江西省赣州市信丰县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题(含解析)

2023-2024学年第二学期阶段性质量监测八年级数学试卷说明：1.本卷共有六大题，23小题，全卷满分120分，考试时间120分钟2.答案一律写在答题卷上，否则无效.一、选择题（本大题6小题，每题3分，共18分）1．要使二次根式有意义，则的取值范围是（

）A． B． C． D．2．下列各组数，能够作为直角三角形的三边长的是（

）A．2，3，4 B．3，4，5 C．4，5，7 D．12，36，393．下列各式中能与合并的是(

)A． B． C． D．4．如图，四边形ABCD为平行四边形，EB⊥BC于点B，ED⊥CD于点D.若∠E＝55°，则∠A的度数是()A．100° B．110° C．125° D．135°5．如图，在矩形中，延长至点，使得，连接、，若平分，，则的长为（

）A．6 B．4 C．3 D．56．如图，在中，，，，点，，，分别是边，，的中点；点，，分别是边，，的中点：，以此类推，则第2024个三角形的周长是（

）A． B． C． D．二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分）7．化简．8．已知菱形的对角线，，则菱形的面积为．9．比较大小：（请填写“>”、“<”或“=”）．10．如图，中，，则的长为．11．如图，直线l上有三个正方形a、b、c，若a、b的面积分别为5和11，则c的面积为．12．如图，中，，，，点和点在上，且．点从点出发，以的速度向点运动，到达点后停止，当的边和平行时，点F的运动时间是秒．三、解答题（本大题5小题，每题6分，共30分）13．（1）计算：；（2）若直角三角形的两直角边长为、，且满足，求该直角三角形的斜边长．14．先化简，再求值：，其中，．15．已知：，，分别求下列代数式的值：(1)(2)16．如图，分别是的边上的点，已知，求证：．

17．如图，是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．仅用无刻度尺的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题：

(1)在图1中，点A，B，C均落在格点上，①画；②画出中点O；(2)在图2中，点A，C，D均落在格点上，画出中点O．四、解答题（本大题3小题，每题8分，共24分）18．如图，张叔叔在距离河面高度为的处，用长为的绳子拉点处的船靠岸，若张叔叔收绳后，船到达处，则船向岸边移动了多少米？19．已知：如图，在四边形ABCD中，，，点是CD的中点．（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；（2）若，，求四边形ABCE的面积．20．明朝数学家程大位在《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步恰竿齐，五尺板高离地……”翻译成现代文为：如图，秋千细索悬挂于O点，静止时竖直下垂，A点为踏板位置，踏板离地高度为一尺（尺）．将它往前推进两步（于点E，且尺），踏板升高到点B位置，此踏板高地五尺（尺，），则秋千绳索长多少尺？五、解答题（本大题2小题，每题9分，共18分）21．课本再现，思考：我们知道，菱形的对角线互相垂直，反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？可以发现并证明菱形的一个判定定理；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．(1)定理证明：为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．图1已知：在平行四边形中，对角线，垂足为．求证：平行四边形是菱形．(2)知识应用：如图，在平行四边形中，对角线和相交于点，，，．图2求证：平行四边形是菱形；延长，使，求的面积．22．如图，点在外，连接，，延长交于，为的中点．（1）求证：；（2）若，，，，求的长．六、解答题（本大题1小题，共12分）23．阅读理解：亲爱的同学们，在以后的学习中我们会学习一个定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．即：如图1：在中，，若点是斜边的中点，则．(1)牛刀小试：在图1中，若，，其他条件不变，则；(2)活学活用：如图2，已知，点、分别为、的中点，，．求的长；(3)问题解决：为了提高全民健身环境，公园管理部门想要建一个形状如图3中的四边形，其中，，，千米，要在公园的、之间铺设一条笔直的塑胶跑道，若跑道铺设成本每米200元，当最大时，请问管理部门预算160万元够用吗？

参考答案与解析

1．B【分析】根据二次根式有意义的条件，即可求解．【详解】解：根据题意得，，解得：，故选：．【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．2．B【分析】本题考查了勾股定理逆定理，根据较小两边的平方和等于较长一边的平方，即可得出是直角三角形，逐项判断即可．【详解】解：A、，2，3，4不能够作为直角三角形的三边长，故不符合题意；B、，3，4，5能够作为直角三角形的三边长，故符合题意；C、，4，5，7不能够作为直角三角形的三边长，故不符合题意；D、，12，36，39不能够作为直角三角形的三边长，故不符合题意；故选：B．3．C【分析】同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．把每个根式化简即可确定．【详解】解：A、与被开方数不同，故本选项正确；B、与被开方数不同，故本选项错误；C、与被开方数不同，故本选项错误；D、与被开方数不同，故本选项错误．故选C．【点睛】本题考查同类二次根式的概念，正确对根式进行化简是关键．4．C【详解】分析：根据垂直的定义得到∠EBC=∠EDC=90°，根据四边形的内角和得到∠C=360°﹣∠CBE﹣∠CDE﹣∠E=125°，根据平行四边形的性质得到∠A=∠C=125°．详解：∵EB⊥BC于B，ED⊥CD于D，∴∠EBC=∠EDC=90°．

∵∠E=55°，∴∠C=360°﹣∠CBE﹣∠CDE﹣∠E=125°．

∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠A=∠C=125°．

故选C．点睛：本题考查了平行四边形的性质，垂直的定义，四边形的内角和，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．5．D【分析】首先结合矩形的性质和角平分线的定义证明为等腰三角形，再求得，设，则，则，在中由勾股定理可解得，即可求得的长．【详解】解：∵四边形为矩形，，∴，，，，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∵点在延长线上，∴，设，则，则，∴在中，可有，即，解得，∴的长为5．故选：D．【点睛】本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、角平分线的定义以及勾股定理等知识，理解并掌握矩形的性质是解题关键．6．A【分析】本题考查了三角形中位线定理、图形类规律探索，由三角形中位线定理得出的周长是，即可得出答案．【详解】解：在中，，，，的周长是，点，，，分别是边，，的中点，、、分别等于，，的一半，的周长为，同理可得：的周长为，…，一次类推，的周长是，第2024个三角形的周长是，故选：A．7．【分析】利用二次根式的性质化简即可．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题主要考查了化简二次根式，熟知二次根式的化简方法是解题的关键．8．6【分析】利用菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求解．【详解】解：∵菱形的对角线，，∴菱形的面积故答案为：6【点睛】本题考查了菱形的性质，熟记菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．9．【分析】先将两个无理数平方后比大小，进而可得两个无理数的大小．【详解】解：，，∵，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了无理数比大小．解题的关键在于熟练掌握无理数比大小的方法．10．【分析】利用平行四边形的性质先求解再利用勾股定理求解从而可得答案.【详解】解：故答案为：【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，勾股定理的应用，掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键.11．【分析】首先根据“AAS”证明△ABC≌△CDE，即可得出BC=DE，再根据勾股定理得出b的面积＝a的面积+c的面积，计算可得答案.【详解】如图，∵∠ACB+∠ECD＝90°，∠DEC+∠ECD＝90°，∴∠ACB＝∠DEC，在△ABC和△CDE中，，∴△ABC≌△CDE（AAS），∴BC＝DE.∵AC2＝AB2+BC2＝AB2+DE2，∴b的面积＝a的面积+c的面积，∴c的面积＝b的面积﹣a的面积＝11﹣5＝6，故答案为：6．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理等，确定三个正方形的面积之间的关系是解题的关键．12．4或20【分析】本题考查了由运动形成的直角三角形，解直角三角形．解题的关键是分两种情况讨论，针对每种情况画出图形、求解．过点和点作垂线，分别交于点、点，易得当点运动到点或点时，的边和平行，即可求出点F的运动时间．【详解】解：如图，过点和点作垂线，分别交于点、点，则点运动到点或点时，的边和平行，、为角直角三角形，，则，，，点F的运动时间，，答：点F的运动时间为4或20秒．13．（）；（）该直角三角形的斜边长为．【分析】（）先根据二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式即可；（）任何数的绝对值，以及算术平方根一定是非负数，已知中两个非负数的和是，则两个一定同时是，再利用勾股定理求解即可；本题考查了二次根式的化简，非负数的性质，熟练掌握二次根式的性质和正确的运用勾股定理是解题的关键．【详解】解：（）原式；（）∵，∴，∴，，解得，，由勾股定理得：该直角三角形的斜边长为．14．，1【分析】根据完全平方公式、多项式乘多项式的法则化简，然后代入数据求值．【详解】解：=当，时，原式==【点睛】本题考查了完全平方公式、多项式乘法、合并同类项等知识，关键注意运算顺序以及符号的正负．15．(1)1(2)7【分析】（1）将的值代入，利用平方差公式进行计算即可得；（2）先利用完全平方公式可得，再将的值代入计算即可得，本题考查了代数式求值、二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．【详解】（1）解：∵，，，（2）解：．16．见解析【分析】根据平行四边形的性质可得到，进而可知，最后利用全等三角形的判定与性质即可解答．【详解】证明：∵四边形是平行四边形，∴，，在和中，，∴，∴．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．17．(1)①见解析；②见解析(2)见解析【分析】本题考查作图—应用与设计作图、平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解答本题的关键．（1）①取点A左边两格为点D，连接，，则，四边形即为所求．②连接，交于点O，结合平行四边形的性质可知，点O为的中点．（2）按点C到点D的平移方式，找出点A的对应点M，连接，则，设与网格线交于点N，连接，交于点O，连接，结合平行四边形的判定与性质可知，点O为的中点．【详解】（1）①如图1，即为所求．②如图1，连接，交于点O，则点O即为所求．（2）如图2，取点M，连接，设与网格线交于点N，连接，交于点O，连接，可知四边形为平行四边形，∴点O为的中点，则点O即为所求．

18．船向岸A移动了【分析】本题考查了勾股定理的应用，先求出，再由勾股定理求出，即可得出答案．【详解】解：∵开始时绳子的长为，张叔叔收绳后，船到达处，∴，由题意，得，∴，在中，，，在中，，，，∴，∴船向岸A移动了．19．（1）详见解析；（2）8【分析】（1）可证得AB∥EC，AB=EC，根据对边平行且相等的四边形是平行四边形即可判断；（2）利用勾股定理可求得CD的长，继而求得AB的长，即可求出四边形ABCE的面积．【详解】（1）∵，

∴AB∥EC，

∵点是CD的中点，∴，∵，∴AB=EC，∴四边形ABCE是平行四边形；（2）∵，，，∴，∵，∴AB=2，∴．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理的应用，平行四边形的面积计算，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．20．【分析】设OB＝OA＝x（尺），在Rt△OBE中利用勾股定理构建方程即可解决问题．【详解】解：设OB＝OA＝x（尺），∵四边形BECD是矩形，∴BD＝EC＝5（尺），在Rt△OBE中，OB＝x，OE＝x−4，BE＝10，∴x2＝102＋（x−4）2，∴x＝．∴OA的长度为（尺）．【点睛】本题考查勾股定理，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．21．(1)证明见解析；(2)证明见解析；．【分析】（）根据平行四边形的性质和已知条件判定是的垂直平分线，推出后利用菱形的定义即可判定是菱形；（）根据平行四边形的性质求出、的长，然后根据勾股定理逆定理判定为直角，然后根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”即可得证；利用菱形的性质可得，即，即可求解；本题主要考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，又∵，∴是的垂直平分线，∴，∴平行四边形是菱形；（2）证明：∵平行四边形中，对角线和相交于点，，，∴，，又∵，∴在三角形中，，∴，即，∴平行四边形是菱形；②过点作，与，分别交于点，由得四边形菱形，∴它的面积是，即，解得，由平行四边形的性质可知，，∴．22．（1）见解析；（2）【分析】（1）连接交于点，根据平行四边形的性质可以判定OF为△DBE的中位线，即可证明；（2）根据AD=2，∠ACD=90°，∠ADC=60°，可求出AC的长，再根据中位线的性质即可求解；【详解】解：（1）连接交于点，∵四边形是平行四边形，∴，∵，∴OF为△DBE的中位线∴．（2）∵AD=2，∠ACD=90°，∠ADC=60°，∴．∵是的中位线，∴