逻辑代数基础

逻辑代数基础.几个基本概念⒈逻辑：⒉逻辑学：⒊逻辑代数：⒋逻辑状态：⒌逻辑变量：⒍逻辑函数：⒎逻辑电路：指事物的规律性和因果关系。研究思维的形式和规律的科学。逻辑学中的数学分支。在电子领域用二值变量进行描述，称布尔代数，统称逻辑代数。完全对立、截然相反的二种状态，如：好坏、美丑、真假、有无、高低、开关等。代表逻辑状态的符号，取值0

和1。不表示数量的大小，而是表示两种对立的逻辑状态。输出是输入条件的函数。电路的输入和输出具有一定的逻辑关系。第2页,共79页，2024年2月25日，星期天§1基本逻辑运算一、“与”运算（逻辑乘）⒈定义：决定一个事情发生的多个条件都具备，事情就发生，这种逻辑关系叫“与”逻辑。打开有两把锁的自行车。打开有两个串联开关的灯。例1：例2：例3：楼道里自动感应灯。第3页,共79页，2024年2月25日，星期天打开有两个串联开关的灯。设开关为A、B，合上为1，断开为0；灯为F，灯亮为1，灭为0⒉真值表全部输入条件的所有组合与输出的关系。ABF000010100111真值表例3：+uABF由“与”运算的真值表可知“与”运算法则为：00=010=0

01=011=1有0出0全1为1第4页,共79页，2024年2月25日，星期天⒊表达式逻辑代数中“与”逻辑关系用“与”运算描述。“与”运算又称逻辑乘，其运算符为“

”，两变量的“与”运算可表示为：

F＝A

B简写为：F＝AB

读作：F等于A与B第5页,共79页，2024年2月25日，星期天二、“或”运算（逻辑加）⒈定义：决定一个事情发生的多个条件中，有一个或以上的条件具备，事情就发生，这种逻辑关系叫“或”逻辑。打开有两个并联开关的灯。例：A+uBF第6页,共79页，2024年2月25日，星期天⒉真值表打开有两个并联开关的灯。设开关为A、B，合上为1，断开为0；灯为F，灯亮为1，灭为0ABF000011101111真值表例：由“或”运算的真值表可知“或”运算法则为：0＋0=01＋0=1

0＋1=11＋1=1有1出1全0为0第7页,共79页，2024年2月25日，星期天⒊表达式逻辑代数中“或”逻辑关系用“或”运算描述。“或”运算又称逻辑加，其运算符为“＋”。两变量的“或”运算可表示为：

F＝A＋B读作：F等于A或B第8页,共79页，2024年2月25日，星期天三、“非”运算（逻辑非）⒈定义：某一事情的发生，取决于对另一事情的否定，这种逻辑关系叫“非”逻辑。如下电路中灯的亮灭。例：+uAF第9页,共79页，2024年2月25日，星期天⒉真值表打开上例电路中的灯。设开关为A，合上为1，断开为0；灯为F，灯亮为1，灭为0真值表例：由“非”运算的真值表可知“非”运算法则为：A F0 11 0

0

1

=10=第10页,共79页，2024年2月25日，星期天⒊表达式“非”逻辑用“非”运算描述。“非”运算又称求反运算，运算符为“－”，“非”运算可表示为：F=A 读作“F等于A非”，意思是若A＝0，则F为1；反之，若A=1,则F为0。第11页,共79页，2024年2月25日，星期天§2逻辑代数的基本公式和规则一、基本公式⒈基本运算与或00＝0 0＋0＝001＝0 0＋1＝110＝0 1＋0＝111＝1 1＋1＝1

1=00=1非数值与数值的关系第12页,共79页，2024年2月25日，星期天⒈基本运算（续）0A＝00＋A＝A1

A＝A1＋A＝1 变量与数值的关系0－1律A＝AAA＝AA＋A＝AA

A＝0A＋A＝1 变量与变量的关系⒉与普通代数相类似的公式A(B

＋C)＝AB＋AC, A＋BC＝(A＋B)(A＋C)

交换律结合律分配律

A＋B＝B＋A

A＋(B

＋C)＝(A＋B)＋C重叠律非非律第13页,共79页，2024年2月25日，星期天⒊逻辑代数的特有公式吸收律: A＋AB＝AA(A+B)＝A吸收律: A＋AB＝A+BA(A+B)＝AB摩根定理:A＋B＝A

B AB＝A＋B包含律: A

B+A

C+BC＝A

B+A

C

(A+

B)(A+C)(B+C)=(A+

B)(A+C)尾部变换:A

B＝

AAB第14页,共79页，2024年2月25日，星期天⒋两种常用的运算

⑴异或:

AB＝A

B＋

AB

⑵同或:

A⊙B＝A

B＋

AB变量相异为1,反之为0变量相同为1,反之为0

A0＝A

A1＝A

A⊙0＝A

A⊙1＝A

AB＝A

⊙B

A⊙B＝AB第15页,共79页，2024年2月25日，星期天？AB=ACB=C?A+B=A+CB=C?请注意与普通代数的区别！第16页,共79页，2024年2月25日，星期天⒌证明方法

真值表法：检查等式两边函数的真值表是否相等。代数法：应用已证明的公式、定理来推导。

例1证明摩根定理:

A＋B＝A

B AB＝A＋B证：用真值表法证明。同理可证A＋B＝AB第17页,共79页，2024年2月25日，星期天例2：证明

AB＝A

⊙B

A⊙B＝AB

1+0＝1

0+0＝011

0+0＝0

0+1＝101

0+0＝0

1+0＝110

0+1＝1

0+0＝000

AB＋ABAB＋AB

A⊙B

A

BBA证：用真值表法证明。证毕第18页,共79页，2024年2月25日，星期天证明：推广之：CAABBCCAABBCD(G+E)BCCAABBCD(G+E)CAAB+=++=+++=++1吸收吸收例3：证明包含律CAABBCAABCCAAB+=+++=第19页,共79页，2024年2月25日，星期天二、基本规则⒈反演规则F＝(A+B)(C+D)例1：已知F＝AB＋CD，根据反演规则可得到:如果将逻辑函数F中所有的“

”变成“+”；“+”变成“

”；“0”变成“1”；“1”变成“0”；原变量变成反变量；反变量变成原变量；所得到的新函数是原函数的反函数。即:“

”,“+”,“0”,“1”,“原变量”,“反变量”“+”,“

”,“1”,“0”,“反变量”,“原变量”第20页,共79页，2024年2月25日，星期天使用反演规则时,应注意：

1.保持原式中运算顺序。(先括号，再与，再或)

2.两个或两个以上变量的长非号应保持不变例2：已知例3：已知长非号不变与变或时要加括号第21页,共79页，2024年2月25日，星期天⒉对偶规则如果将逻辑函数F中所有的“

”变成“+”；“+”变成“

”；“0”变成“1”；“1”变成“0”；则所得到的新逻辑函数是F的对偶式F'。如果F'是F的对偶式，则F也是F'的对偶式，即F与F'互为对偶式。即:“

”,“+”,“0”,“1”,“变量”“+”,“

”,“1”,“0”,不变例:求某一函数F的对偶式时，同样要注意保持原函数的运算顺序不变。第22页,共79页，2024年2月25日，星期天推理：若两个逻辑函数F的G相等，则其对偶式F’和G’

也相等。例:证明包含律：(A+B)∙(A+C)∙(B+C)=(A+B)∙(A+C)证:已知AB＋AC＋BC=AB＋AC等式两边求对偶：(A+B)∙(A+C)∙(B+C)=(A+B)∙(A+C)证毕例：如则第23页,共79页，2024年2月25日，星期天任何一个含有变量A的逻辑等式，如果将所有出现A的位置都代之以同一个逻辑函数F，则等式仍然成立。例如：给定逻辑等式A(B+C)=AB+AC，若用A+BC代替A，则该等式仍然成立，即：

(A+BC)(B+C)=(A+BC)B+(A+BC)C⒊代入规则第24页,共79页，2024年2月25日，星期天§3逻辑函数的化简一、逻辑函数的表达形式函数表达式：真值表：卡诺图：例：函数F=AB+ACABC F000 0001 1010 0011 1100 1101 1110 0111 0卡诺图是一种用图形描述逻辑函数的方法。

010100110100011110CAB第25页,共79页，2024年2月25日，星期天二、函数表达式⒈基本表达形式按逻辑函数表达式中乘积项的特点以及各乘积项之间的关系，可分5种一般形式。例：与或式与非－与非式与或非式或与式或非－或非式第26页,共79页，2024年2月25日，星期天⒉最小项表达式⑴最小项如果一个具有n个变量的函数的“积”项包含全部n个变量,每个变量都以原变量或反变量形式出现,且仅出现一次，则这个“积”项被称为最小项，也叫标准积。

3个变量A、B、C可组成8个最小项：第27页,共79页，2024年2月25日，星期天

(2)最小项表示方法最小项用符号mi来表示最小项。下标i的确定：把最小项中的原变量记为1，反变量记为0，当变量顺序确定后，可以按顺序排列成一个二进制数，与这个二进制数对应的十进制数，就是最小项的下标i。

3个变量A、B、C的8个最小项可以分别表示为：第28页,共79页，2024年2月25日，星期天

(3)最小项表达式假如一个函数完全由最小项的和组成,那么该函数表达式称为最小项表达式，也称为标准与或表达式。=m2+m3+m6+m7注意：变量的顺序.

=

m(2,3,6,7)第29页,共79页，2024年2月25日，星期天

(4)最小项性质ABCABC1）只有一组取值使mi＝1。2）当时，。3）全部最小项之和等于1，即∑mi＝1。第30页,共79页，2024年2月25日，星期天最小项的性质(续)5）当函数以最小项之和形式表示时，可很容易列出函数及反函数的真值表（在真值表中，函数所包含的最小项填“1”）。4）n变量的最小项有n个相邻项。一对相邻项之和可以消去一个变量。相邻项：只有一个变量不同（以相反的形式出现）。第31页,共79页，2024年2月25日，星期天⑶最小项表达式的求法除非号去括号补因子A+A=1一般表达式：→除非号→去括号→补因子方法真值表法第32页,共79页，2024年2月25日，星期天用真值表求最小项表达式m1＝ABCm5＝ABCm3＝ABCm4＝ABC第33页,共79页，2024年2月25日，星期天由一般表达式直接写出最小项表达式例：函数F=AB+AC所以:F=∑m(1,3,4,5)第34页,共79页，2024年2月25日，星期天⒊

最大项表达式⑴最大项及最大项表达式如果一个具有n个变量的函数的“和”项包含全部n个变量,每个变量都以原变量或反变量形式出现,且仅出现一次，则这个“和”项被称为最大项，也叫标准和。

3个变量A、B、C可组成8个最大项：第35页,共79页，2024年2月25日，星期天

(2)最大项表示方法最大项用符号Mi来表示最大项。下标i的确定：把最大项中的原变量记为0，反变量记为1，当变量顺序确定后，可以按顺序排列成一个二进制数，与这个二进制数对应的十进制数，就是最大项的下标i。

3个变量A、B、C的8个最大项可以分别表示为：第36页,共79页，2024年2月25日，星期天(3)最大项表达式假如一个函数完全由最大项的积组成,那么该函数表达式称为最大项表达式，也称为标准或与表达式。注意：变量顺序.例如：最大项表达式:F第37页,共79页，2024年2月25日，星期天

(4)最大项性质A+B+C1）只有一组取值使Mi＝0。A+B+C2）当时，。3）全部最大项之积等于0，即∏Mi＝0。第38页,共79页，2024年2月25日，星期天最大项的性质(续)4）n变量的最大项有n个相邻项。一对相邻项之积可以消去一个变量。5）当函数以最大项之积形式表示时，可很容易列出函数及反函数的真值表（在真值表中，函数所包含的最大项填“0”）。第39页,共79页，2024年2月25日，星期天⒋两种标准形式的转换

以最小项之和的形式表示的函数可以转换成最大项之积的形式，反之亦然。=

m(2,3,6,7)F(A,B,C)=

m(0,1,4,5)=(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)而:所以,有F(A,B,C)=∑m(2,3,6,7)=∏M(0,1,4,5)F(A,B,C)=

m(0,1,4,5)同理第40页,共79页，2024年2月25日，星期天？举例说明：Mi和mi

的关系第41页,共79页，2024年2月25日，星期天三、逻辑函数的化简同一个逻辑函数可以有多种表达形式，一种形式的表达式，对应一种电路，尽管它们的形式不同，但实现的逻辑功能相同，所以在实现某种函数的电路时，重要的是如何处理函数，以尽量少的单元电路、以及电路类型来达到目的。化简的意义：电路简单，用元器件少，成本低进行函数变换化简的方法：代数化简法（公式法）卡诺图化简法列表化简法第42页,共79页，2024年2月25日，星期天该方法运用逻辑代数的公理、定理和规则对逻辑函数进行推导、变换而进行化简，没有固定的步骤可以遵循，主要取决于对公理、定理和规则的熟练掌握及灵活运用的程度。有时很难判定结果是否为最简。⒈代数化简法第43页,共79页，2024年2月25日，星期天1）表达式中"与项"的个数最少；2）在满足1）的前提下,每个"与项"中的变量个数最少。函数表达式一般化简成与或式，其最简应满足的两个条件：1.并项法:AB+AB=A2.吸收法：A+AB=A，A+AB=A+B3.配项法：A+A=14.消去法：AB+AC+BC=AB+AC逻辑函数的化简成与或式，,常用方法：第44页,共79页，2024年2月25日，星期天解：第45页,共79页，2024年2月25日，星期天第46页,共79页，2024年2月25日，星期天例：反演被吸收被吸收配项第47页,共79页，2024年2月25日，星期天⒉卡诺图化简法将n个输入变量的全部最小项用小方块阵列图表示，并且将逻辑相邻的最小项放在相邻的几何位置上，所得到的阵列图就是n变量的卡诺图。卡诺图的每一个方块（最小项）代表一种输入组合，并且把对应的输入组合注明在阵列图的上方和左方。第48页,共79页，2024年2月25日，星期天⑴变量卡诺图

二变量卡诺图（A，B）mo

m2m1

m3

0 101ABAB

0 101mo

m1m2

m3

0 101BABA

0 101第49页,共79页，2024年2月25日，星期天mo

m1m3

m2m4

m5m7

m60001111001BCA三变量卡诺图mo

m1m2m3m6m7

m4

m50100011110CAB0001111001BCA第50页,共79页，2024年2月25日，星期天0001111000011110CDAB

01

324

5

76121315148911100001111000011110CDAB四变量卡诺图第51页,共79页，2024年2月25日，星期天五变量卡诺图000

00101101000011110CDEAB110

111101100202123221819171628293130262725241213151410119845762310对称轴n≥5变量的卡诺图，可由n－1变量卡诺图在需要增加变量的方向采用镜像变换而生成。第52页,共79页，2024年2月25日，星期天说明：⑴2个或以上变量，按循环码规则排列；⑵每个小方格对应一个最小项；⑶相邻方格的最小项，具有逻辑相邻性，即有一个变量互为反变量；⑷具有逻辑相邻性的方格有： 相接——几何相邻的方格； 相对——上下两边、左右两边的方格；

逻辑相邻的最小项可以消去互补变量第53页,共79页，2024年2月25日，星期天三变量卡诺图逻辑相邻举例0001111001BCA相接相对0001111001BCA第54页,共79页，2024年2月25日，星期天四变量卡诺图逻辑相邻举例相接相对相对0001111000011110CDAB第55页,共79页，2024年2月25日，星期天⑵函数卡诺图

用卡诺图法对逻辑函数进行化简时，首先要确定函数与卡诺图的关系，将函数用卡诺图的形式表现出来。方法真值表→填卡诺图表达式→一般与或式→填卡诺图化成最小项表达式→填卡诺图真值表、表达式、卡诺图都可以表达一个逻辑函数。第56页,共79页，2024年2月25日，星期天由真值表填卡诺图ABC F000 0001 1010 0011 1100 1101 1110 0111 0mo

m1m2m3m6m7

m4

m50100011110CAB

0100011110CAB对应最小项填1其余补0

01

101

1

000001111001BCAmo

m1m3

m2m4

m5m7

m60001111001BCA

1111

0000第57页,共79页，2024年2月25日，星期天例如：

01

324

5

76121315148911100001111000011110CDAB

1

1

111110001111000011110CDAB第58页,共79页，2024年2月25日，星期天由一般与或式填卡诺图示例:三变量

11

11

0001111001BCA0001111001BCA1111第59页,共79页，2024年2月25日，星期天示例:四变量0001111000011110CDAB111111111110001111000011110CDAB111111

1

11第60页,共79页，2024年2月25日，星期天⑶函数的卡诺图化简方法：1）填写函数卡诺图；

2）合并最小项，对邻项方格画卡诺圈（含2n方格）；

3）消去互补变量，直接写出最简与或式。第61页,共79页，2024年2月25日，星期天画圈原则：圈尽量大→消去的变量多圈尽量少→结果乘积项少要有新成份→没有冗余项使用方法：圈1→得到F原函数圈0→得到F反函数画的圈不同，结果的表达式形式可能不同，但肯定是最简的结果。圈1个格→消0个变量圈2→1

圈4→2

圈8→3

…………第62页,共79页，2024年2月25日，星期天

0 101AB11

0 101AB11

0 101AB111二变量卡诺图的典型合并情况第63页,共79页，2024年2月25日，星期天0001111001BCA1111BC

0001111001A1111111101BCA00011110三变量卡诺图的典型合并情况第64页,共79页，2024年2月25日，星期天10001111000011110CDAB11111110001111000011110CDAB111111110001111000011110

CDAB1111111111四变量卡诺图的典型合并情况第65页,共79页，2024年2月25日，星期天ABCD0001111000011110不是矩形无效圈示例1第66页,共79页，2024年2月25日，星期天无效圈示例2ABCD0001111000011111111111111101没有新变量，无效圈.第67页,共79页，2024年2月25日，星期天ABC0001111001ABBCF=AB+BC例1：卡诺图化简第68页,共79页，2024年2月25日，星期天F(A,B,C,D)=(0,2,3,5,6,8,9,10,11,12,13,14,15)ABCD0001111000011110A例2：化简第69页,共79页，2024年2月25日，星期天ABCD0001111000011110ABD例3：化简第70页,共79页，2024年2月25日，星期天F(A,B,C,D)=

m(0,5,7,9,10,12,13,14,15)10001111000011110CDAB11111111解：110001111000011110CDAB1111111例4：用卡诺图化简逻辑函数第71页,共79页，2024年2月25日，星期天CD0001111000011110

AB

111111

1

110001111000011110CDAB111

11不同的圈法，得到不同的最简结果

F(A,B,C,D)=

m(2,3,8,9,10,12,13)例5：用卡诺图化简逻辑涵数第72页,共79页，2024年2月25日，星期天⑴包含无关最小项的逻辑函数的化简无关最小项：一个逻辑函数,如果它的某些输入取值组合因受特殊原因制约而不会再现,

或者虽然每种输入取值组合都可能出现,但此时函数取值为1还是为0无关紧要,那么这些输入取值组合所对应的最小项称为无关最小项。无关最小项用“d”或者“×”表示。⒊逻辑函数化简中两个实际问题的考虑无关最小项可以随意加到函数表达式中，或不加到函数表达式中，并不影响函数的实际逻辑功能。其值可以取1，也可以取0。第73页,共79页，2024年2月25日，星期天无关最小项举例例1:十字路口红绿灯,设控制信号G=1