2023-2024学年华东师大二附中高一数学（下）期中考试卷附答案解析

2023-2024学年华东师大二附中高一数学（下）期中考试卷(试卷满分150分,考试时间120分钟)2024.04一、填空题（1～6题每题4分，7～12题每题5分，共54分）1．若角的终边经过点，则.2．满足等式的解为.3．化简：.4．若为第二象限角，，则．5．已知，，若，则.6．已知，，则在方向上的投影向量的坐标为.7．已知，，则.8．如图，正方形ABCD的边长为6，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于M，则．9．若将函数向右平移个单位后其图像关于轴对称，则.10．函数的部分图像如图所示，则.11．平面内互不重合的点、、、、、、，若，，2，3，4，则的最大值与最小值之和为.12．设a为常数，函数在区间上恰有个零点，求所有可能的正整数n的值组成的集合为.二、单选题（13~14题每题4分，15～16题每题5分，共18分）13．“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件14．在中，角的对边分别为，且，，则（

）A． B． C．2 D．15．若平面单位向量，，…，满足对任意的，都有，则正整数n的最大值为（

）．A．3 B．4 C．5 D．616．已知函数的定义域为，将的所有零点按照由小到大的顺序排列，记为：，……，……，对于正整数n有如下两个命题：甲：；乙：恒成立；则（

）A．甲正确，乙正确 B．甲正确，乙错误C．甲错误，乙正确 D．甲错误，乙错误三、解答题（17～19题每题14分，20～21题每题18分，共78分）17．已知平面向量.(1)若，求的值；(2)若与的夹角为锐角，求的取值范围.18．在中，角，，所对的边分别为，，，，.(1)若，求的值；(2)的面积等于，求的值.19．如图所示，是一声边长为米的正方形地皮，其中是一半径为米的扇形草地，是弧上一点，其余部分都是空地，现开发商想在空地上建造一个有两边分别落在和上的长方形停车场．(1)设，长方形的面积为S，试建立S关于的函数关系式；(2)当为多少时，S最大，并求最大值．20．已知函数(1)求f(x)的定义域；(2)若，求f(x)的值域;(3)设，函数，，若对于任意，总存在唯一的，使得成立，求a的取值范围.21．已知函数，图像上相邻的最高点与最低点的横坐标相差，是的一条对称轴，且．(1)求的解析式；(2)将函数的图像向右平移个单位得到函数的图像，若存在，，，满足，且（，），求m的最小值；(3)令，，若存在使得成立，求实数a的取值范围．答案解析1．【分析】根据三角函数的定义，即可求解.【详解】.故答案为：2．【分析】根据给定条件，利用反三角函数求出即得.【详解】当时，，由，得则，因此，所以所求方程的解为.故答案为：3．1【解析】利用诱导公式可求代数式的值.【详解】原式，故答案为：1.4．##【分析】利用二倍角的余弦公式得到关于的方程，解得即可.【详解】，，解得或为第二象限角，.故答案为：5．##【分析】利用向量垂直的坐标运算，求的值.【详解】由题意得，，，，解得.故答案为：6．##【分析】根据投影向量的定义求解即可.【详解】由，，得在方向上的投影向量为.故答案为：.7．【分析】由和差化积公式结合得出.【详解】故答案为：8．##【分析】令，作为基底，将表示出来，再根据向量的数量积公式求夹角即可.【详解】解：设，，则，，又，，所以．故答案为：.9．【分析】根据三角函数的图象变换及性质计算即可.【详解】易知函数向右平移个单位后得函数，此时函数关于轴对称，则，又，所以时，.故答案为：.10．2.【解析】由正切函数性质求得两点的坐标，然后计算数量积．【详解】，，，，最小的正整数为，，，，，，最小的正整数为，，，∴，故答案为：2．【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算，解题关键是由正切函数性质求出两点坐标，然后计算．11．6【分析】设为的重心，由重心性质可得，可得在以点为圆心，为半径的圆上面，设点与坐标原点重合，进而利用数形结合可求得的最大值与最小值，可得结论.【详解】设为的重心，则，因为，所以，即在以点为圆心，为半径的圆上面，设点与坐标原点重合，则，当且仅当都在线段上，等号成立，又，当且仅当在线段上面，且在线段上，在线段上等号成立，综上所述，的最大值与最小值之和为6.故答案为：6.12．【分析】对函数化简得，利用换元法有，，求出，知有两个零点，然后分类讨论的情况，根据函数在区间有上个零点，从而求出值.【详解】由题意，令，，所以，，所以，，，记的两零点为、，因为，设，，当，即时，得，在（k为正整数），内零点个数为3k，在内零点个数为，因为，所以；当，即时，，在（k为正整数）内零点个数为3k，在内零点个数为，此时不存在n；当时，则，，在和（k为正整数）内零点个数均为2k，因为，所以或；当时，则，，在（k为正整数）内零点个数均为2k，所以；当，则，，在和（k为正整数）内零点个数均为2k，所以或；综上n的所有可能值为：，，，，.故答案为：【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用换元法化函数为，然后分类讨论的情况，结合在上有个零点，求解的可能取值.13．A【分析】根据正弦函数的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由，可得成立，即充分性成立；反正：若，可得或，即必要性不成立，所以是的充分不必要条件.故选：A.14．D【分析】根据余弦定理可得，进而根据数量积的定义即可求解.【详解】由余弦定理得．又因为，所以，故．故选：D．15．C【分析】由题意可知，单位向量的夹角最小时，正整数n有最大值，利用向量数量积的定义求出此时n的值即可.【详解】依题意，设单位向量的夹角为，因为，所以，即，所以，根据题意，正整数n的最大值为，故选：C.16．A【分析】将函数的零点转化为函数图象的交点，作出大致图象由零点存在性定理分区间讨论即可判定甲乙命题.【详解】的零点，即为函数与函数图象在交点的横坐标.又注意到时，，时，，，时，.据此可将两函数图象画在同一坐标系中，如下图所示.甲命题，注意到时，，，.结合图象可知当，，.当，，.故甲正确；乙命题，表示两点与间距离，由图象可知，随着n的增大，两点间距离越来越近，即恒成立.故乙命题正确；故选：A.【点睛】思路点睛：由零点存在性定理结合余弦函数、反比例函数的图象，分区间讨论可判定甲，而乙命题转化为两点与间距离，根据图象分析即可.17．(1)(2)【分析】（1）先计算出向量，，再根据向量平行列出方程求解即可.（2）先根据与的夹角为锐角得出，且夹角不为，再分别求出和夹角不为时的取值范围即可.【详解】（1）因为所以，.又因为，所以，解得.（2）因为，所以.因为与的夹角为锐角，所以，且夹角不为.当时，，解得；当与的夹角为时，，解得，故与的夹角不为时，；综上可得：的取值范围是.18．(1)；(2)或.【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理求解即得.（2）利用三角形面积公式、余弦定理列出方程组求解即得.【详解】（1）在中，由正弦定理，得，所以的值是.（2）由的面积等于，得，解得，由余弦定理，得，即，解得或，所以或.19．(1)，．(2)时，面积最大为【分析】（1）利用三角函数定义，结合图形直接表示即可；（2）令换元，然后由二次函数性质可解.【详解】（1）延长交于，设，则，，，．，．（2）设，，知，，，．当，即时，有最大值．答：长方形停车场面积的最大值为平方米．20．(1)；(2)；(3).【分析】（1）由对数函数的意义，列出不等式，再求解作答.（2）求出函数在上的值域，再结合对数函数单调性求解作答.（3）利用二次函数对称轴分类，结合（2）的结论列出不等式，求解作答.【详解】（1）函数有意义，有，即，解得，所以函数f(x)的定义域为.（2）当时，，则，，，所以f(x)的值域是.（3）由（2）知，，，函数图象对称轴，而，当，即时，显然，因为任意，总存在唯一的，使得成立，则必有，解得或，显然无解，当，即或时，函数在上单调递减，，因为任意，总存在唯一的，使得成立，则，于是得，解得或，满足或，因此或，所以a的取值范围是.【点睛】结论点睛：若，，有，则的值域是值域的子集．21．(1)(2)12(3)【分析】（1）根据题意可得周期，代入可得或，再分别代入判断是否满足即可；（2）先求得，再数形结合分析满足的条件求解即可（3）化简可得，根据可得的解析式与值域，