考研数学三(线性代数)历年真题试卷汇编15(题后含答案及解析)

考研数学三（线性代数）历年真题试卷汇编15(题后含答案及解析)题型有：1.选择题2.填空题3.解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1．设矩阵Am×n的秩为r(A)=m＜n，Im为m阶单位矩阵，则下述结论中正确的是()A．A的任意m个列向量必线性无关．B．A的任意一个m阶子式不等于零．C．若矩阵B满足BA=O，则B=O．D．A通过初等行变换，必可以化为[ImO]的形式．正确答案：C解析：1由BA=O知A的每个列向量都是齐次方程组Bx=0的解，由题设知A的列向量中有m个是线性无关的，故Bx=0解集合中至少有m个线性无关的解向量，因而Bx=0的基础解系所含向量个数不小于m，即m－r(B)≥m，所以r(B)≤0，故r(B)=0，即B=O．2由于r(Am×n)=m，故存在可逆矩阵Pm×n，使得AP=[ImO]用右乘两端，得记n×m矩阵Q=P，则有AQ=Im，于是用Q右乘题设等式BA=O两端，得BAQ=O，即BIm=O，亦即B=O．知识模块：线性代数2．齐次线性方程组的系数矩阵记为A．若存在3阶矩阵B≠O使得AB=O，则()A．λ=－2且|B|=0B．λ=－2且|B|≠0C．λ=1且|B|=0D．λ=1且|B|≠0正确答案：C解析：1设B按列分块为B=[β1β2β3]，则由题设条件，有O=AB=[Aβ1Aβ2Aβ3]所以Aβj=0(j=1，2，3)，即矩阵B的每一列都是方程组Ax=0的解．又B≠O，故B至少有一列非零，因而方程组Ax=0存在非零解，从而有=(λ－1)2=0得λ=1另一方面，必有|B|=0，否则|B|≠0，则B可逆，于是由给AB=O两端右乘B－1，得A=O，这与A≠O矛盾，故必有|B|=0．因此C正确．2同解1一样可说明必有|B|=0，同理有|A|=0，观察可知当λ=1时有|A|==0，故C正确．知识模块：线性代数3．设α1，α2，α3是4元非齐次线性方程组Ax=b的3个解向量，且A的秩r(A)=3，α1=(1，2，3，4)T，α2+α3=(0，1，2，3)T，c表示任意常数，则线性方程组Ax=b的通解X=()A．B．C．D．正确答案：C解析：由于AX=b的通解等于AX=b的特解与AX=0的通解之和，故只要求出AX=0的基础解系，即得AXb的通解．因为r(A)=3，故4元齐次方程组Ax=0的基础解系所含向量个数为4－r(A)=1，所以AX=0的任一非零解就是它的基础解系．由于α1及1／2(α2+α3)都是Ax=b的解．故α1－(α2+α3)=1／2[2α1－(α2+α3)]是AX=0的一个解，从而ξ=(2，3，4，5)T也是AX=0的一个解，由上述分析知考是AX=0的一个基础解系，故Ax=b的通解为X=α1+cξ，因此C正确．知识模块：线性代数4．设A为n阶实矩阵，AT是A的转置矩阵，则对于线性方程组(Ⅰ)：Ax=0和(Ⅱ)：ATAN=0，必有()A．(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，(Ⅰ)的解也是(Ⅱ)的解．B．(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，但(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解．C．(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也不是(Ⅰ)的解．D．(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，但(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解．正确答案：A解析：若向量X满足方程组AX=0，两端左乘AT，得ATAX=0，即X也满足方程组ATAX=0，故AX=0的解都是ATAX=0的解．反之，若X满足ATAX=0，两端左乘XT，得ATATAX=0，即(AX)T(AX)=0，或‖AX‖2=0，故AX=0，即X也满足方程组AX=0，故ATAX=0的解都是AX=0的解由以上两方面，说明方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)是同解的，故A正确．知识模块：线性代数5．设A是n阶矩阵，α是n维列向量，且秩=秩(A)，则线性方程组()A．AX=α必有无穷多解．B．AX=α必有惟一解．C．=0仅有零解．D．=0必有非零解．正确答案：D解析：方程组=0是λ+1元齐次线性方程组，由条件，其系数矩阵的秩=An×n的秩≤n＜n+1，故该λ+1元齐次线性方程组必有非零解．于是知D正确．知识模块：线性代数6．设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则线性方程组(AB)x=0()A．当n＞m时仅有零解．B．当n＞m时必有非零解．C．当m＞n时仅有零解．D．当m＞n时必有非零解．正确答案：D解析：1注意AB为m阶方阵，方程组(AB)x=0有非零解(只有零解)(AB)＜m(r(AB)=m)．当m＞n时，有r(AB)≤r(A)≤n＜m故当m＞n时，方程组(AB)x=0必有非零解．可以举例说明备选项A、B都不对．故只有D正确．2B为n×m矩阵，当n＜m时，齐次线性方程组Bx=0必有非零解，从而知当n＜m时，齐次线性方程组ABx=0(即(AB)x=0)必有非零解．知识模块：线性代数7．设n阶矩阵A的伴随矩阵A*≠O，若ξ1，ξ2，ξ3，ξ4是非齐次线性方程组Ax=b的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系()A．不存在．B．仅含一个非零解向量．C．含有两个线性无关的解向量．D．含有三个线性无关的解向量．正确答案：B解析：由A*≠O知A*至少有一个元素Aij=(－1)ijMij≠0，故A的余子式Mij≠0．而Mij为A的n－1阶子式，故r(A)≥n－1，又由Ax=b有解且不唯一知r(A)＜n，故r(A)=n－1，因此，Ax=0的基础解系所含向量个数为n－r(A)=n－(n－1)=1，只有B正确．知识模块：线性代数8．设A为4×3矩阵，η1，η2，η3是非齐次线性方程组Ax=β的3个线性无关的解，k1，k2为任意常数，则Ax=β的通解为()A．B．C．D．正确答案：C解析：首先，由A[1／2(η2+η3)]=β，知1／2(η2+η3)是Ax=β的一个特解；其次，由解的性质或直接验证，知η2－η1及η3－η1均为方程组Ax=0的解；再次，由η1，η2，η3线性无关，利用线性无关的定义，或由[η2－η1，η3－η1]及矩阵的秩为2，知向量组η2－η1，η3－η1，线性无关，因此，方程组Ax=0至少有2个线性无关的解，但它不可能有3个线性无关的解(否则，3－r(A)=3，r(A)=0．A=O，这与Aη1=β≠0矛盾)，于是η2－η1，η3－η1可作为Ax=0的基础解系，Ax=0的通解为k1(η2－η1)+k2(η3－η1)，再由非齐次线性方程组解的结构定理即知只有选项C正确．知识模块：线性代数填空题9．设其中ai≠aj(i≠j，i，j=1，2，…，n)．则线性方程组ATX=B的解是_______．正确答案：(1，0，…，0)T．解析：因为a1，a2，…，an两两不相等，故范德蒙行列式|A|=(ai－aj)≠0，所以方程组ATX=B的系数行列式|AT|=|A|≠0，故方程组有唯一解，再由观察法或克莱默法则可得此唯一解为X=(1，0，…，0)T．知识模块：线性代数解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10．k为何值时，线性方程组有唯一解、无解、有无穷多组解?在有解情况下，求出其全部解．正确答案：对方程组的增广矩阵作初等行变换：由此可知(1)当k≠1且k≠4时，r(A)=r()=3，方程组有唯一解．此时，由得方程组的唯一解为：(2)当k=－1时，r(A)=2＜r()=3．方程组无解．(3)当k=4时，有r(A)=r()=2＜3．故方程组有无穷多解．由阶梯形矩阵得同解方程组：令x3=c，得方程组的全部解：涉及知识点：线性代数设有线性方程组11．证明：若a1，a2，a3，a4两两不相等，则此线性方程组无解；正确答案：增广矩阵为一方阵，其行列式显然为－4阶范德蒙行列式的转置：=(a2－a1)(a3－a1)(a4－a1)(a3－a2)(a4－a2)(a4－a3)由a1，a2，a3，a4两两不相等，知||≠0，从而知矩阵的秩为4．但系数矩阵A为4×3矩阵，有r(A)≤3(或由A左上角的3阶子式不等于零知r(A)=3)，故r(A)≠r()，因此方程组无解．涉及知识点：线性代数12．设a1=a3=k，a2=a4=－k(k≠0)，且已知β1=(－1，1，1)T，β2=(1，1，－1)T是该方程组的两个解，写出此方程组的通解．正确答案：当a1=a3=k，a2=a4=－k(k≠0)时，方程组为因为=－2k≠0，故r(A)=r()=2，从而原方程组相容且它的导出方程组的基础解系应含有3－2=1个解向量．因为β1，β2是原非齐次方程组的两个解，故ξ=β1－β2是对应齐次方程组的解，且ξ≠0，故ξ是导出方程组的基础解系．于是原非齐次方程组的通解为X=β1+cξ(c为任意常数)涉及知识点：线性代数13．设向量组α1=(a，2，10)T，α2=(－2，1，5)T，α3=(－1，1，4))T，β=(1，b，c)T．试问：当a，b，c满足什么条件时(1)β可由α1，α2，α3线性表出，且表示唯一?(2)β不能由α1，α2，α3线性表出?(3)β可由α1，α2，α3线性表出，但表示不唯一?并求出一般表达式．正确答案：1设有一组数k1，k2，k3，使得k1α1+k2α2+k3α3=β该方程组的系数行列式(1)当a≠－4时，|A|≠0，方程组有唯一解，β可由α1，α2，α3唯一地线性表出．(2)当a=－4时，对增广矩阵作行的初等变换，有若3b－c≠1，则秩(A)≠秩()，方程组无解，β不能由α1，α2，α3线性表出．(3)当a=－4，且3b－c=1时，秩(A)=秩()=2＜3，方程组有无穷多解，β可由α1，α2，α3线性表出，但表示不唯一．此时，解得k1=t，k2=－2t－b－1，k3=2b+1(t为任意常数)因此有β=tα1－(2t+b+1)α2+(2b+1)α32设有一组数x1，x2，x3，使得x1α1+x2α2+x3α3=β对该方程组的增广矩阵作初等行变换，有(1)当－2－≠0，即a≠－4时，秩(A)：秩()=3，方程组有唯一解，β可由α1，α2，α3线性表出，且表示唯一．(2)当－2－=0，即a=－4时，对作初等行变换，有当3b－c≠1时，秩(A)≠秩()，方程组无解，β不能由α1，α2，α3线性表出．(3)同解1．涉及知识点：线性代数14．设齐次线性方程组其中a≠0，b≠0，n≥2．试讨论a，b为何值时，方程组仅有零解、有无穷多组解?在有无穷多组解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解．正确答案：方程组的系数行列式=[a+(n－1)b](a－b)n－1(1)当a≠b且a≠(1－n)b时，方程组仅有零解．(2)当a=b时，对系数矩阵A作行初等变换，有原方程组的同解方程组为x1+x2+…+xn=0方程组的基础解系为α1=(－1，1，0，…，0)T，α2=(－1，0，1，…，0)T，…，αn－1=(－1，0，0，…，1)T，方程组的全部解为x=c1α1+c2α2+…+cn－1αn－1(c1，c2，…，cn－1为任意常数)．(3)当a=(1－n)b时，对系数矩阵A作行初等变换，有原方程组的同解方程组为其基础解系为β=(1，1，…，1)T．方程组的全部解是x=cβ(c为任意常数)．涉及知识点：线性代数15．已知齐次线性方程组其中ai≠0．试讨论a1，a2，…，an和b满足何种关系时，(1)方程组仅有零解；(2)方程组有非零解．在有非零解时，求此方程组的一个基础解系．正确答案：方程组的系数行列式为一“行和”相等行列式，将各列加至第1列，然后提取第1列的公因子(b+ai)，再将第1列的(－ai)倍加至第i列(i=2，…，n)，就将行列式化成了下三角行列式：(1)当|A|≠0，即b≠0且b+ai≠0时，方程组仅有零解；(2)当b=0时，原方程组的同解方程组为a1x1+a2x2+…?+anxn=0，由ai≠0知a1，a2，…，an不全为零，不妨设a1≠0，则得原方程组的用自由未知量表示的通解为x1=－xn(x2，x3，…，xn任意)．由此得方程组的一个基础解系为α1=(－a2／a1，1，0，…，0)T，α2=(－a3／a1，0，1，…，0)T，…，αn－1=(－an／a1，0，0，…，1)T当b=－ai时，有b≠0，对原方程组的系数矩阵A作初等行变换：将第1行的(－1)倍分别加至第2，3，…，n行，得用1／b乘第i行(i=2，3，…，n)，得将第i行的(－ai)倍加至第1行(i=2，3，…，n)，并利用b+ai=0，得因此得原方程组的用自由未知量表示的通解为x2=x1，x3=x1，…，xn=x1，(x1任意)令x1=1，则得原方程组的一个基础解系为α=(1，1，…，1)T．涉及知识点：线性代数16．设有向量α1=(1，2，0)T，α2=(1，a+2，－3a)T，α3=(－1，－b－2，a+2b)T，β=(1，3，－3)T．试讨论当a、b为何值时，(1)β不能由α1，α2，α3线性表示；(2)可由α1，α2，α3惟一地线性表示，并求出表示式；(3)β可由α1，α2，α3线性表示，但表示式不惟一，并求出表示式．正确答案：设有一组数x1，x2，x3，使得x1α1+x2α2+x3α3=β(*)对方程组(*)的增广矩阵施行初等行变换：(1)当a=0，b为任意常数时，有可知r(A)≠r()，故方程组(*)无解，β不能由α1，α2，α3线性表示．(2)当a≠0，且a≠b时，r(A)=r()=3，方程组(*)有唯一解：x1=1－，x2=1／a，x3=0．故此时β可由α1，α2，α3唯一地线性表示为：β=(1－α2．(3)当a=b≠0时，对施行初等行变换：可知r(A)=r()=2，故方程组(*)有无穷多解，通解为：x1=1－+C，x3=C，其中C为任意常数．故此时β可由α1，α2，α3线性表示，但表示式不唯一，其表示式为β=(1－+C)α2+Cα3，其中C为任意常数．涉及知识点：线性代数17．已知齐次线性方程组同解，求a，b，c的值．正确答案：方程组(Ⅱ)的未知量个数大于方程的个数，故方程组(Ⅱ)有非零解．因为方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)同解，所以方程组(Ⅰ)的系数矩阵的秩小于3．对方程组(Ⅰ)的系数矩阵施以初等行变换：从而a=2．此时，方程组(Ⅰ)的系数矩阵可由初等行变换化为故(－1，－1，1)T是方程组(Ⅰ)的一个基础解系．将x1=－1，x2=－1，x3=1代入方程组(Ⅱ)可得：b=1，c=2或b=0，c=1．当b=1，c=2时，对方程组(Ⅱ)的系数矩阵施以初等行变换，有由于(1)式与(2)式右边矩阵的行向量组等价，故方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)同解．当b=0，c=1时，方程组(Ⅱ)的系数矩阵可由初等行变换化为由于(1)式与(3)式右边矩阵的行向量组不等价，故方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的解不相同．综上所述，当a=2，b=1，c=2时，方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)同解．涉及知识点：线性代数18．设线性方程组与方程(Ⅱ)：x1+2x2+x3=a－1有公共解，求a的值及所有公共解．正确答案：1方程组(Ⅰ)的系数矩阵A的行列式为=(a－1)(a－2)(1)当|A|≠0，即a≠1且a≠2时，方程组(Ⅰ)只有零解，而零解x=(0，0，0)T不满足方程(Ⅱ)，故当a≠1且a≠2时，(Ⅰ)与(Ⅱ)无公共解；(2)当a=1时，由A的初等行变换得方程组(Ⅰ)的通解为x=c(1，0，－1)T，其中c为任意常数．显然当a=1时，(Ⅱ)是(Ⅰ)的一个方程，(Ⅰ)的解都满足(Ⅱ)．所以，当a=1时，(Ⅰ)与(Ⅱ)的所有公共解是x=c(1，0，－1)T，其中c为任意常数；(3)当a=2时，由A的初等行变换得(Ⅰ)的通解为x=k(0，1，－1)T，要使它是(Ⅱ)的解，将其代入方程(Ⅱ)，得k=1，故当a=2时，(Ⅰ)与(Ⅱ)的公共解为x=(0，1，－1)T．2将(Ⅰ)与(Ⅱ)联立，得线性方程组显然，方程组(Ⅲ)的解既满足(Ⅰ)，又满足(Ⅱ)；反之，(Ⅰ)与(Ⅱ)的公共解必满足(Ⅲ)．因此，要求(Ⅰ)与(Ⅱ)公共解，只要求方程组(Ⅲ)的解即可．对方程组(Ⅲ)的增广矩阵施行初等行变换由线性方程组有解判定定理知，方程组(Ⅲ)有解(a－1)(a－2)=0a=1或a=2．(1)当a=1时由此得方程组(Ⅲ)的通解、即(Ⅰ)与(Ⅱ)的所有公共解为x=c(1．0．－1)T，其中c为任意常数；(2)当a=2时由此得(Ⅲ)有唯一解x=(0，1，－1)T，故当a=2时，(Ⅰ)与(Ⅱ)的公共解为x=(0，1，－1)T．涉及知识点：线性代数设n元线性方程组Ax=b，其中19．证明行列式|A|=(n+1)an；正确答案：证法1记Dn=|A|，以下用数学归纳法证明Dn=(n+1)an．当n=1时，D1=2a，结论成立；当n=2时，D2=3a2=(n+1)an结论成立；假设结论对于小于n的情况成立．将Dn按第1行展开，得=2aDn－1－a2Dn－2(代入归纳假设Dk=(k+1)ak，k＜n)=2anan－1－a2(n－1)an－2=(n+1)an故|A|=(n+1)an．证法2把|A|化成上三角行列式=(n+1)an涉及知识点：线性代数20．当a为何值时，该方程组有唯一的解，并在此时求x1；正确答案：该方程组有唯一解|A|≠0，即a≠0．此时，由克莱姆法则，将Dn第1列换成b，得行列式所以，x1=△1／Dn=涉及知识点：线性代数21．当a为何值时，该方程组有无穷多解，并在此时求其通解．正确答案：当a=0时，方程组为此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为n－1，所以此时方程组有无穷多解，其通解为x=(0，1，0，…，0)T+k(1，0，0，…，0)T其中k为任意常数．涉及知识点：线性代数22．设(Ⅰ)求满足Aξ2=ξ1，A2ξ3=ξ1的所有向量ξ2，ξ3；(Ⅱ)对(Ⅰ)中的任意向量ξ2，ξ3，证明ξ1，ξ2，ξ3线性无关．正确答案：(Ⅰ)设ξ2=(x1，x2，x3)T，解方程组Aξ2=ξ1，由[A，ξ1]得x1=－x2，x3=1－2x2(x2任意)．令自由未知量x2=－c1，则得ξ2其中c1为任意常数．设ξ3=(y1，y2，y3)T，解方程组A2ξ2=ξ1，由[A2，ξ1]得y1=－－y2(y2，y3任意)．令自由未知量y2=c2，y3=c3，则得其中c2，c3为任意常数．(Ⅱ)3个3维向量ξ1，ξ2，ξ3线性无关的充要条件是3阶行列式D=|ξ1ξ2ξ3|≠0．而所以ξ1，ξ2，ξ3线性无关．涉及知识点：线性代数已知线性方程组Ax=b存在2个不同的解．23．求λ，a；正确答案：因为A为方阵且方程组Ax=b的解不唯一，所以必有|A|=0，而|A|=(λ－1)2(λ+1)，于是λ=1或λ=－1．当λ