2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题11对数与对数函数教师版

专题11对数与对数函数一、【知识梳理】【考纲要求】1.理解对数的概念及运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过实例，了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画具体对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.3.了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数.【考点预测】1.对数的概念如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.2.对数的性质、运算性质与换底公式(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).(2)对数的运算性质如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R).(3)换底公式：logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1).3.对数函数及其性质(1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞).(2)对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.它们的定义域和值域正好互换.【常用结论】1.换底公式的两个重要结论(1)logab＝eq\f(1,logba)(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1).(2)logambn＝eq\f(n,m)logab(a>0，且a≠1；b>0；m，n∈R，且m≠0).2.对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数.故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大.【方法技巧】1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3.ab＝N⇔b＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.4.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.5.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.6.利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用.二、【题型归类】【题型一】对数的化简与求值【典例1】(1)计算log535＋2logeq\s\do9(\f(1,2))eq\r(2)－log5eq\f(1,50)－log514的值．(2)计算(log2125＋log425＋log85)(log1258＋log254＋log52)的值．(3)设x，y，z均为大于1的实数，且z为x和y的等比中项，则eq\f(lgz,4lgx)＋eq\f(lgz,lgy)的最小值为________．【解析】(1)原式＝log5eq\f(35×50,14)＋2logeq\s\do9(\f(1,2))2eq\s\up6(\f(1,2))＝log553－1＝2.(2)原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3log25＋log25＋\f(1,3)log25))(log52＋log52＋log52)＝eq\f(13,3)log25×3log52＝13.(3)因为x，y，z均为大于1的实数，所以lgx>0，lgy>0，lgz>0，又由z为x和y的等比中项，可得z2＝xy.eq\f(lgz,4lgx)＋eq\f(lgz,lgy)＝lgz×eq\f(4lgx＋lgy,4lgx×lgy)＝eq\f(1,2)lgxy×eq\f(4lgx＋lgy,4lgx×lgy)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lgx＋lgy))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4lgx＋lgy)),8lgx×lgy)＝eq\f(4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lgx))2＋5lgx×lgy＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lgy))2,8lgx×lgy)≥eq\f(9lgx×lgy,8lgx×lgy)＝eq\f(9,8).故填eq\f(9,8).【典例2】(1)计算(lg2)2＋lg2·lg50＋lg25的值；(2)计算(log32＋log92)(log43＋log83)的值；(3)设函数f1(x)＝x，f2(x)＝log2015x，ai＝eq\f(i,2015)(i＝1，2，…，2015)，记Ik＝|fk(a2)－fk(a1)|＋|fk(a3)－fk(a2)|＋…＋|fk(a2015)－fk(a2014)|，k＝1，2，则()A．I1＜I2B．I1＝I2C．I1＞I2D．I1与I2的大小关系无法确定【解析】(1)原式＝(lg2)2＋(1＋lg5)lg2＋lg52＝(lg2＋lg5＋1)lg2＋2lg5＝(1＋1)lg2＋2lg5＝2(lg2＋lg5)＝2.(2)原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg2,lg3)＋\f(lg2,lg9)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg3,lg4)＋\f(lg3,lg8)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg2,lg3)＋\f(lg2,2lg3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg3,2lg2)＋\f(lg3,3lg2)))＝eq\f(3lg2,2lg3)×eq\f(5lg3,6lg2)＝eq\f(5,4).(3)∵f1(ai＋1)－f1(ai)＝eq\f(i＋1,2015)－eq\f(i,2015)＝eq\f(1,2015)，∴I1＝|f1(a2)－f1(a1)|＋|f1(a3)－f1(a2)|＋…＋|f1(a2015)－f1(a2014)|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2015)))×2014＝eq\f(2014,2015).∵f2(ai＋1)－f2(ai)＝log2015eq\f(i＋1,2015)－log2015eq\f(i,2015)＝log2015eq\f(i＋1,i)＞0，∴I2＝|f2(a2)－f2(a1)|＋|f2(a3)－f2(a2)|＋…＋|f2(a2015)－f2(a2014)|＝log2015eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,1)×\f(3,2)×…×\f(2015,2014)))＝log20152015＝1.∴I1＜I2.故选A.【典例3】设2a＝5b＝m，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝2，则m等于()A.eq\r(10)B．10C．20D．100【解析】2a＝5b＝m，∴log2m＝a，log5m＝b，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,log2m)＋eq\f(1,log5m)＝logm2＋logm5＝logm10＝2，∴m2＝10，∴m＝eq\r(10)(舍m＝－eq\r(10))．故选A.【题型二】对数函数的图象及应用【典例1】已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是()A．0<a－1<b<1 B．0<b<a－1<1C．0<b－1<a<1 D．0<a－1<b－1<1【解析】由函数图象可知，f(x)为增函数，故a>1.函数图象与y轴的交点坐标为(0，logab)，由函数图象可知－1<logab<0，解得eq\f(1,a)<b<1.综上有0<eq\f(1,a)<b<1.故选A.【典例2】若方程4x＝logax在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上有解，则实数a的取值范围为．【解析】若方程4x＝logax在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上有解，则函数y＝4x和函数y＝logax在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上有交点，由图象知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<a<1，,loga\f(1,2)≤2，))解得0<a≤eq\f(\r(2),2).【典例3】已知x1，x2分别是函数f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝lnx＋x－2的零点，则＋lnx2的值为()A．e2＋ln2 B．e＋ln2C．2 D．4【解析】根据题意，已知x1，x2分别是函数f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝lnx＋x－2的零点，函数f(x)＝ex＋x－2的零点为函数y＝ex的图象与y＝2－x的图象的交点的横坐标，则两个函数图象的交点为(x1，)，函数g(x)＝lnx＋x－2的零点为函数y＝lnx的图象与y＝2－x的图象的交点的横坐标，则两个函数图象的交点为(x2，lnx2)，又由函数y＝ex与函数y＝lnx互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，而直线y＝2－x也关于直线y＝x对称，则点(x1，)和(x2，lnx2)也关于直线y＝x对称，则有x1＝lnx2，则有＋lnx2＝＋x1＝2.【题型三】对数型复合函数的综合问题【典例1】已知函数f(x)＝logeq\s\do9(\f(1,2))(x2－2ax＋3)．(1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)的值域为R，求实数a的取值范围；(3)若函数f(x)在[－1，＋∞)内有意义，求实数a的取值范围；(4)若函数f(x)的值域为(－∞，－1]，求实数a的值．【解析】(1)由f(x)的定义域为R，知x2－2ax＋3＞0的解集为R，则Δ＝4a2－12＜0，解得－eq\r(3)＜a＜eq\r(3).∴a的取值范围为(－eq\r(3)，eq\r(3))．(2)函数f(x)的值域为R等价于u＝x2－2ax＋3取(0，＋∞)上的一切值，所以只要umin＝3－a2≤0⇒a≤－eq\r(3)或a≥eq\r(3).(3)由f(x)在[－1，＋∞)内有意义，知u(x)＝x2－2ax＋3＞0对x∈[－1，＋∞)恒成立，因为y＝u(x)图象的对称轴为x＝a，所以当a＜－1时，u(x)min＝u(－1)＞0，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＜－1，,2a＋4＞0，))解得－2＜a＜－1；当a≥－1时，u(x)min＝u(a)＝3－a2＞0，即－eq\r(3)＜a＜eq\r(3)，所以－1≤a＜eq\r(3).综上可知，a的取值范围为(－2，eq\r(3))．(4)因为y＝f(x)≤－1，所以u(x)＝x2－2ax＋3的值域为[2，＋∞)，又u(x)＝(x－a)2＋3－a2≥3－a2，则有u(x)min＝3－a2＝2，解得a＝±1.【典例2】已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．(1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．【解析】(1)∵f(1)＝1，∴log4(a＋5)＝1，因此a＋5＝4，∴a＝－1，这时f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)．由－x2＋2x＋3＞0得－1＜x＜3，∴函数f(x)的定义域为(－1，3)．令u(x)＝－x2＋2x＋3.则u(x)在(－1，1)上单调递增，在(1，3)上单调递减，又y＝log4u在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)的单调递增区间是(－1，1)，单调递减区间是(1，3)．(2)假设存在实数a，使f(x)的最小值是0，则h(x)＝ax2＋2x＋3应有最小值1，显然a≠0，因此应有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＞0，,\f(4a×3－22,4a)＝\f(3a－1,a)＝1，))解得a＝eq\f(1,2).故存在实数a＝eq\f(1,2)使f(x)的最小值等于0.【典例3】已知函数f(x)＝logaeq\f(1－mx,x－1)是奇函数(a＞0，a≠1)．(1)求m的值；(2)判断f(x)在区间(1，＋∞)上的单调性；(3)当a＝eq\f(1,2)时，若对于[3，4]上的每一个x的值，不等式f(x)＞eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)＋b恒成立，求实数b的取值范围．【解析】(1)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)在其定义域内恒成立，即logaeq\f(1＋mx,－x－1)＝－logaeq\f(1－mx,x－1)，∴1－m2x2＝1－x2恒成立，∴m＝－1或m＝1(舍去)，即m＝－1.(2)由(1)得f(x)＝logaeq\f(x＋1,x－1)(a＞0，a≠1)，令u＝eq\f(x＋1,x－1)＝1＋eq\f(2,x－1)，则u在(1，＋∞)上为减函数．∴当a＞1时，f(x)在(1，＋∞)上是减函数；当0＜a＜1时，f(x)在(1，＋∞)上是增函数．(3)对于[3，4]上的每一个x的值，不等式f(x)＞eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)＋b恒成立⇔f(x)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)＞b在[3，4]上恒成立．令g(x)＝f(x)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)，由(2)知，g(x)在[3，4]上是单调递增函数，所以b＜g(x)min＝g(3)＝－eq\f(9,8)，即b的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(9,8))).【题型四】比较指数式、对数式大小【典例1】设a＝log3e，b＝e1.5，c＝，则()A．b<a<c B．c<a<bC．c<b<a D．a<c<b【解析】c＝＝log34>log3e＝a.又c＝log34<log39＝2，b＝e1.5>2，∴a<c<b.故选D.【典例2】设a＝log63，b＝log126，c＝log2412，则()A．b<c<a B．a<c<bC．a<b<c D．c<b<a【解析】因为a，b，c都是正数，所以eq\f(1,a)＝log36＝1＋log32，eq\f(1,b)＝log612＝1＋log62，eq\f(1,c)＝log1224＝1＋log122，因为log32＝eq\f(lg2,lg3)，log62＝eq\f(lg2,lg6)，log122＝eq\f(lg2,lg12)，且lg3<lg6<lg12，所以log32>log62>log122，即eq\f(1,a)>eq\f(1,b)>eq\f(1,c)，所以a<b<c.故选C.【典例3】设a＝log412，b＝log515，c＝log618，则()A．a>b>c B．b>c>aC．a>c>b D．c>b>a【解析】a＝1＋log43，b＝1＋log53，c＝1＋log63，∵log43>log53>log63，∴a>b>c.故选A.【题型五】解对数方程、不等式【典例1】方程log2(x－1)＝2－log2(x＋1)的解为________．【解析】原方程变形为log2(x－1)＋log2(x＋1)＝log2(x2－1)＝2，即x2－1＝4，解得x＝±eq\r(5)，又x>1，所以x＝eq\r(5).【典例2】已知不等式logx(2x2＋1)<logx(3x)<0成立，则实数x的取值范围是____________．【解析】原不等式⇔①eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<x<1，,2x2＋1>3x>1，))或②eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>1，,2x2＋1<3x<1，))解不等式组①得eq\f(1,3)<x<eq\f(1,2)，不等式组②无解．所以实数x的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2))).【典例3】若loga(a＋1)<loga(2eq\r(a))<0(a>0，a≠1)，则实数a的取值范围是．【解析】依题意loga(a＋1)<loga(2eq\r(a))<loga1，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>1，,a＋1<2\r(a)<1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<a<1，,a＋1>2\r(a)>1，))解得eq\f(1,4)<a<1.【题型六】对数函数性质的综合应用【典例1】设函数f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，则f(x)()A．是偶函数，且在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上单调递增B．是奇函数，且在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))上单调递减C．是偶函数，且在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))上单调递增D．是奇函数，且在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))上单调递减【解析】f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|的定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠±\f(1,2))))).又f(－x)＝ln|－2x＋1|－ln|－2x－1|＝ln|2x－1|－ln|2x＋1|＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，故排除A，C.当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))时，f(x)＝ln(－2x－1)－ln(1－2x)＝lneq\f(－2x－1,1－2x)＝lneq\f(2x＋1,2x－1)＝lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(2,2x－1)))，∵y＝1＋eq\f(2,2x－1)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))上单调递减，∴由复合函数的单调性可得f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))上单调递减．【典例2】若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上单调递减，则a的取值范围为()A．[1,2) B．[1,2]C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)【解析】令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，对称轴为x＝a，要使函数f(x)在(－∞，1]上单调递减，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g1>0，,a≥1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－a>0，,a≥1，))解得1≤a<2，即a∈[1,2)．【典例3】已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1x＋4－2a，x<1，,1＋log2x，x≥1，))若f(x)的值域为R，则实数a的取值范围是____________【解析】当x≥1时，f(x)＝1＋log2x≥1，当x<1时，f(x)＝(a－1)x＋4－2a必须是增函数，且最大值大于或等于1才能满足f(x)的值域为R，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1>0，,a－1＋4－2a≥1，))解得a∈(1,2]．三、【培优训练】【训练一】已知loga(a＋1)<log(a＋1)a(a>0且a≠1)，则a的取值范围是．【解析】∵loga(a＋1)－log(a＋1)a＝eq\f(lga＋1,lga)－eq\f(lga,lga＋1)＝eq\f(lg2a＋1－lg2a,lgalga＋1)＝eq\f([lga＋1－lga][lga＋1＋lga],lgalga＋1)当a>1时，lg(a＋1)>lga>0，∴loga(a＋1)>log(a＋1)a，不符合题意；当0<a<1时，lga<0，lg(a＋1)>0，lg(a＋1)－lga＝lgeq\f(a＋1,a)>lg1＝0，lg(a＋1)＋lga＝lg[a(a＋1)]＝lgeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)))2－\f(1,4)))，∴loga(a＋1)<log(a＋1)a(0<a<1)即为lgeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)))2－\f(1,4)))>0，由于y＝lgx(x>0)单调递增，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)))2－eq\f(1,4)>1.又0<a<1，解得eq\f(－1＋\r(5),2)<a<1，综上有a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－1＋\r(5),2)，1)).【训练二】已知函数f(x)＝log2(2x＋k)(k∈R)．(1)当k＝－4时，解不等式f(x)>2；(2)若函数f(x)的图象过点P(0,1)，且关于x的方程f(x)＝x－2m有实根，求实数m的取值范围．【解析】(1)当k＝－4时，f(x)＝log2(2x－4)．由f(x)>2，得log2(2x－4)>2，得2x－4>4，得2x>8，解得x>3.故不等式f(x)>2的解集是(3，＋∞)．(2)因为函数f(x)＝log2(2x＋k)(k∈R)的图象过点P(0,1)，所以f(0)＝1，即log2(1＋k)＝1，解得k＝1.所以f(x)＝log2(2x＋1)．因为关于x的方程f(x)＝x－2m有实根，即log2(2x＋1)＝x－2m有实根．所以方程－2m＝log2(2x＋1)－x有实根．令g(x)＝log2(2x＋1)－x，则g(x)＝log2(2x＋1)－x＝log2(2x＋1)－log22x＝log2eq\f(2x＋1,2x)＝log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2x))).因为1＋eq\f(1,2x)>1，log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2x)))>0，所以g(x)的值域为(0，＋∞)．所以－2m>0，解得m<0.所以实数m的取值范围是(－∞，0)．【训练三】已知函数f(x)＝lgeq\f(x－1,x＋1).(1)计算：f(2020)＋f(－2020)；(2)对于x∈[2,6]，f(x)<lgeq\f(m,x＋17－x)恒成立，求实数m的取值范围．【解析】(1)由eq\f(x－1,x＋1)>0，得x>1或x<－1.∴函数的定义域为{x|x>1或x<－1}．又f(x)＋f(－x)＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－x,1＋x)·\f(1＋x,1－x)))＝0，∴f(x)为奇函数．故f(2020)＋f(－2020)＝0.(2)当x∈[2,6]时，f(x)<lgeq\f(m,x＋17－x)恒成立可化为eq\f(x－1,1＋x)<eq\f(m,x＋17－x)恒成立．即m>(x－1)(7－x)在[2,6]上恒成立．又当x∈[2,6]时，(x－1)(7－x)＝－x2＋8x－7＝－(x－4)2＋9.∴当x＝4时，[(x－1)(7－x)]max＝9，∴m>9.即实数m的取值范围是(9，＋∞)．【训练四】设函数f(x)的定义域为D，若满足：①f(x)在D内是单调增函数；②存在[m，n]⊆D(n>m)，使得f(x)在[m，n]上的值域为[m，n]，那么就称y＝f(x)是定义域为D的“成功函数”.若函数g(x)＝loga(a2x＋t)(a>0且a≠1)是定义域为R的“成功函数”，则t的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4))) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,4))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，＋∞))【解析】因为g(x)＝loga(a2x＋t)是定义在R上的“成功函数”，所以g(x)为增函数，且g(x)在[m，n]上的值域为[m，n]，故g(m)＝m，g(n)＝n，即g(x)＝x有两个不相同的实数根.又loga(a2x＋t)＝x，即a2x－ax＋t＝0.令s＝ax，s>0，即s2－s＋t＝0有两个不同的正数根，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t>0，,Δ＝1－4t>0.))解得0<t<eq\f(1,4).【训练五】已知f(x)＝|lgx|－kx－2，给出下列四个结论：(1)若k＝0，则f(x)有两个零点；(2)∃k<0，使得f(x)有一个零点；(3)∃k<0，使得f(x)有三个零点；(4)∃k>0，使得f(x)有三个零点.以上正确结论的序号是________.【解析】零点个数问题，转化成两个函数图象的交点个数来分析.令f(x)＝|lgx|－kx－2＝0，可转化成两个函数y1＝|lgx|，y2＝kx＋2的图象的交点个数问题.对于(1)，当k＝0时，y2＝2与y1＝|lgx|的图象有两个交点，(1)正确；对于(2)，存在k<0，使y2＝kx＋2与y1＝|lgx|的图象相切，(2)正确；对于(3)，若k<0，y1＝|lgx|与y2＝kx＋2的图象最多有2个交点，(3)错误；对于(4)，当k>0时，过点(0，2)存在函数g(x)＝lgx(x>1)图象的切线，此时共有两个交点，当直线斜率稍微小于相切时的斜率时，就会有3个交点，故(4)正确.【训练六】已知函数f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x.(1)当x∈[1，4]时，求函数h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)的值域；(2)如果对任意的x∈[1，4]，不等式f(x2)·f(eq\r(x))>k·g(x)恒成立，求实数k的取值范围.【解析】(1)h(x)＝(4－2log2x)log2x＝2－2(log2x－1)2.因为x∈[1，4]，所以log2x∈[0，2]，故函数h(x)的值域为[0，2].(2)由f(x2)·f(eq\r(x))>k·g(x)，得(3－4log2x)(3－log2x)>k·log2x，令t＝log2x，因为x∈[1，4]，所以t＝log2x∈[0，2]，所以(3－4t)(3－t)>k·t对一切t∈[0，2]恒成立，①当t＝0时，k∈R；②当t∈(0，2]时，k<eq\f(（3－4t）（3－t）,t)恒成立，即k<4t＋eq\f(9,t)－15，因为4t＋eq\f(9,t)≥12，当且仅当4t＝eq\f(9,t)，即t＝eq\f(3,2)时取等号，所以4t＋eq\f(9,t)－15的最小值为－3.所以k<－3.综上，实数k的取值范围为(－∞，－3).四、【强化测试】【单选题】1.已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则()A．a<b<c B．a<c<bC．c<a<b D．b<c<a【解析】∵a＝log20.2<0，b＝20.2>1，c＝0.20.3∈(0,1)，∴a<c<b.故选B.2.若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数且f(2)＝1，则f(x)等于()A．log2xB.eq\f(1,2x)C．D．2x－2【解析】函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数是f(x)＝logax，又f(2)＝1，即loga2＝1，所以a＝2.故f(x)＝log2x.故选A.3.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝eq\f(5,2)lgeq\f(E1,E2)，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1,2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为()A．1010.1B．10.1C．lg10.1D．10－10.1【解析】由题意可设太阳的星等为m2，太阳的亮度为E2，天狼星的星等为m1，天狼星的亮度为E1，则由m2－m1＝eq\f(5,2)lgeq\f(E1,E2)，得－26.7＋1.45＝eq\f(5,2)lgeq\f(E1,E2)，则eq\f(5,2)lgeq\f(E1,E2)＝－25.25，∴lgeq\f(E1,E2)＝－10.1，lgeq\f(E2,E1)＝10.1，∴eq\f(E2,E1)＝1010.1.故选A.4.若函数f(x)＝loga(x＋b)的图象如图所示，其中a，b为常数，则函数g(x)＝ax＋b的图象大致是()【解析】由f(x)的图象可知0<a<1,0<b<1，∴g(x)的图象应为D.5.设函数f(x)＝loga|x|在(－∞，0)上单调递增，则f(a＋1)与f(2)的大小关系是()A．f(a＋1)>f(2) B．f(a＋1)<f(2)C．f(a＋1)＝f(2) D．不能确定【解析】由已知得0<a<1，所以1<a＋1<2，又易知函数f(x)为偶函数，故可以判断f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以f(a＋1)>f(2)．故选A.6.若函数y＝loga(x2－ax＋1)有最小值，则a的取值范围是()A．0<a<1 B．0<a<2，a≠1C．1<a<2 D．a≥2【解析】当a>1时，y有最小值，则说明x2－ax＋1有最小值，故x2－ax＋1＝0中Δ<0，即a2－4<0，所以2>a>1.当0<a<1时，y有最小值，则说明x2－ax＋1有最大值，与二次函数性质相互矛盾，舍去．综上可知，故选C．7.已知函数f(x)＝log3(9x＋1)＋mx是偶函数，则不等式f(x)＋4x<log32的解集为()A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)C．(－∞，0) D．(－∞，1)【解析】由f(x)＝log3(9x＋1)＋mx是偶函数，得f(－x)＝f(x)，即log3(9－x＋1)＋m(－x)＝log3(9x＋1)＋mx，变形可得m＝－1，即f(x)＝log3(9x＋1)－x，设g(x)＝f(x)＋4x＝log3(9x＋1)＋3x，易得g(x)在R上为增函数，且g(0)＝log3(90＋1)＝log32，则f(x)＋4x<log32⇒g(x)<g(0)，则有x<0，即不等式的解集为(－∞，0)．故选C．8.设函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(21－x，x≤1，,1－log2x，x>1，))则满足f(x)≤2的x的取值范围是()A．[－1，2] B．[0，2]C．[1，＋∞) D．[0，＋∞)【解析】当x≤1时，21－x≤2，解得x≥0，所以0≤x≤1；当x>1时，1－log2x≤2，解得x≥eq\f(1,2)，所以x>1.综上可知x≥0.故选D.【多选题】9.已知a，b>0且a≠1，b≠1，若logab>1，则()A．(a－1)(a－b)<0 B．(a－1)(a－b)>0C．(b－1)(b－a)<0 D．(b－1)(b－a)>0【解析】①当a>1时，logab>1＝logaa，∴b>a，∴b>a>1，∴(a－1)(a－b)<0.②当0<a<1时，logab>1＝logaa，∴b<a，∴0<b<a<1，∴b－1<0，b－a<0，∴(b－1)(b－a)>0.故选AD.10.已知函数f(x)＝log2(1－|x|)，则关于函数f(x)有下列说法，其中正确的说法为()A．f(x)的图象关于原点对称B．f(x)的图象关于y轴对称C．f(x)的最大值为0D．f(x)在区间(－1,1)上单调递增【解析】f(x)＝log2(1－|x|)为偶函数，不是奇函数，∴A错误，B正确；根据f(x)的图象(图略)可知D错误；∵1－|x|≤1，∴f(x)≤log21＝0，故C正确．故选BC.11.已知函数f(x)＝ln(x－2)＋ln(6－x)，则()A．f(x)在(2，6)上单调递增B．f(x)在(2，6)上的最大值为2ln2C．f(x)在(2，6)上单调递减D．y＝f(x)的图象关于直线x＝4对称【解析】f(x)＝ln(x－2)＋ln(6－x)＝ln[(x－2)(6－x)]，定义域为(2，6)．令t＝(x－2)(6－x)，则y＝lnt．因为二次函数t＝(x－2)(6－x)的图象的对称轴为直线x＝4，又f(x)的定义域为(2，6)，所以f(x)的图象关于直线x＝4对称，且在(2，4)上单调递增，在(4，6)上单调递减，当x＝4时，t有最大值，所以f(x)max＝ln(4－2)＋ln(6－4)＝2ln2，故选BD．12.在同一直角坐标系中，f(x)＝kx＋b与g(x)＝logbx的图象如图，则下列关系不正确的是()A．k＜0，0＜b＜1B．k＞0，b＞1C．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))g(1)＞0(x＞0)D．x＞1时，f(x)－g(x)＞0【解析】由直线方程可知，k＞0，0＜b＜1，故A，B不正确；而g(1)＝0，故C不正确；而当x＞1时，g(x)＜0，f(x)＞0，所以f(x)－g(x)＞0.所以D正确．故选ABC.【填空题】13.设2a＝5b＝m，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝2，则m＝________．【解析】因为2a＝5b＝m>0，所以a＝log2m，b＝log5m，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,log2m)＋eq\f(1,log5m)＝logm2＋logm5＝logm10＝2.所以m2＝10，所以m＝eq\r(10).答案：eq\r(10)14.已知函数y＝loga(x＋3)－eq\f(8,9)(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A，则点A的坐标为________；若点A也在函数f(x)＝3x＋b的图象上，则f(log32)＝________．【解析】令x＋3＝1可得x＝－2，此时y＝loga1－eq\f(8,9)＝－eq\f(8,9)，可知定点A的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－\f(8,9))).点A也在函数f(x)＝3x＋b的图象上，故－eq\f(8,9)＝3－2＋b，解得b＝－1.所以f(x)＝3x－1，则f(log32)＝3log32－1＝2－1＝1.答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－\f(8,9)))115.已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(lnx＋b，x>1，,ex－2，x≤1，))若f(e)＝－3f(0)，则b＝________，函数f(x)的值域为________．【解析】由f(e)＝－3f(0)得1＋b＝－3×(－1)，即b＝2，即函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(lnx＋2，x>1，,ex－2，x≤1.))当x>1时，y＝lnx＋2>2；当x≤1时，y＝ex－2∈(－2，e－2]．故函数f(x)的值域为(－2，e－2]∪(2，＋∞)．答案：2(－2，e－2]∪(2，＋∞)16.已知函数f(x)＝－log2x，则下列四个结论中正确的是________．(填序号)①函数f(|x|)为偶函数；②若f(a)＝|f(b)|，其中a>0，b>0，a≠b，则ab＝1；③函数f(－x2＋2x)在(1，3)上单调递增．【解析】对于①，f(|x|)＝－log2|x|，f(|－x|)＝－log2|－x|＝－log2|x|＝f(|x|)，所以函数f(|x|)为偶函数，故①正确；对于②，若f(a)＝|f(b)|，其中a>0，b>0，a≠b，则f(a)＝|f(b)|＝－f(b)，即－log2a＝log2b，即log2a＋log2b＝log2ab＝0，得到ab＝1，故②正确；对于③，函数f(－x2＋2x)＝－log2(－x2＋2x)，由－x2＋2x>0，解得0<x<2，所以函数f(－x2＋2x)的定义域为(0，2)，因此在(1，3)上不具有单调性，故③错误．答案：①②【解答题】17.已知函数f(x－3)＝logaeq\f(x,6－x)(a>0，a≠1)．(1)求f(x)的解析式；(2)判断f(x)的奇偶性，并说明理由．【解析】(1)令x－3＝u，则x＝u＋3，于是f(u)＝logaeq\f(3＋u,3－u)(a>0，a≠1，－3<u<3)，所以f(x)＝logaeq\f(3＋x,3－x)(a>0，a≠1，－3<x<3)．(2)f(x)是奇函数，理由如下：因为f(－x)＋f(x)＝logaeq\f(3－x,3＋x)＋logaeq\f(3＋x,3－x)＝loga1＝0，所以f(－x)＝－f(x)，又定义域(－3，3)关于原点对称．所以f(x)是奇函数．18.设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0且a≠1)，且f(1)＝2.(1)求实数a的值及f(x)的定义域；(2)求f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)))上的最大值．【解析】(1)因为f(1)＝2，所以loga4＝2(a>0，a≠1)，所以a＝2.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋x>0，,3－x>0，))得－1<x<3，所以函数f(x)的定义域为(－1，3)．(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)＝log2[(1＋x)(3－x)]＝log2[－(x－1)2＋4]，所以当x∈(－1，1]时，f(x)是增函数；当x∈(1，3)时，f(x)是减函数，故函数f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)))上的最大值是f(1)＝log24＝2.19.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(0)＝0，当x＞0时，f(x)＝logeq\f(1,2)x.(1)求函数f(x)的解析式；(2)解不等式f(x2－1)＞－2.【解析】(1)当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝logeq\f(1,2)(－x).因为函数f(x)