的最短路程是．3．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，垂足为D，已知BD=1, AD=CD=2, BC上方有一动点P，且点P到A,D两点的距离相等，则4．如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为32πm的半圆，其边缘AB＝CD＝15m，点E在CD上，CE＝3m，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离约为m5．如图，四边形ABCD，∠BAD＝60°，∠ADC＝150°，且BD⊥DC，已知AC的最大值是3，则BC＝．6．如图，在一个长为5m，宽为3m的长方形草地上，放着一根长方体的木块，它的棱和草地宽AD平行且棱长大于AD，木块从正面看是边长为1m的正方形，一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程约为7．如图，C为线段BD上一动点，分别过B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC，已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x．请用含x的代数式表示AC+CE的长为，根据上述方法，求出x2+4+8．如图，四边形ABCD为矩形，AD=3，AB=4，点E是AD所在直线的一个动点，点F是对角线BD上的动点，且BF=DE，则AF+BE的最小值是．9．如图，长方形BCFG是一块草地，折线ABCDE是一条人行道，BC＝12米，CD＝5米．为了避免行人穿过草地（走虚线BD，践踏绿草，管理部门分别在B、D处各挂了一块牌子，牌子上写着“少走米，踏之何忍”．10．如图，BD是RtΔABC的角平分线，点F是BD上的动点，已知AC=2，AE=23−2，∠ABC=30°，则（1）BE=；（2）AF+EF的最小值是11．如图，AB是半圆O的直径，半圆的半径为4，点C，D在半圆上，OC⊥AB,BD=2CD，点P是OC上的一个动点，则BP+DP12．如图，一大楼的外墙面ADEF与地面ABCD垂直，点P在墙面上，若PA＝AB＝5米，点P到AD的距离是4米，有一只蚂蚁要从点P爬到点B，它的最短行程是米13．如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝4，OB＝6，以点O为圆心，3为半径的⊙O，与OB交于点C，过点C作CD⊥OB交AB于点D，点P是边OA上的动点，则PC+PD的最小值为．14．如图，台阶阶梯每一层高20cm，宽40cm，长50cm．一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是．15．已知正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是边BC，CD上的两个动点，且满足BE=CF，连接AE，AF，则AE+AF的最小值为．16．如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠ABC=60°，M为AD中点，P为对角线BD上一动点，连接PA和PM，则PA+PM的最小值是．17．如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有乙滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外币A处到达内壁B处的最短距离为．18．如图，直线y＝﹣x+7与两坐标轴分别交于A、B两点，点C的坐标是（1，0），DE分别是AB、OA上的动点，当△CDE的周长最小时，点E的坐标是．19．如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝120°，E是边CD的中点，F是边AD上的一个动点，将线段EF绕着点E顺时针旋转60°得到线段EF'，连接AF'、BF'，则△ABF'的周长的最小值是．20．如图，已知矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，E、F分别为AB、DC上的两个动点，且EF⊥AC，则AF+FE+EC的最小值为．参考答案1．解：如图，做出点A关于小河MN的对称点A`，连接A`B交MN于点P，则A`B就是牧童要完成这件事情所走的最短路程长度．在Rt△A`DB中，由勾股定理求得A`B=则他要完成这件事情所走的最短路程是17km．2．解：如图1，AB=52如图2，AB=32如图3，AB=22故沿长方体的表面爬到对面顶点B处，只有图2最短，其最短路线长为：32故答案为：323．解：∵P到AD两点的距离相同，∴P在线段AD的垂直平分线上，取AD的中点H，作HF//BC，作B关于HF的对称点E，连接CE与直线FH交于P，点P即为所求∴∠BFH=90°，BF=EF，EP=BP∵要使△BCP的周长最小，∴BP+CP最小，即为CE长，又∵EF//BC，∠ADC=90°∴∠FHD=∠HDB=90°∴四边形BDHF是矩形，∴BF=DH=EF=12AD=1，∠∴BE=2∵CE=BC∴CE=13△BCP的周长最小值=BC+BP+CP=3+故答案为：3+134．解：如图是其侧面展开图：AD=12π⋅32AB=CD=15m．DE=CD-CE=15-3=12（m），在Rt△ADE中，AE=AD2+D故他滑行的最短距离约为20m．故答案为：20．5．解：如图，取BC的中点F，以BC为边在△BCD另一侧作等边三角形△BCG，连接DG，DF，FG，∵∠ADC＝150°，且BD⊥DC，∴∠ADB＝150°﹣90°＝60°，∵∠BAD＝60°，∴∠ADB＝∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，而△BCG也是等边三角形，∴AB＝DB，BC＝BG，∠ABD＝∠CBG＝60°，∴∠ABD+∠DBC＝∠CBG+∠DBC，即∠ABC＝∠DBG，在△ABC和△DBG中，AB=DB∠ABC=∠DBG∴△ABC≌△DBG（SAS），∴AC＝DG，∵AC的最大值是3，∴DG的最大值也是3，在△DGF中，DG≤DF+FG，∴当DF、FG在同一条直线上时，DG取最大值3，即DG＝DF+FG＝3，∵BD⊥DC，BC的中点F，∴DF＝BF＝CF＝12BC∵等边三角形△BCG，BC的中点F，∴GF⊥BC，∠BGF＝∠CGF＝12∠BGC∴BF＝CF＝12BG＝12∴设DF＝BF＝CF＝x，则BC＝BG＝2x，∴FG＝BG∴DF+FG＝x+3x＝3，解得：x＝33∴BC＝2x＝2×33−32故答案为33﹣3．6．解：由题意可知，将木块展开，如图，长相当于是AB+2个正方形的宽，∴长为5+2×1＝7m；宽为3m．于是最短路径为：32故答案为8．7．解：AC+CE=BC2当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小；如右图所示，作BD=12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，连接AE交BD于点C，设BC=x，则AE的长即为代数式x2过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF，则AB=DF=2，AF=BD=12，EF=ED+DF=3+2=5，所以AE=AF2即x2故答案为：(8−x)28．解：如图，延长BC至G使得BG=BD，连接GF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=∠ABC=90°,AD//∴∠EDB=∠FBC，在△EDB与△FBG中ED=BF∴△EDB≌△FBG，∴BE=GF，∴AF+BE=AF+GF≥AG，在Rt△ABD中，AD=3,AB=4，BD=A∴BG=5，在Rt△ABG中，BG=5,AB=4，AG=A∴AF+BE的最小值是41．故答案为：41．9．解：在Rt△BCD中，BC=12,CD=5∴BD=则BC+CD−BD=12+5−13=4（米）故答案为：410．解：（1）∵AC=2，∠ABC=30°，∠BAC=90°，∴BC=2AC=4，∴AB=B∴BE=AB−AE=23故答案为：2；（2）如图所示，作E点关于BD的对称点G，连接EG，AG，GF，∵BD是∠ABC的平分线，∴点G在线段BC上，∴根据对称性可得EF=GF，BG=BE=2，∴EF+AF=GF+AF≥AG，∴当点A，F，G三点共线时，GF+AF的长度最短，即EF+AF的最小值为AG的长度．∴GC=BC-BG=4-2=2，又∵∠ABC=30°，∠BAC=90°，∴∠C=又∵AC=2，∴△AGC是等边三角形，∴AG=AC=2．∴AF+EF的最小值是2．故答案为：2．11．解：作点D关于OC的对称点为D1，连接BD1，OD1由题知，OC⊥AB，BD=2CD，∴BC=3CD，可得又点D关于OC的对称点为D1∴∠COD1=30°，∠AOD1在RtΔQOD1中，OD在RtΔQD1B中，BQ=OQ+OB=6故填：4312．解：如图，过P作PG⊥BF于G，连接PB，∵AG=4，AP=AB=5，∴PG=AP2∴PB=故这只蚂蚁的最短行程应该是3故答案为：313．解：延长CO交⊙O于点E，连接ED，交AO于点P，则PC+PD的值最小，最小值为线段DE的长．∵CD⊥OB，∴∠DCB＝90°，∵∠AOB＝90°，∴∠DCB＝∠AOB，∴CD∥AO，∴CDAO∴CD∴CD＝2，在Rt△CDE中，DE＝CD∴PC+PD的最小值为210故答案为：210．14．解：如图所示，∵楼梯的每一级的高宽长分别为20cm，宽40cm，长50cm，∴AB=502+即蚂蚁从点A沿着台阶面爬行到点B的最短路程是130cm．故答案为：130cm．15．解：连接DE，∵BE=CF且四边形ABCD为正方形∴CD-CF=BC-BE，即DF=CE在△ADF和△DCE中AD=DC∴△ADF≌△DCE∴AF=DE；AE+AF=AE+DE以BC为对称轴，作A点关于BC的对应点A'连接DA'，与BC交点即为点E∵点A和点A'关于BC对称，∴AE=A'EAE+DE=A'E+DE=A'D由勾股定理可得：A'D=A∴AE+AF的最小值为5故答案为：516．解：作点M关于BD的对称点N，交CD于点N，连接AN，则AN就是PA+PM的最小值，∵在菱形ABCD中，AB=4，∠ABC=60°，M为AD中点，AC⊥BD，∴∠ADC=60°，DA=DC，点N为CD的中点，∴△DAC是等边三角形，AN⊥CD，∴AC=AD=AB=4，∴AN=故答案为：217．解∶如图，将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离．根据勾股定理，得A′故答案为：20cm．18．解：如图，点C关于OA的对称点C′（-1，0），点C关于直线AB的对称点C∵直线AB的解析式为y=-x+7，∴直线CC″的解析式为y=x由y=−x+7y=x−1，得x=4∴F（4，3），∵F是CC″∴可得C″连接C′C″与AO交于点E，与AB交于点D，此时△△DEC的周长=DE+EC+CD=EC′+ED+DC″=C′C故答案为10．19．解：取AD中点G，连接EG，F'G，BE，作BH⊥DC的延长线于点H，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝AD，∵∠BAD＝120°，∴∠CAD＝60°，∴△ACD为等边三角形，又∵DE＝DG，∴△DEG也为等边三角形．∴DE＝GE，∵∠DEG＝60°＝∠FEF'，∴∠DEG﹣∠FEG＝∠FEF'﹣∠FEG，即∠DEF＝∠GEF'，由线段EF绕着点E顺时针旋转60°得到线段EF'，所以EF＝EF'．在△DEF和△GEF'中，DE=GE∠DEF=∠GE∴△DEF≌△GEF'（SAS）．∴∠EGF'＝∠EDF＝60°，∴∠F'GA＝180°﹣60°﹣60°＝60°，则点F'的运动轨迹为射线GF'．观察图形，可得A，E关于GF'对称，∴AF'＝EF'，∴BF'+AF'＝BF'+EF'≥BE，在Rt△BCH中，∵∠H＝90°，BC＝4，∠BCH＝60°，∴CH=1在Rt△BEH中，BE＝BH2+EH2∴BF'+EF'≥27，∴△ABF'的周长的最小值为AB+BF'+EF'＝4+27，故答案为：4+27．20．解：过B作BH∥EF交CD于H，过A作AG∥EF，且使AG＝EF，连接GE，∴四边形AG