山西省临汾市华星中学高三数学理摸底试卷含解析

山西省临汾市华星中学高三数学理摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.有下列四种变换方式：①向左平移,再将横坐标变为原来的;②横坐标变为原来的,再向左平移;③横坐标变为原来的,再向左平移;④向左平移,再将横坐标变为原来的;其中能将正弦曲线的图像变为的图像的是（

）A.①③

B.①②

C.②④

D.①②④参考答案：B2.某几何体三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．（9+）π B．（9+2）π C．（10+）π D．（10+2）π参考答案：A【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图得到几何体为圆柱挖去一个圆锥，根据图中数据求表面积．【解答】解：由三视图得到几何体为圆柱挖去一个圆锥，圆柱的底面直径为2，高为2，圆锥的底面直径为2，高为2，所以几何体的表面积为π×12+π×2×4+=（9+）π；故选A．3.某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则｜x－y｜的值为

（

）

A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：D4.等比数列｛an｝中，a1=2，a8＝4，函数＝（-a1）（-a2）……（-a8），则＝(

)

A.26

B．29

C．

212

D．215参考答案：C5.记min{x，y}=设f（x）=min{x2，x3}，则（）A．存在t＞0，|f（t）+f（﹣t）|＞f（t）﹣f（﹣t）B．存在t＞0，|f（t）﹣f（﹣t）|＞f（t）﹣f（﹣t）C．存在t＞0，|f（1+t）+f（1﹣t）|＞f（1+t）+f（1﹣t）D．存在t＞0，|f（1+t）﹣f（1﹣t）|＞f（1+t）﹣f（1﹣t）参考答案：C【考点】分段函数的应用；函数与方程的综合运用．【分析】求出f（x）的解析式，对t的范围进行讨论，依次判断各选项左右两侧函数的单调性和值域，从而得出答案．【解答】解：x2﹣x3=x2（1﹣x），∴当x≤1时，x2﹣x3≥0，当x＞1时，x2﹣x3＜0，∴f（x）=．若t＞1，则|f（t）+f（﹣t）|=|t2+（﹣t）3|=|t2﹣t3|=t3﹣t2，|f（t）﹣f（﹣t）|=|t2+t3|=t2+t3，f（t）﹣f（﹣t）=t2﹣（﹣t）3=t2+t3，若0＜t＜1，|f（t）+f（﹣t）|=|t3+（﹣t）3|=0，|f（t）﹣f（﹣t）|=|t3+t3|=2t3，f（t）﹣f（﹣t）=t3﹣（﹣t）3=2t3，当t=1时，|f（t）+f（﹣t）|=|1+（﹣1）|=0，|f（t）﹣f（﹣t）|=|1﹣（﹣1）|=2，f（t）﹣f（﹣t）=1﹣（﹣1）=2，∴当t＞0时，|f（t）+f（﹣t）|＜f（t）﹣f（﹣t），|f（t）﹣f（﹣t）|=f（t）﹣f（﹣t），故A错误，B错误；当t＞0时，令g（t）=f（1+t）+f（1﹣t）=（1+t）2+（1﹣t）3=﹣t3+4t2﹣t+2，则g′（t）=﹣3t2+8t﹣1，令g′（t）=0得﹣3t2+8t﹣1=0，∴△=64﹣12=52，∴g（t）有两个极值点t1，t2，∴g（t）在（t2，+∞）上为减函数，∴存在t0＞t2，使得g（t0）＜0，∴|g（t0）|＞g（t0），故C正确；令h（t）=（1+t）﹣f（1﹣t）=（1+t）2﹣（1﹣t）3=t3﹣2t2+5t，则h′（t）=3t2﹣4t+5=3（t﹣）2+＞0，∴h（t）在（0，+∞）上为增函数，∴h（t）＞h（0）=0，∴|h（t）|=h（t），即|f（1+t）﹣f（1﹣t）|=f（1+t）﹣f（1﹣t），故D错误．故选C．6.（5分）某林场计划第一年造林10000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林（）A．14400亩B．172800亩C．17280亩D．20736亩参考答案：C【考点】：数列的应用．【专题】：综合题．【分析】：由题设知该林场第二年造林：10000×（1+20%）=12000亩，该林场第二年造林：12000×（1+20%）=14400亩，该林场第二年造林：14400×（1+20%）=17280亩．解：由题设知该林场第二年造林：10000×（1+20%）=12000亩，该林场第三年造林：12000×（1+20%）=14400亩，该林场第四年造林：14400×（1+20%）=17280．故选C．【点评】：本题考查数列在实际生活中的应用，解题时要认真审题，注意等比数列通项公式的灵活运用．7.已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点成F，过点F且倾斜角为45°的直线l与抛物线在第一、第四象限分别交于A、B，则等于（）A．3 B．7+4 C．3+2 D．2参考答案：C【考点】抛物线的简单性质．【分析】直线l的方程为y=x﹣，代入y2=2px，整理得4x2﹣12px+p2=0，解得x=p，即可求出．【解答】解：直线l的方程为y=x﹣，代入y2=2px，整理得4x2﹣12px+p2=0，解得x=p，∴==3+2．故选C．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．8.右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（

）A． B． C． D．参考答案：D9.已知点M是抛物线y2=2px（p＞0）上的一点，F为抛物线的焦点，若以|MF|为直径作圆，则这个圆与y轴的关系是（）A．相交 B．相切C．相离 D．以上三种情况都有可能参考答案：B【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据题意，可判断MF的中点到y轴的距离等于|MF|的一半，从而可知圆与y轴的位置关系是相切【解答】解：设圆半径为R∵F为抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，∴F（，0）设M（，y），MF中点为N（x1，y1）∴x1=，y1=∵|MF|=+=∴==x1=R∴这个圆与y轴的位置关系是相切．故选B．10.已知{an}是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列，则q=（）A．1或﹣B．1C．﹣D．﹣2参考答案：A考点：等比数列的通项公式；等差数列的性质．专题：计算题．分析：由a1，a3，a2成等差数列直接求解，由已知a1，a3，a2成等差数列可得4a2=4a1+a3，结合等比数列的通项公式可求公比q的值．解答：解：∵a1，a3，a2成等差数列∴2a1q2=a1+a1?q∴q=1或﹣故选A．点评：本题主要考查了等比数列的性质、通项公式及等差数列的性质，以及运算能力．属基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在△ABC中，已知=2，b=2a，那么cosB的值是．参考答案：【考点】余弦定理；同角三角函数基本关系的运用；正弦定理．【专题】解三角形．【分析】利用正弦定理与余弦定理即可得出．【解答】解：∵=2，由正弦定理可得：，即c=2a．b=2a，∴==．∴cosB=．故答案为：．【点评】本题考查了正弦定理与余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.已知函数f（x）=，若对任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，则实数t的取值范围是

．参考答案：

【考点】函数恒成立问题．【分析】由当x＜0时，f（x）=﹣x2，x≥0时，f（x）=x2，从而f（x）在R上是单调递增函数，且满足2f（x）=f（x），再根据不等式f（x+t）≥2f（x）=f（x）在[t，t+2]恒成立，可得x+t≥x在[t，t+2]恒成立，计算即可得出答案．【解答】解：当x＜0时，f（x）=﹣x2递增，当x≥0时，f（x）=x2递增，函数f（x）=，在R上是单调递增函数，且满足2f（x）=f（x），∵不等式f（x+t）≥2f（x）=f（x）在[t，t+2]恒成立，∴x+t≥x在[t，t+2]恒成立，即：t≥（﹣1）x在x∈[t，t+2]恒成立，∴t≥（﹣1）（t+2），解得：t≥，故答案为：．【点评】本题考查了函数恒成立问题及函数的单调性，难度适中，关键是掌握函数的单调性的运用．13.对于三次函数的导数，函数的导数，若方程有实数解为函数的“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数，请你根据上面探究结果，解答以下问题：

（1）函数的对称中心坐标为

______

；

（2）计算=

__________

.参考答案：对称中心……3分；

2012………2分

略14.在半径为R的半球内有一内接圆柱，则这个圆柱的体积的最大值是_____________.参考答案：略15.已知复数（其中是虚数单位），则_________.参考答案：16.从0，1，2，3，4，5六个数字中任取3个数字组成没有重复数字的三位数，这些三位数中，奇数的个数是

.（用数字作答）参考答案：48略17.已知函数则______．参考答案：考点：1、分段函数的解析式；2、指数函数、对数函数的性质.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．一个随机变量的概率分布律如下：xx1x2Pcos2Asin(B+C)其中为锐角三角形的三个内角．（1）求的值；（2）若，，求数学期望的取值范围．参考答案：（1）由题，………………..2’则………………..4’又为锐角，得………………..6’（2）由得，则，即…………..8’………………..9’，………………..11’由为锐角三角形，得则，得………………..14’19.（本题满分13分）已知数列的前n项和为，满足．(1)证明：数列是等差数列，并求数列{}的通项公式；(Ⅱ)设，数列的前项和为，求证参考答案：（1）当时得．．．．．．1分当时化简得：，．．．．．．3分两边同除以，得∴是以为首项公差为1的等差数列．．．．．．5分(Ⅱ)由（1）知：，则．．．．．．6分．．．．．7分①，两边同乘以得：

②．．．．．8分①-②得：．．．．．．10分．．．．．．11分所以．．．．．．12分

20.已知函数f（x）=xlnx，g（x）=x2+x﹣a（a∈R）．（Ⅰ）若直线x=m（m＞0）与曲线y=f（x）和y=g（x）分别交于M，N两点．设曲线y=f（x）在点M处的切线为l1，y=g（x）在点N处的切线为l2．（ⅰ）当m=e时，若l1⊥l2，求a的值；（ⅱ）若l1∥l2，求a的最大值；（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）﹣g（x）在其定义域内恰有两个不同的极值点x1，x2，且x1＜x2．若λ＞0，且λlnx2﹣λ＞1﹣lnx1恒成立，求λ的取值范围．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）（i）f（x）的定义域为{x|x＞0}，f′（x）=1+lnx，g′（x）=ax+1，当m=e时，f′（e）=1+lne=2，g′（e）=ae+1，由l1⊥l2，利用导数的几何意义得f′（e）g′（e）=2（ae+1）=﹣1，由此能求出a．（ii）f′（m）=1+lnm，g′（m）=am+1，由l1∥l2，得lnm=am在（0，+∞）上有解，从而a=，令F（x）=（x＞0），由=0，得x=e，利用导数性质求出F（x）max=F（e）=，由此能求出a的最大值．（Ⅱ）h（x）=xlnx﹣﹣x+a，（x＞0），h′（x）=lnx﹣ax，从而x1，x2是方程lnx﹣ax=0的两个根，进而a=，推导出＞，从而ln＜，令t=，则t∈（0，1），从而lnt＜在t∈（0，1）上恒成立，令φ（t）=lnt﹣，则φ′（t）==，由此根据λ2≥1和λ2＜1分类讨论，利用导数性质能求出λ的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）（i）∵函数f（x）=xlnx，∴f（x）的定义域为{x|x＞0}，f′（x）=1+lnx，∵g（x）=+x﹣a（a∈R），∴g′（x）=ax+1，当m=e时，f′（e）=1+lne=2，g′（e）=ae+1，∵l1⊥l2，∴f′（e）g′（e）=2（ae+1）=﹣1，解得a=﹣．（ii）∵函数f（x）=xlnx，∴f（x）的定义域为{x|x＞0}，f′（x）=1+lnx，∵g（x）=+x﹣a（a∈R），∴g′（x）=ax+1，∴f′（m）=1+lnm，g′（m）=am+1，∵l1∥l2，∴f′（m）=g′（m）在（0，+∞）上有解，∴lnm=am在（0，+∞）上有解，∵m＞0，∴a=，令F（x）=（x＞0），则=0，解得x=e，当x∈（0，e）时，F′（x）＞0，F（x）为增函数，当x∈（e，+∞）时，F′（x）＜0，F（x）为减函数，∴F（x）max=F（e）=，∴a的最大值为．（Ⅱ）h（x）=xlnx﹣﹣x+a，（x＞0），h′（x）=lnx﹣ax，∵x1，x2为h（x）在其定义域内的两个不同的极值点，∴x1，x2是方程lnx﹣ax=0的两个根，即lnx1=ax1，lnx2=ax2，两式作差，并整理，得：a=，∵λ＞0，0＜x1＜x2，由λlnx2﹣λ＞1﹣lnx1，得1+λ＜lnx1+λlnx2，则1+λ＜a（x1+λx2），∴a＞，∴＞，∴ln＜，令t=，则t∈（0，1），由题意知：lnt＜在t∈（0，1）上恒成立，令φ（t）=lnt﹣，则φ′（t）==，①当λ2≥1时，即λ≥1时，?t∈（0，1），φ′（t）＞0，∴φ（t）在（0，1）上单调递增，又φ（1）=0，则φ（t）＜0在（0，1）上恒成立．②当λ2＜1，即0＜λ＜1时，t∈（0，λ2）时，φ′（t）＞0，φ（t）在（0，λ2）上是增函数；当t∈（λ2，1）时，φ′（t）＜0，φ（t）在（λ2，1）上是减函数．又φ（1）=0，∴φ（t）不恒小于0，不合题意．综上，λ的取值范围是[1，+∞）．21.已知函数，其中a，b∈R．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程为y=3x+1，求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）若对于任意的，不等式f（x）≤10在上恒成立，求b的取值范围．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；其他不等式的解法．【专题】综合题．【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义即为点的斜率，再根据f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程为y=3x+1，解出a值；（Ⅱ）由题意先对函数y进行求导，解出极值点，因极值点含a，需要分类讨论它的单调性；（Ⅲ）已知，恒成立的问题，要根据（Ⅱ）的单调区间，求出f（x）的最大值，让f（x）的最大