北京大山子中学高三数学文摸底试卷含解析

北京大山子中学高三数学文摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，偶函数的图象形如字母M，奇函数的图象形如字母N，若方程：的实数根的个数分别为a、b、c、d，则=

A．27

B．30

C．33

D．36参考答案：B2.函数f(x)＝2sin｜x－｜的部分图象是(

)

参考答案：答案:C3.若等于

（

）

A．2

B．1

C．-1

D．0参考答案：答案：B4.一个几何体由多面体和旋转体的整体或一部分组合而成，其三视图如图所示，则该几何体的体积是（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：B试题分析：由三视图可知，这是半个圆柱和三棱柱组成的几何体，所以体积为.考点：三视图.5.已知数列，那么“对任意的，点都在直线”上是“为等差数列”的（

）A.必要而不充分条件

B.既不充分也不必要条件

C.充要条件

D.充分而不必要条件参考答案：D6.在如图所示的算法流程图中，输出的值为（

）A．11

B．12

C．13

D．15参考答案：D试题分析：此程序框图所表示的算法功能为，故选D.考点：程序框图.7.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=ex（x+1），给出下列命题：①当x＞0时，f（x）=﹣e﹣x（x﹣1）；②函数f（x）有2个零点；③f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1），④?x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2．其中正确命题的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1参考答案：C【考点】3L：函数奇偶性的性质．【分析】①根据f（x）为奇函数，可设x＞0，从而有﹣x＜0，从而可求出f（x）=e﹣x（x﹣1），②从而可看出﹣1，1，0都是f（x）的零点，这便得出①②错误，③而由f（x）解析式便可解出f（x）＜0的解集，从而判断出③的正误，④可分别对x＜0和x＞0时的f（x）求导数，根据导数符号可判断f（x）的单调性，根据单调性即可求出f（x）的值域，这样便可得出?x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2．【解答】解：①f（x）为R上的奇函数，设x＞0，﹣x＜0，则：f（﹣x）=e﹣x（﹣x+1）=﹣f（x）；∴f（x）=e﹣x（x﹣1）；∴故①错误，②∵f（﹣1）=0，f（1）=0；又f（0）=0；∴f（x）有3个零点；故②错误，③当x＜0时，由f（x）=ex（x+1）＜0，得x+1＜0；即x＜﹣1，当x＞0时，由f（x）=e﹣x（x﹣1）＜0，得x﹣1＜0；得0＜x＜1，∴f（x）＜0的解集为（0，1）∪（﹣∞，﹣1）；故③正确，④当x＜0时，f′（x）=ex（x+2）；∴x＜﹣2时，f′（x）＜0，﹣2＜x＜0时，f′（x）＞0；∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（﹣2，0）上单调递增；∴x=﹣2时，f（x）取最小值﹣e﹣2，且x＜﹣2时，f（x）＜0；∴f（x）＜f（0）=1；即﹣e﹣2＜f（x）＜1；当x＞0时，f′（x）=e﹣x（2﹣x）；∴f（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减；x=2时，f（x）取最大值e﹣2，且x＞2时，f（x）＞0；∴f（x）＞f（0）=﹣1；∴﹣1＜f（x）≤e﹣2；∴f（x）的值域为（﹣1，e﹣2]∪[﹣e﹣2，1）；∴?x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2；故④正确，∴正确的命题为③④．故选：C8.已知点M在角θ终边的延长线上，且|OM|=2，则M的坐标为（）A．（2cosθ，2sinθ） B．（﹣2cosθ，2sinθ）C．（﹣2cosθ，﹣2sinθ） D．（2cosθ，﹣2sinθ）参考答案：C【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】由题意，M的坐标为（2cos（π+θ），2sin（π+θ）），即可得出结论．【解答】解：由题意，M的坐标为（2cos（π+θ），2sin（π+θ）），即（﹣2cosθ，﹣2sinθ），故选C．9.已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是(

) A．若m⊥α，n⊥m则n∥α B．若α⊥β，β⊥γ则α∥β C．若m⊥β，n⊥β则m∥n D．若m∥α，m∥β，则α∥β参考答案：C考点：空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：对选项逐一分析，根据空间线面关系，找出正确选项．解答： 解：对于A，直线n有可能在平面α内；故A错误；对于B，α，γ还有可能相交，故B错误；对于C，根据线面垂直的性质以及线线平行的判定，可得直线m，n平行；对于D，α，β有可能相交．故选C．点评：本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．10.若，定义运算“”和“”如下：，若正数满足：，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.

有一个数阵如下：记第行的第个数字为，（如），则等于

。

参考答案：-212.的展开式中常数项是_______。（用数字作答）参考答案：60；【分析】利用二项展开式，得出的指数，令指数为零，求出参数的值，并将参数的值代入可求出这个展开式中的常数项。【详解】的展开式的通项，由，得，所以，常数项为，故答案为：。【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查指定项的系数问题，考查计算能力，属于基础题。13.在边长为1的正三角形ABC中，设，，则=．参考答案：﹣【考点】向量在几何中的应用．【分析】根据，，确定点D，E在正三角形ABC中的位置，根据向量加法满足三角形法则，把用表示出来，利用向量的数量积的运算法则和定义式即可求得的值．【解答】解：∵，∴D为BC的中点，∴，∵，∴，∴=）==﹣，故答案为：﹣．【点评】此题是个中档题，考查向量的加法和数量积的运算法则和定义，体现了数形结合的思想．14.等差数列{an}的公差d≠0，a1=20，且a3，a7，a9成等比数列．Sn为{an}的前n项和，则S10的值为

．参考答案：110【考点】等差数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】根据等比数列的性质建立条件关系，求出等差数列的公差，即可得到结论．【解答】解：由a3，a7，a9成等比数列，则a3a9=（a7）2，即（a1+2d）（a1+8d）=（a1+6d）2，化简可得2a1d+20d2=0，由a1=20，d≠0，解得d=﹣2．则S10=10a1+×（﹣2）=110，故答案为：110．【点评】本题主要考查等差数列的性质和等差数列的求和，根据等比数列的性质求出等差数列的公差是解决本题的关键，属于基础题．15.函数y＝＋2单调递减区间为________．参考答案：16.在中,分别是角的对边,且,则角的大小为

参考答案：17.已知x8=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a8（x﹣1）8，则a7=．参考答案：8考点：二项式系数的性质．专题：计算题；二项式定理．分析：将x写成1+（x﹣1），利用二项展开式的通项公式求出通项，令x﹣1的指数为7，求出a7．解答：解：∵x8=[1+（x﹣1）]8，∴其展开式的通项为Tr+1=C8r（x﹣1）r，令r=7得a7=C87=8．故答案为：8．点评：本题考查利用二次展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．关键是将底数改写成右边的底数形式．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，平面ABC⊥平面DBC，已知AB=AC，BC=6，∠BAC=∠DBC=90o,∠BDC=60o（1）求证：平面ABD⊥平面ACD；（2）求二面角A-CD-B的平面角的余弦值；（3）记经过直线AD且与BC平行的平面为，求点B到平面的距离参考答案：（1）证明CA⊥AB、CA⊥BD

由CA平面ACD，平面ABD⊥平面ACD

（2）（算出平面ACD的法向量3分，写出平面BCD的法向量1分，结果1分；或作出并证明二面角的平面角3分，算出结果2分）

（3）（算出平面的法向量3分，算出结果2分；或作出并证明点B到平面的距离3分，算出结果2分）略19.已知函数，其中a为常数.(Ⅰ)若曲线在处的切线在两坐标轴上的截距相等，求a的值；(Ⅱ)若对，都有，求a的取值范围.参考答案：解：(Ⅰ)求导得，所以.又，所以曲线在处的切线方程为.由切线在两坐标轴上的截距相等，得，解得即为所求.(Ⅱ)对，，所以在区间内单调递减.（1）当时，，所以在区间内单调递减，故，由恒成立，得，这与矛盾，故舍去.（2）当时，，所以在区间内单调递增，故，即，由恒成立得，结合得.（3）当时，因为，，且在区间上单调递减，结合零点存在定理可知，存在唯一，使得，且在区间内单调递增，在区间内单调递减.故，由恒成立知，，，所以.又的最大值为，由得，所以.设，则，所以在区间内单调递增，于是，即.所以不等式恒成立.综上所述，所求的取值范围是.

20.已知函数.（1）如是函数的极值点，求实数的值并讨论的单调性；（2）若是函数的极值点，且恒成立，求实数的取值范围（注：已知常数满足）.参考答案：（1），在上单调递减，在上单调递增；（2）.

试题解析：（1）∵是函数的极值点，∴.∴，.令，，∴在上单调递增，，.∴当，；当，.∴在上单调递减，在上单调递增，此时，当时，取极小值.（2），设，则.∴在上单调递增，∴在上单调递增.∵是函数的极值点，∴是在上的唯一零点，∴.∵，，，，∴在上单调递减，在上单调递增，∴有最小值.∴.∵恒成立，∴，∴，∴.∵，∴，∴，.考点：（1）利用导数研究函数的极值；（2）利用导数研究函数的单调性；（3）恒成立问题.【方法点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性以及求函数的最大值和最小值问题，以及对于不等式恒成立问题，解决不等式恒成立问题的常用方法是转化为最值恒成立．考查函数的单调性，由，得函数单调递增，得函数单调递减；考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即得解.请考生在第22、23中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.21.设直线l：y=kx+1与曲线f（x）=ax2+2x+b+ln（x+1）（a＞0）相切于点P（0，f（0））．（1）求b，k的值；（2）若直线l与曲线y=f（x）有且只有一个公共点，求a的值．参考答案：解：（1）∵f（x）=ax2﹣2x+b+ln（x+1）∴f（0）=b，由切线y=kx+1，可得f（0）=1=b，∴f'（x）=，∴f′（0）=﹣1，切点P（0，1），切线l的斜率为k=﹣1；（2）切线l：y=﹣x+1与曲线y=f（x）有且只有一个公共点等价于方程ax2﹣2x+1+ln（x+1）=﹣x+1，即ax2﹣x+ln（x+1）=0有且只有一个实数解．令h（x）=ax2﹣x+ln（x+1），∵h（0）=0，∴方程h（x）=0有一解x=0h'（x）=2ax﹣1+，①若a=，则h'（x）=≥0（x＞﹣1），∴h（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，∴x=0是方程h（x）=0的唯一解；②若0＜a＜，则h′（x）=0两根x1=0，x2=﹣1＞0，在x∈（﹣1，0），（x2，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）递增，在（0，x2）时，h′（x）＜0，h（x）递减，∴h（）＜h（0）=0，而h（）＞0，∴方程h（x）=0在（﹣1，+∞）上还有一解，则h（x）=0解不唯一；③若a＞，则h′（x）=0两根x1=0，x2=﹣1∈（﹣1，0）同理可得方程h（x）=0在（﹣1，﹣1）上还有一解，则h（x）=0解不唯一；综上，当切线l与曲线y=f（x）有且只有一个公共点时，a=考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：综合题；分类讨论；转化思想；导数的概念及应用．分析：（1）根据导数的几何意义，求出函数f（x）在x=0处的导数，从而求出切线的斜率，可得b=1，k=﹣1；（2）将切线l与曲线y=f（x）有且只有一个公共点等价于方程ax2﹣2x+1+ln（x+1）=﹣x+1即ax2﹣x+ln（x+1）=0有且只有一个实数解．令h（x）=ax2﹣x+ln（x+1），求出h'（x），然后讨论a与的大小，研究函数的单调性，求出满足使方程h（x）=0有一解x=0的a的取值范围即可．解答：解：（1）∵f（x）=ax2﹣2x+b+ln（x+1）∴f（0）=b，由切线y=kx+1，可得f（0）=1=b，∴f'（x）=，∴f′（0）=﹣1，切点P（0，1），切线l的斜率为k=﹣1；（2）切线l：y=﹣x+1与曲线y=f（x）有且只有一个公共点等价于方程ax2﹣2x+1+ln（x+1）=﹣x+1，即ax2﹣x+ln（x+1）=0有且只有一个实数解．令h（x）=ax2﹣x+ln（x+1），∵h（0）=0，∴方程h（x）=0有一解x=0h'（x）=2ax﹣1+，①若a=，则h'（x）=≥0（x＞﹣1），∴h（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，∴x=0是方程h（x）=0的唯一解；②若0＜a＜，则h′（x）=0两根x1=0，x2=﹣1＞0，在x∈（﹣1，0），（x2，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）递增，在（0，x2）时，h′（x）＜0，