概率与统计 04 常见的离散型随机变量分布列问题 突破专项训练-2022届高三数学一轮复习解答题

临澧一中2022届高三数学解答题突破专项训练概率与统计04（常见的离散型随机变量分布列问题）1．甲、乙两位同学在一起做猜拳（石头剪刀布）游戏，他们规定每次猜拳赢的一方得1分，输的一方得分，平局时两个人都各得0分．出现得3分者，则游戏结束，得3分者获胜．（1）求两次猜拳后，乙得2分的概率；（2）求在至多进行四次猜拳后，甲获胜的概率；（3）若进行五次猜拳后游戏结束，求此时乙得分的概率．2．甲、乙、丙三人进行台球比赛，比赛规则如下：先由两人上场比赛，第三人旁观，败者下场作为旁观者，原旁观者上场与生者比赛，按此规则循环下去三人经过抽签决定由甲、乙先上场比赛，丙作为旁观者．根据以往经验每局比赛中：甲乙比赛甲胜概率为，乙丙比赛乙胜概率为，丙甲比赛丙胜概率为，每场比赛相互独立且每场比赛没有平局．（1）比赛完3局时，求甲、乙、丙各胜1局的概率；（2）比赛完4局时，设丙作为旁观者的局数为随机变量，求的分布列和期望．3．某楼盘举行购房抽奖送装修基金活动，规则如下：对购买该楼盘的业主，从装有2个红球、2个白球的A盒和装有3个红球、2个白球的B盒中，各随机抽出2个球．在摸出的4个球中，若4个球都为红球，则为一等奖，奖励10000元的装修基金；若恰有3个红球，则为二等奖，奖励5000元的装修基金；若恰有2个红球，则为三等奖，奖励3000元的装修基金；其他情况视为鼓励奖，奖励1500元的装修基金．（1）三名业主参与抽奖，求恰有一名业主获得二等奖的概率；（2）记某业主参加抽奖获得的装修基金为X，求X的分布列和数学期望．4．某商场在双十一期间举办线下优惠活动，顾客购买一件不低于100元的商品就有资格参加一次抽奖活动，中奖能享受当件商品五折优惠．活动规则如下：抽奖箱中装有大小质地完全相同的10个球，分别编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，购物者在箱中摸两个球，球的编号之和为11视为中奖，其余情况不中奖．（1）求抽奖活动中奖的概率；（2）某顾客准备分别购买两件原价为200元、300元的商品，依次参加了两次抽奖活动，求总付款额的分布列．5．新型冠状病毒肺炎，简称“新冠肺炎”，是指2019新型冠状病毒感染导致的肺炎．某定点医院对来院就诊的发热病人的血液进行检验，随机抽取了1000份发热病人的血液样本，其中感染新型冠状病毒的有200份，以频率作为概率的估计值．（1）某时间段内来院就诊的5名发热病人中，恰有3人感染新型冠状病毒的概率是多少？（2）治疗重症病人需要使用呼吸机，若该呼吸机的一个系统由3个电子元件组成，各个电子元件能否正常工作的概率均为，且每个电子元件能否正常工作相互独立．若系统中有超过一半的电子元件正常工作，则可以正常工作．为提高系统正常工作概率，在系统内增加两个功能完全一样的其他品牌的电子元件，每个新元件正常工作的概率均为，且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则可以正常工作，问：满足什么条件时，可以提高整个系统的正常工作概率？6．2021年孝感万达广场停车场临时停车按时段收费，收费标准为每辆汽车一次停车不超过半小时的免费，超过半小时的部分每小时收费3元（不足1小时的部分按1小时计算）．现有甲、乙两人在该停车场临时停车，两人停车时间互不影响且都不超过2.5小时．（1）若甲停车的时长在不超过半小时、半小时以上且不超过1.5小时、1.5小时以上且不超过2.5小时这三个时段的可能性相同，乙停车的时长在这三个时段的可能性也相同，求甲、乙两人停车付费之和为6元的概率；（2）若甲、乙停车半小时以上且不超过1.5小时的概率分别为、，停车1.5小时以上且不超过2.5小时的分别概率为、，求甲、乙两人临时停车付费不相同的概率．7．第17届亚洲运动会于2014年9月19日月4日在韩国仁川举行．现有5个人去观看某日下午的比赛，根据组委会安排当天下午有甲、乙两场比赛，5人约定：每一个人通过一枚质地均匀的骰子决定自己观看哪场比赛，掷出点数为1或2的人去观看甲场比赛，掷出点数大于2的人去观看乙场比赛．（1）求这5个人中恰有2人去观看甲场比赛的概率；（2）求这5个人中去观看甲场比赛的人数大于去观看乙场比赛的人数的概率；（3）用，分别表示这5个人中观看甲、乙场比赛的人数，记，求随机变量的分布列与数学期望．8．近年我国科技成果斐然，其中北斗三号全球卫星导航系统于2020年7月31日正式开通．北斗三号全球卫星导航系统由24颗中圆地球轨道卫星、3颗地球静止轨道卫星和3颗倾斜地球同步轨道卫星，共30颗卫星组成．北斗三号全球卫星导航系统全球范围定位优于10米，实测的导航定位精度都是米，全球服务可用性，亚太地区性能更优．（1）南美地区某城市通过对1000辆家用汽车进行定位测试，发现定位精确度近似满足，预估该地区某辆家用汽车导航精确度在，的概率；（2）①某日北京、上海、拉萨、巴黎、里约5个基地同时独立随机选取1颗卫星进行信号分析，选取的5颗卫星中含中圆地球轨道卫星的数目记为，求的数学期望；②某地基站工作人员30颗卫星中随机选取4颗卫星进行信号分析，记为选取的4颗卫星中含倾斜地球同步轨道卫星的数目，求的分布列和数学期望．附：若，则，，．9．某电视台招聘节目主持人，甲、乙两人同时应聘．应聘者需进行笔试和面试，笔试分为三个环节，每个环节都必须参与，甲笔试部分每个环节通过的概率均为，乙笔试部分每个环节通过的概率依次为，，，笔试三个环节至少通过两个才能够参加面试，否则直接淘汰；面试分为两个环节，每个环节都必须参与，甲面试部分每个环节通过的概率依次为，，乙面试部分每个环节通过的概率依次为，．若面试部分的两个环节都通过，则可以成为该电视台的节目主持人．甲、乙两人通过各个环节相互独立．（1）求乙能参与面试的概率；（2）记甲本次应聘通过的环节数为，，求的分布列以及数学期望．10．2021年国庆期间，重庆百货某专柜举行庆国庆欢乐大抽奖活动，顾客到店消费1000元及以上，可参加一次抽奖活动．抽奖规则如下：从装有10个形状大小完全相同的小球个红球，2个白球，7个黑球）的抽奖箱中，一次性抽出3个球．其中1红2白，则全免单，1红1白1黑，则享受5折优惠，1红2黑，则享受7折优惠，其余情况则享受8折优惠．（1）若某位顾客消费价格为1000元的商品，求该顾客实际付款金额的分布列与数学期望；（2）若顾客通过抽奖享受8折优惠，则每消费满1000元售货员可获得40元的提成；若顾客通过抽奖享受7折，5折或免单优惠，则每消费满1000元售货员可获得20元提成．若某售货员在某天可以接待10名消费满1000元，不满2000元的顾客，则该售货员可能获得的平均提成为多少元？11．新疆棉以绒长、品质好、产量高著称于世．现有两类以新疆长绒棉为主要原材料的均码服装，类服装为纯棉服饰，成本价为120元件，总量中有将按原价200元件的价格销售给非会员顾客，有将按照8.5折的价格销售给会员顾客．类服装为全棉服饰，成本价为160元件，总量中有将按照原价300元件的价格销售给非会员顾客，有将按照8.5折的价格销售给会员顾客．这两类服装剩余部分将会在换季促销时按照原价6折的价格销售给顾客，并能全部售完．（1）通过计算比较这两类服装单件收益的期望（收益售价成本）；（2）某服装专卖店店庆当天，全场，两类服装均以会员价销售．假设每位来店购买，两类服装的顾客只选其中一类购买，每位顾客限购1件，且购买了服装的顾客中购买类服装的概率为．已知该店店庆当天这两类服装共售出5件，设为该店当天所售服装中类服装的件数，为当天销售这两类服装带来的总收益．求时，可取的最大值及的期望．12．甲、乙两人进行一种摸球游戏，游戏规定：每一局比赛均从装有3个红球，2个黑球个球的形状、大小完全相同）的袋中轮流摸球，谁先摸到第二个黑球获胜，并结束该局比赛，游戏每三局为一轮．（1）若在第一局比赛中甲先摸，求甲获胜的概率；（2）若一轮比赛中每局均由甲先摸，求一轮比赛中甲获胜两局的概率；（3）若在一轮比赛中规定：第一局由甲先摸球，并且上一局比赛输的人下一局比赛先摸，每一局游戏先摸球且获胜的人得1分，后摸球并获胜的人得2分，未获胜的人得0分，求在一轮比赛中甲得分的概率分布列及其期望．13．如图，某工人的住所在处，上班的企业在处，开车上下班的路线有三条路程几乎相等的线路供选择：环城南路经过医院的路口，环城北路经过学校的路口，中间路线经过商场的路口．如果开车到五个路口，，，，因遇到红灯而堵车的概率分别为，再无别的路口有红灯．（1）为了减少开车在路口因遇到红灯而堵车的次数，这位工人应该选择哪条行驶路线？（2）对于（1）所选择的路线，求其堵车次数的方差．14．在测试中，客观题难度的计算公式为，其中为第题的难度，为答对该题的人数，为参加测试的总人数．现对某校高三年级240名学生进行一次测试，共5道客观题．测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如表所示：题号12345考前预估难度0.90.80.70.60.4测试后，随机抽取了20名学生的答题数据进行统计，结果如下：题号12345实测答对人数161614144（1）根据题中数据，估计这240名学生中第5题的实测答对人数；（2）从抽样的20名学生中随机抽取2名学生，记这2名学生中第5题答对的人数为，求的分布列和数学期望；（3）试题的预估难度和实测难度之间会有偏差．设为第题的实测难度，请用和设计一个统计量，并制定一个标准来判断本次测试对难度的预估是否合理．15．小型风力发电项目投资较少，开发前景广阔．受风力自然资源影响，项目投资存在一定风险．根据测算，（国际电工委员会）风能风区分类标准如表：风能分类一类风区二类风区平均风速某公司计划用不超过100万元的资金投资于、两个小型风能发电项目．调研结果是，未来一年内，位于一类风区的项目获利的可能性为0.6，亏损的可能性为0.4；项目位于二类风区，获利的可能性为0.6，亏损的可能性是0.2，不赔不赚的可能性是0.2．假设投资项目的资金为万元，投资项目资金为万元，且公司要求对项目的投资不得低于项目．（1）请根据公司投资限制条件，写出，满足的条件，并将它们表示在平面内；（2）记投资，项目的利润分别为和，试写出随机变量与的分布列和期望，；（3）根据（1）的条件和市场调研，试估计一年后两个项目的平均利润之和的最大值，并据此给出公司分配投资金额建议．16．乒乓球赛规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换，每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为，各次发球的胜负结果相互独立，甲、乙的一局比赛中，甲先发球．（1）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；（2）表示开始第4次发球时乙的得分，求的分布列与数学期望．17．电子蛙跳游戏是：青蛙第一步从如图所示的正方体顶点起跳，每步从一顶点跳到相邻的顶点．（1）直接写出跳两步跳到的概率；（2）求跳三步跳到的概率；（3）青蛙跳五步，用表示跳到过的次数，求随机变量的概率分布．18．某次国际象棋友谊赛在中国队和乌克兰队之间举行，比赛采用积分制，比赛规则规定赢一局得2分，平一局得1分，输一局得0分，根据以往战况，每局中国队赢的概率为，乌克兰队赢的概率为，且每局比赛输赢互不影响．若中国队第局的得分记为，令．（1）求的概率；（2）若规定：当其中一方的积分达到或超过4分时，比赛不再继续，否则，继续进行．设随机变量表示此次比赛共进行的局数，求的分布列及数学期望．19．在我市“城乡清洁工程”建设活动中，社会各界掀起净化美化环境的热潮．某单位计划在小区内种植，，，四棵风景树，受本地地理环境的影响，，两棵树的成活的概率均为，另外两棵树，为进口树种，其成活概率都为，设表示最终成活的树的数量．（1）若出现，有且只有一棵成活的概率与，都成活的概率相等，求的值；（2）求的分布列（用表示）；（3）若出现恰好两棵树成活的概率最大，试求的取值范围．20．高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内．如图所示的小木块中，上面7层为高尔顿板，最下面一层为改造的高尔顿板，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过7次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，，7的球槽内．例如小球要掉入3号球槽，则在前6次碰撞中有2次向右3次向左滚到第6层的第3个空隙处，再以的概率向左滚下，或在前6次碰撞中有1次向右4次向左滚到第6层的第2个空隙处，再以的概率向右滚下．（1）若进行一次高尔顿板试验，求小球落入第7层第6个空隙处的概率；（2）小明同学在研究了高尔顿板后，利用该图中的高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动，8元可以玩一次高尔顿板游戏，小球掉入号球槽得到的奖金为元．其中．（ⅰ）求的分布列：（ⅱ）高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏，你觉得小明同学能盈利吗？参考答案1．（1）由题意每局比赛赢，输，平局的概率都为，两次猜拳后，乙得2分，即乙赢了两局，概率；（2）由题意甲连赢3局或甲在前3局赢两局平一局，第4局输了，则至多进行四次猜拳后，甲获胜的概率；（3）五次猜拳游戏结束且乙得分有两种情况：①两次平局，甲赢3局且平局出现在前4局；②没有平局，甲输1局赢4局，且输的一局在前3局，故进行五次猜拳后游戏结束，此时乙得分的概率为：．2．（1）考虑前3局，甲、乙、丙各胜1局，有两种情形：第1局若甲胜，则第2局甲丙比赛，丙胜，第3局丙乙比赛，乙胜；第1局若乙胜，则第2局乙丙比赛，丙胜，第3局甲丙比赛，甲胜．故所求概率为；（2）根据比赛规则，丙第1局作为旁观者，第2局必须参赛，第3局如果是旁观者，则第4局必定参加比赛，而第3局比赛时，第4局可能参与比赛也可能作为旁观者，所以的可能取值为1，2，则，，所以的分布列为：12故．3．（1）设事件A表示某业主取参加抽奖获得二等奖，则P（A）＝＝，故三名业主去抽奖，恰有一名业主获得二等奖的概率P＝＝．（2）由题意可得，X所有可能取值为10000，5000，3000，1500，且P（X＝10000）＝，P（X＝5000）＝，即为业主获得二等奖，P（X＝3000）＝＝，P（X＝1500）＝1﹣P（X＝10000）﹣P（X＝5000）﹣P（X＝3000）＝，故X的分布列为：X10000500030001500P故E（X）＝＝3675．4．（1）用，表示两个球的编号，则样本点可以用表示，样本空间，，2，3，4，5，6，7，8，9，，，，设事件“顾客能中奖”，，，，，，（A），所以（A）．（2）设总付款额为，则的所有取值为：250，350，400，500，设事件“购买200元商品时中奖”，事件“购买300元商品时中奖”，则（A），与相互独立，所以，，，，故总付款额的分布列为：2503504005005．（1）某定点医院对来院就诊的发热病人的血液进行检验，随机抽取了1000份发热病人的血液样本，其中感染新型冠状病毒的有200份，以频率作为概率的估计值，每名发热病人感染新型冠状病毒的概率为：，某时间段内来院就诊的5名发热病人中，恰有3人感染新型冠状病毒的概率是：．（2）当系统有5个电子元件时，原来3个电子元件中至少有1个元件正常工作，系统的才正常工作．若前3个电子元件中有1个正常工作，同时新增的两个必须都正常工作，则概率为；若前3个电子元件中有两个正常工作，同时新增的两个至少有1个正常工作，则概率为；若前3个电子元件中3个都正常工作，则不管新增两个元件能否正常工作，系统均能正常工作，则概率为．所以新增两个元件后系统能正常工作的概率为，于是由知，当时，即时，可以提高整个系统的正常工作概率．6．（1）设甲停车付费元，乙停车付费元，其中，，3，，则甲、乙两人的停车费用的所有可能结果为：，，，，，，，，，共9种，其中事件“甲、乙两人停车付费之和为6元”含，，这3种结果，故甲、乙两人停车付费之和为6元”的概率为；（2）设甲、乙两人停车的时长不超过半小时分另别为事件，，，停车的时长在半小时以上且不超过1.5小时分别为事件，，停车的时长在1.5小时以上且不超过2.5小时分别为事件，，则，，所以甲乙两人临时停车付费相同的概率为所以甲乙两人临时停车付费不相同的概率为．7．依题意知，这5个人中，每个人去观看甲场比赛的概率为，去观看乙场比赛的概率为．设“这5个人中恰有人去观看甲场比赛”为事件，1，2，3，4，，则．（1）这5个人中恰有2人去观看甲场比赛的概率．（2）设“这5个人中去观看甲场比赛的人数大于去观看乙场比赛的人数”为事件，则，由于与与互斥，故所以这5个人中去观看甲场比赛的人数大于去观看乙场比赛的人数的概率为．（3）的所以可能的取值为1，3，5，且，，135所以的分布列为：故．8．（1）由，，易知：，则预估该地区某辆家用汽车导航精确度在，的概率为0.84；（2）①由题意：每个基地随机选取的1颗卫星是中圆地球轨道卫星的概率为，5个基地选取的5颗卫星中含中圆地球轨道卫星的数目记为，，②由题意知，3，，，1，2，，的分布列为0123．9．（1）乙笔试部分三个环节全部通过或通过两个，则能参与面试，故乙能参与面试的概率为；（2）由题意可得，的可能取值为0，1，2，3，4，5，所以；，，，，，故的分布列为：012345所以．10．（1）该顾客实际付款金额为元，则的可能取值为0，500，700，800，所以，，，，0500700800则的分布列为：所以，故顾客实际付款金额的数学期望为元；（2）设10名顾客中享受8折优惠的人数为人，则，所以，售货员获得的提成为元，则，故元，所以该售货员可能获得的平均提成为340元．11．（1）设类服装、类服装的单件收益分别为，元，则，，所以，故类服装单件收益的期望更高；（2）由题意可知，，所以，，，，，因为，，所以当时，可取的最大值为3，（元，因为，故元．12．（1）设黑球为，红球为，则这5个球的摸球顺序是，，，，，，，，，共10种不同的事件；若甲先摸，甲获胜的事件是，，，，，共6种；所以甲获胜的概率是；（2）若一轮比赛中每局均由甲先摸，则，所以一轮比赛中甲获胜两局的概率为；（3）由已知得的可能取值为0，1，2，3，5；表示乙连胜两局，，表示第一局和第三局乙胜，第二局甲胜，，表示第一局甲胜，然后乙连胜两局，，表示第一局和第三局甲胜，第二局乙胜或第一局乙胜，然后甲连胜两局，，表示甲连胜两局，，的分布列为：01235数学期望为．13．（1）设这位工人选择行驶路线、、的分别堵车、、次，则和的可能取值为0、1、2；的可能取值为0、1、2、3，因为，，，则期望值，因为，，，则期望值，因为，，，则期望值．比较知最小，所以这位工人应该选择行驶路线．（2）已求最小，且，，，则，所以符合题意的方差为．14．（1）因为20人中答对第5题的人数为4人，因此第5题的实测难度为．所以，估计240人中有人实测答对第5题．（2）由题意：的可能取值是0，1，2．且；；．的分布列为：012．（3）将抽样的20名学生中第题的实测难度，作为240名学生第题的实测难度．定义统计量，其中为第题的预估难度．并规定：若，则称本次测试的难度预估合理，否则为不合理．．因为，所以，该次测试的难度预估是合理的．注：本题答案不唯