河南省郑州市第五十七中学2023-2024学年七年级下学期期中考试数学试卷

第1页（共1页）河南省郑州市第五十七中学2023-2024学年七年级下学期期中考试数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）下列运算正确的是（）A．a6÷a3＝a2 B．3a0＝0 C．（a2）3＝a5 D．（﹣a）2•a3＝a52．（3分）某桑蚕丝的直径约为0.000016米，则这种桑蚕丝的直径用科学记数法表示约为（）A．1.6×10﹣6米 B．1.6×106米 C．1.6×10﹣5米 D．1.6×105米3．（3分）在同一平面内，下列说法错误的有（）①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②两条射线不相交就平行；③有公共顶点且相等的角是对顶角；④直线外一点到已知直线的垂线段叫做这点到直线的距离；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．（3分）将一副三角板按如图所示的位置摆放，其中∠α与∠β一定互余的是（）A． B． C． D．5．（3分）赵老师手中有一张记录他从出生到24周岁期间的身高情况表（如下）：年龄x/岁03691215182124身高h/cm48100130140150158165170170.4下列说法中错误的是（）A．赵老师的身高增长速度总体上先快后慢 B．x与h都是变量，且x是自变量，h是因变量 C．赵老师的身高在21岁以后基本不长了 D．赵老师的身高从0岁到12岁平均每年增高12.5cm6．（3分）观察下列两个多项式相乘的运算过程：根据你发现的规律，若（x+a）（x+b）＝x2﹣7x+12，则a，b的值可能分别是（）A．﹣3，﹣4 B．﹣3，4 C．3，﹣4 D．3，47．（3分）如图，下列条件中：①∠B+∠BCD＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠B＝∠5；⑤∠3＝∠5，能判定AB∥CD的有（）A．①② B．①③④ C．③⑤ D．②④⑤8．（3分）如图1的长方形纸带中∠DEF＝25°，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，则图3中∠CFE度数是（）A．105° B．120° C．130° D．145°9．（3分）如图，点C是线段BG上的一点，以BC，CG为边向两边作正方形，面积分别是S1和S2，两正方形的面积和S1+S2＝40，已知BG＝8，则图中阴影部分面积为（）A．6 B．8 C．10 D．1210．（3分）已知动点P以2cm/s的速度沿图1所示的边框按B→C→D→E→F→A的路径运动，△ABP的面积y（cm2）与运动时间t（s）的关系如图2所示，若AB＝6cm，则m的值为（）A．8 B．10 C．13 D．16二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）计算：＝．12．（3分）如图，一种圆环的外圆直径是8cm，环宽1cm．若把x个这样的圆环扣在一起并拉紧，其长度为ycm，则y与x之间的关系式为．13．（3分）如图，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，BC＝5．点P为边BC上一动点，连接AP，则AP的最小值是．14．（3分）如图，在△ABC中，已知D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且△ABC的面积是8，则图中阴影部分的面积等于．15．（3分）∠AOB＝40°，BC∥OA，过点C作直线OA的垂线，点D为垂足，若∠OCD＝2∠OCB，则∠COB为度．三、解答题（本大题共7小题，共75分）16．（8分）先化简再求值：[（3a+b）2﹣（b+3a）（3a﹣b）﹣6b2]÷2b，其中a＝，b＝﹣2．17．（9分）如图，△ABC中，∠ACB＞∠ABC．（1）用直尺和圆规在∠ACB的内部作射线CM，使∠ACM＝∠ABC（保留作图痕迹，不写作法）；（2）若（1）中的射线CM交AB于点D，∠A＝60°，∠B＝40°，求∠BDC．18．（10分）如图，在△ABC中，已知点E在BC上，BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为D，F，点M，G在边AB上，GF交BD于点H，∠BMD+∠ABC＝180°，∠1＝∠2，则有MD∥GF．下面是小颖同学的思考过程，请你补充完整．思考过程：∵BD⊥AC，EF⊥AC（已知），∴∠BDC＝90°，∠EFC＝90°（）．∴∠BDC＝∠EFC（等量代换）．∴（同位角相等，两直线平行）．∴∠2＝∠CBD（）．∵∠1＝∠2（已知），∴（等量代换）．∴（）．∵∠BMD+∠ABC＝180°（），∴（）．∴MD∥GF（）．19．（10分）某市电力公司为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方法计算电费：每月用电不超过100度时，按每度0.37元计费；每月用电超过100度时，其中超过部分按每度0.50元计费．（1）设每月用电x度时，应交电费y元，当x≤100和x＞100时，分别写出y关于x的关系式；（2）小王家第一季度交纳电费如表所示：月份一月份二月份三月份交费金额76元63元45元6角问小王家第一季度共用电多少度？20．（12分）定义：对于依次排列的多项式x+a、x+b、x+c、x+d（a、b、c、d是常数），当他们满足（x+a）（x+d）﹣（x+b）（x+c）＝M，且M是常数时，则称a、b、c、d是一组平衡数，M是该组平衡数的平衡因子，例如，对于多项式x+2、x+1、x+6、x+5来说因为（x+2）（x+5）﹣（x+1）（x+6）＝（x2+7x+10）﹣（x2+7x+6）＝4，所以2、1、6、5是一组平衡数，4是该组平衡数的平衡因子．（1）已知2、4、7、9是一组平衡数，则该组平衡数的平衡因子M＝（x+2）（x+9）﹣（x+4）（x+7）＝．（2）若﹣4、2、m、3是一组平衡数，求m的值．（3）当a、b、c、d之间满足怎样的数量关系时，他们是一组平衡数？21．（13分）“龟兔赛跑”的故事同学们都非常熟悉，图中的线段OD和折线OABC表示“龟兔赛跑”时路程与时间的关系，请你根据图中给出的信息，解决下列问题．（1）填空：折线OABC表示赛跑过程中的路程与时间的关系，线段OD表示赛跑过程中的路程与时间的关系．赛跑的全程是米．（2）兔子在起初每分钟跑多少米？乌龟每分钟爬多少米？（3）乌龟从出发到追上兔子用了多少分钟？（4）兔子醒来，以48千米/时的速度跑向终点，结果还是比乌龟晚到了0.5分钟，请你算算兔子中间停下睡觉用了多少分钟？22．（13分）如图1，直线AB与直线OC交于点O，∠BOC＝α°（0＜α＜90）．小明将一个含30°的直角三角板PQD如图1所示放置，使顶点P落在直线AB上，过点Q作直线MN∥AB交直线OC于点H（点H在Q左侧）．（1）若PD∥OC，∠NQD＝45°，则α＝°．（2）若∠PQH的角平分线交直线AB于点E，如图2．①当QE∥OC，α＝60°时，求证：OC∥PD．②小明将三角板保持PD∥OC并向左平移，运动过程中，∠PEQ＝（用α表示）．参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）下列运算正确的是（）A．a6÷a3＝a2 B．3a0＝0 C．（a2）3＝a5 D．（﹣a）2•a3＝a5【解答】解：A、a6÷a3＝a3，故此选项错误；B、3a0＝1，（a≠0），故此选项错误；C、（a2）3＝a6，故此选项错误；D、（﹣a）2•a3＝a5，正确．故选：D．2．（3分）某桑蚕丝的直径约为0.000016米，则这种桑蚕丝的直径用科学记数法表示约为（）A．1.6×10﹣6米 B．1.6×106米 C．1.6×10﹣5米 D．1.6×105米【解答】解：0.000016＝1.6×10﹣5．故选：C．3．（3分）在同一平面内，下列说法错误的有（）①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②两条射线不相交就平行；③有公共顶点且相等的角是对顶角；④直线外一点到已知直线的垂线段叫做这点到直线的距离；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故①不符合题意；两条射线不相交也不一定平行，故②符合题意；有公共顶点且相等的角不一定是对顶角，故③符合题意；直线外一点到已知直线的垂线段的长度叫做这点到直线的距离，故④符合题意；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故⑤符合题意；故选：D．4．（3分）将一副三角板按如图所示的位置摆放，其中∠α与∠β一定互余的是（）A． B． C． D．【解答】解：C中的α+β＝180°﹣90°＝90°，故选：C．5．（3分）赵老师手中有一张记录他从出生到24周岁期间的身高情况表（如下）：年龄x/岁03691215182124身高h/cm48100130140150158165170170.4下列说法中错误的是（）A．赵老师的身高增长速度总体上先快后慢 B．x与h都是变量，且x是自变量，h是因变量 C．赵老师的身高在21岁以后基本不长了 D．赵老师的身高从0岁到12岁平均每年增高12.5cm【解答】解：∵100﹣48＝52（cm），130﹣100＝30（cm），140﹣130＝10（cm），150﹣140＝10（cm），158﹣150＝8（cm），165﹣158＝7（cm），170﹣165＝5（cm），170.4﹣170＝0.4（cm），52＞30＞10＝10＞8＞7＞5＞0.4，∴赵老师的身高增长速度总体上先快后慢，∴A正确，不符合题意；x与h都是变量，h随x的变化而变化，即x是自变量，h是因变量，∴B正确，不符合题意；∵赵老师的身高21岁时170cm，24岁时170.4cm，∴赵老师的身高在21岁以后基本不长了，∴C正确，不符合题意；赵老师的身高从0岁到12岁平均每年增高（150﹣48）÷12＝8.5（cm），∴D错误，符合题意．故选：D．6．（3分）观察下列两个多项式相乘的运算过程：根据你发现的规律，若（x+a）（x+b）＝x2﹣7x+12，则a，b的值可能分别是（）A．﹣3，﹣4 B．﹣3，4 C．3，﹣4 D．3，4【解答】解：根据题意，知：a+b＝﹣7，ab＝12，∴a，b的值可能分别是﹣3，﹣4，故选：A．7．（3分）如图，下列条件中：①∠B+∠BCD＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠B＝∠5；⑤∠3＝∠5，能判定AB∥CD的有（）A．①② B．①③④ C．③⑤ D．②④⑤【解答】解：∵∠B+∠BCD＝180°，∴AB∥CD，故①符合题意；∵∠1＝∠2，∴AD∥BC，故②不符合题意；∵∠3＝∠4，∴AB∥CD，故③符合题意；∵∠B＝∠5，∴AB∥CD，故④符合题意；由∠3＝∠5，不能判定AB∥CD，故⑤不符合题意；故选：B．8．（3分）如图1的长方形纸带中∠DEF＝25°，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，则图3中∠CFE度数是（）A．105° B．120° C．130° D．145°【解答】解：∵四边形ABCD为长方形，∴AD∥BC，∴∠BFE＝∠DEF＝25°．由翻折的性质可知：图2中，∠EFC＝180°﹣∠BFE＝155°，∠BFC＝∠EFC﹣∠BFE＝130°，图3中，∠CFE＝∠BFC﹣∠BFE＝105°．故选：A．9．（3分）如图，点C是线段BG上的一点，以BC，CG为边向两边作正方形，面积分别是S1和S2，两正方形的面积和S1+S2＝40，已知BG＝8，则图中阴影部分面积为（）A．6 B．8 C．10 D．12【解答】解：设BC＝a，CG＝b，则S1＝a2，S2＝b2，a+b＝BG＝8．∴a2+b2＝40．∵（a+b）2＝a2+b2+2ab＝64，∴2ab＝64﹣40＝24，∴ab＝12，∴阴影部分的面积等于ab＝×12＝6．故选：A．10．（3分）已知动点P以2cm/s的速度沿图1所示的边框按B→C→D→E→F→A的路径运动，△ABP的面积y（cm2）与运动时间t（s）的关系如图2所示，若AB＝6cm，则m的值为（）A．8 B．10 C．13 D．16【解答】解：由题得五段函数分别是点P在BC、CD、DE、EF、FA上所形成的，当0＜t≤3时，点P在BC上运动，∴BC＝3×2＝6，当3＜t≤5时，点P在CD上运动，∴CD＝2×2＝4，当5＜t≤7时，点P在DE上运动，∴DE＝2×2＝4，∴EF＝AB﹣CD＝2，∴点P在EF上运动的时间t＝1，∵AF＝BC+DE＝6+4＝10，∴点P在AF上运动的时间t＝5，∴m＝7+1+5＝13，故选：C．二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）计算：＝．【解答】解：原式＝3﹣1+＝．12．（3分）如图，一种圆环的外圆直径是8cm，环宽1cm．若把x个这样的圆环扣在一起并拉紧，其长度为ycm，则y与x之间的关系式为y＝7x+1（x≥1且x为整数）．【解答】解：当x＝1时，y＝8；当x＝2时，y＝2×8﹣1＝15；当x＝3时，y＝3×8﹣1×2＝22…由此可知，每增加1个圆环，总长度增加7cm，∴y是x的一次函数．设y与x之间的关系式为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）．将x＝1，y＝8和x＝2，y＝15代入y＝kx+b，得，解得，∴y与x之间的关系式为y＝7x+1（x≥1且x为整数）．故答案为：y＝7x+1（x≥1且x为整数）．13．（3分）如图，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，BC＝5．点P为边BC上一动点，连接AP，则AP的最小值是．【解答】解：如图所示，当AP⊥BC时，AP最短，∵＝，∴AP＝＝＝，∴AP的最小值是．故答案为：．14．（3分）如图，在△ABC中，已知D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且△ABC的面积是8，则图中阴影部分的面积等于2．【解答】解：D是BC的中点，∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC；∵E是AD的中点，∴S△ABE＝S△ABD＝S△ABC，S△ACE＝S△ABC，∴S△ABE+S△ACE＝S△ABC＝，∵点F是CE的中点，∴S△BEF＝S△BEC＝S△ABC＝＝2．故答案为：2．15．（3分）∠AOB＝40°，BC∥OA，过点C作直线OA的垂线，点D为垂足，若∠OCD＝2∠OCB，则∠COB为10或110度．【解答】解：如图所示，当点D在AO上时，∵BC∥OA，CD⊥AO，∴∠BCD＝90°，又∵∠OCD＝2∠OCB，∴∠BCO＝30°＝∠AOC，又∵∠AOB＝40°，∴∠COB＝40°﹣30°＝10°；如图所示，当点D在AO的延长线上时，∵BC∥OA，CD⊥AO，∴∠BCD＝90°，又∵∠OCD＝2∠OCB，∴∠BCO＝30°＝∠DOC，又∵∠AOB＝40°，∴∠COB＝180°﹣40°﹣30°＝110°；故答案为：10或110．三、解答题（本大题共7小题，共75分）16．（8分）先化简再求值：[（3a+b）2﹣（b+3a）（3a﹣b）﹣6b2]÷2b，其中a＝，b＝﹣2．【解答】解：[（3a+b）2﹣（b+3a）（3a﹣b）﹣6b2]÷2b＝（9a2+b2+6ab﹣3ab+b2﹣9a2+3ab﹣6b2）÷2b＝（﹣4b2+6ab）÷2b＝﹣2b+3a，当a＝，b＝﹣2时，原式＝﹣2×（﹣2）+3×（﹣）＝3．17．（9分）如图，△ABC中，∠ACB＞∠ABC．（1）用直尺和圆规在∠ACB的内部作射线CM，使∠ACM＝∠ABC（保留作图痕迹，不写作法）；（2）若（1）中的射线CM交AB于点D，∠A＝60°，∠B＝40°，求∠BDC．【解答】解：（1）如图，射线CM即为所求．（2）∵∠A＝60°，∠B＝40°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝80°，∵∠ACM＝∠ABC＝40°，∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACM＝40°，∴∠BDC＝180°﹣∠B﹣∠BCD＝100°．18．（10分）如图，在△ABC中，已知点E在BC上，BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为D，F，点M，G在边AB上，GF交BD于点H，∠BMD+∠ABC＝180°，∠1＝∠2，则有MD∥GF．下面是小颖同学的思考过程，请你补充完整．思考过程：∵BD⊥AC，EF⊥AC（已知），∴∠BDC＝90°，∠EFC＝90°（垂直的定义）．∴∠BDC＝∠EFC（等量代换）．∴BD∥EF（同位角相等，两直线平行）．∴∠2＝∠CBD（两直线平行，同位角相等）．∵∠1＝∠2（已知），∴∠1＝∠CBD（等量代换）．∴GF∥BC（内错角相等，两直线平行）．∵∠BMD+∠ABC＝180°（已知），∴MD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）．∴MD∥GF（平行于同一直线的两直线互相平行）．【解答】解：∵BD⊥AC，EF⊥AC（已知），∴∠BDC＝90°，∠EFC＝90°（垂直的定义）．∴∠BDC＝∠EFC（等量代换）．∴BD∥EF（同位角相等，两直线平行）．∴∠2＝∠CBD（两直线平行，同位角相等）．∵∠1＝∠2（已知），∴∠1＝∠CBD（等量代换）．∴GF∥BC（内错角相等，两直线平行）．∵∠BMD+∠ABC＝180°（已知），∴MD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）．∴MD∥GF（平行于同一直线的两直线互相平行）．故答案为：垂直的定义；BD∥EF；两直线平行，同位角相等；∠1＝∠CBD；GF∥BC；内错角相等，两直线平行；已知；MD∥BC；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一直线的两直线互相平行．19．（10分）某市电力公司为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方法计算电费：每月用电不超过100度时，按每度0.37元计费；每月用电超过100度时，其中超过部分按每度0.50元计费．（1）设每月用电x度时，应交电费y元，当x≤100和x＞100时，分别写出y关于x的关系式；（2）小王家第一季度交纳电费如表所示：月份一月份二月份三月份交费金额76元63元45元6角问小王家第一季度共用电多少度？【解答】解：（1）当x≤100时，y＝0.37x；当x＞100时，y＝100×0.37+（x﹣100）×0.5＝0.5x﹣13；（2）当每月电费超过37元，所用电量超过100度，∴一月份用电量：0.5x﹣13＝76，解得：x＝178，二月份用电量：0.5x﹣13＝63，解得：x＝152，三月份用电量：0.5x﹣13＝45.6，解得：x＝117.2所以第一季度总的用电＝178+152+117.2＝447.2（度）．20．（12分）定义：对于依次排列的多项式x+a、x+b、x+c、x+d（a、b、c、d是常数），当他们满足（x+a）（x+d）﹣（x+b）（x+c）＝M，且M是常数时，则称a、b、c、d是一组平衡数，M是该组平衡数的平衡因子，例如，对于多项式x+2、x+1、x+6、x+5来说因为（x+2）（x+5）﹣（x+1）（x+6）＝（x2+7x+10）﹣（x2+7x+6）＝4，所以2、1、6、5是一组平衡数，4是该组平衡数的平衡因子．（1）已知2、4、7、9是一组平衡数，则该组平衡数的平衡因子M＝（x+2）（x+9）﹣（x+4）（x+7）＝10．（2）若﹣4、2、m、3是一组平衡数，求m的值．（3）当a、b、c、d之间满足怎样的数量关系时，他们是一组平衡数？【解答】解：（1）M＝（x+2）（x+9）﹣（x+4）（x+7）＝x2+9x+2x+18﹣（x2+4x+7x+28）＝x2+9x+2x+18﹣x2﹣4x﹣7x﹣28＝﹣10；（2）∵﹣4，2，m，3是一组平衡数，∴（x﹣4）（x+3）﹣（x+2）（x+m）的结果为常数，∵（x﹣4）（x+3）﹣（x+2）（x+m）＝（﹣3﹣m）x﹣12﹣2m∴﹣3﹣m＝0，解得m＝﹣3．故答案为：﹣3；（3）a+d＝c+b．证明：假设a，b，c，d是平衡数，则（x+a）（x+d）﹣（x+b）（x+c）结果为常数，（x+a）（x+d）﹣（x+b）（x+c）＝x2+ax+dx+ad﹣x2﹣bx﹣cx﹣bc＝（a+d）x﹣（b+c）x+ad﹣bc＝[（a+d）﹣（b+c）]x+ad﹣ba．∵结果为常数，∴（a+d）﹣（b+c）＝0，∴a+d＝b+c．21．（13分）“龟兔赛跑”的故事同学们都非常熟悉，图中的线段OD和折线OABC表示“龟兔赛跑”时路程与时间的关系，请你根据图中给出的信息，解决下列问题．（1）填空：折线OABC表示赛跑过程中兔子的路程与时间的关系，线段OD表示赛跑过程中乌龟的路程与时间的关系．赛跑的全程是1500米．（2）兔子在起初每分钟跑多少米？乌龟每分钟爬多少米？（3）乌龟从出发到追上兔子用了多少分钟？（4）兔子醒来，以48千米/时的速度跑向终点，结果还是比乌龟晚到了0.5分钟，请你算算兔