人教A版高中数学第五章第4节《三角函数的图象与性质》解答题(较难) (46)(有解析)

第五章第4节《三角函数的图象与性质》解答题(较难)(46)

一、解答题(本大题共30小题，共360.0分)

1.如图，已知扇形。PQ的半径为夕，圆心角为或C是该扇形弧上的动点，四边形ABC。是扇形

的内接矩形，其中。在线段OQ上，A,8在线段OP上，记NBOC为仇

⑴若Rt△CB。的周长为近Q同+叱求肃备的值;

(2)求万？.荏的最大值，并求此时。的值.

2.已知/(%)=-2acos2%—2V5asi"xcos%+3Q+b,xER

(l)a＞。时，求f(x)的最大值以及取到最大值的自变量无的取值集合

(2)如果当xe[。，斗时，函数值/(x)e[—5,1],求a,h的值

3.已知在极坐系中，点P（p,。）绕极点0顺时针旋转角a得到点P（p,。-a）.以。为原点，极轴为x

轴非负半轴，并取相同的单位长度建立平面直角坐标系，曲线及xy=l绕。逆时针旋转?得到

曲线C.

（1）求曲线C的直角坐标方程；

（2）点M的极坐标为（4,》，直线/过点M且与曲线E交于A,B两点，求|MA|•|MB|的最小值.

4.已知函数/(x)=4sin2(^+：)•sinx+(cosx+sinx)­(cosx-sinx)-1.

(1)化简/'(x);

(2)若常数w>0,函数y=f(w%)在区间卜］图上是增函数，求w的取值范围；

(3)若函数g(x)=,f(2x)+a"(x)—a・展-x)-a］—1在卜盟］的最大值为2,求实数a的

值.

5.已知函数/1(x=sin+x)sin(?r-x)--^3coszx.

(I)求/(乃的最小正周期和最大值；

(11)讨论/(乃在［0,4］上的单调性.

6.已知函数/(%)=V3sin2x+2cos2%+m的最大值是2.

(1)求m的值以及函数f(x)的单调增区间；

(2)若/(&)=|,x0e求cos2通的值.

7.在锐角三角形ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,4c,且满足(a-b)(sinA+sinB)=(c—

b)sinC,a=yj3

(1)求角A的大小;

(2)求F+c2的取值范围.

8.如图，某广场中间有一块边长为2百米的菱形状绿化区ABCQ,其中是半径为1百米的扇

97jr

形，AABC",5.管理部门欲在该地从用到。修建小路：在弧MN上选一点P(异于“、N两

点)，过点P修建与BC平行的小路PQ.问：点户选择在何处时，才能使得修建的小路0与PQ

及Q。的总长最小？并说明理由.

9.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径

分别为直角三角形ABC的斜边BC、直角边48、直角边AC,△ABC的三边所围成的区域记为I,

黑色部分记为II,其余部分记为IH.若BC=10,设4ABe=

BD

(1)试写出区域/〃面积S]„关于。的函数解析式，并求区域/〃面积Si”的最小值;

(2)过点A作ADJ.BC于。，当^ABD面积最大时，求区域〃的面积

1-产

：户’«为参数),

10.在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为〈1以坐标原点。为极点,

y=1+t2

x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为pcos。+V5psine+4=0.

(1)求C的普通方程和/的直角坐标方程;

(2)求C上的点到/距离的最大值.

11.在综合实践活动中，因制作一个工艺品的需要，某小组设计了如图所示的一个门(该图为轴对称

图形)，其中矩形ABCQ的三边AB、BC、C。由长6分米的材料弯折而成，8c边的长为2f分米

曲线A。。拟从以下两种曲线中选择一种：曲线Q是一段余弦曲线(在如图所示的

平面直角坐标系中，其解析式为“1),此时记门的最高点。到2c边的距离为hi(t)；

曲线是一段抛物线，其焦点到准线的距离为g此时记门的最高点。到BC边的距离为电«).

O

(1)试分别求出函数九l(t)、电«)的表达式;

(2)要使得点。到BC边的距离最大，应选用哪一种曲线?此时，最大值是多少?

12.梯形ABC。顶点8,C在以为直径的圆上，AD=4米.

(1)如图1,若电热丝由AB,BC,CD这三部分组成，在A8,CD上每米可辐射1单位热量，在

BC上每米可辐射2单位热量，请设计BC的长度，使得电热丝的总热量最大，并求总热量的最

大值；

（2）如图2,若电热丝由弧AB.CD和弦8c这三部分组成，在弧能，金上每米可辐射1单位热量，

在弦BC上每米可辐射2单位热量，请设计2c的长度，使得电热丝辐射的总热量最大.

13.已知曲线y=As讥（3+0）（力>0,3>0,"（—；,］））上的一个最高点的坐标为e），由此

点到相邻最低点间的曲线与X轴交于点（半,0）.（1）试求这条曲线的函数解析式；（2）写出函数的

单调区间.

14.己知函数/（工）=008%+（50«2（工+勺（工£卬.

团求的最小正周期和单调递增区间；

团求f（x）在区间;•二上的最大值和最小值.

JO

15.已知函数/(%)=cosxcos(%—，)+V3sin2x—平.

(1)求/(%)的最小正周期T；

(2)设g(x)=af(x)+b,若g(x)在［一^用上的值域为［0,3］,求实数a,匕的值.

16.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c,且2B=/+C,b=g

(1)若3sinC=4-sinA,求c的值；

(2)求Q+C的最大值.

17.设函数f(%)=(sin%+cos%)2+2V3sin2x—V3.

(1)求函数/(x)的单调递增区间；

(2)当xe%由时，求函数/(x)的值域.

18.在直角坐标系必)，中，直线/的参数方程为:鬻(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴

正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为p2-6psin0-7=0.

(1)求曲线C的直角坐标方程；

(2)设曲线C与直线/交于点4B若点。的坐标为(2,1),求|QA|+|QB|的最小值

19.对于定义域为R的函数g(x),若存在正常数7,使得cosg(x)是以T为周期的函数，则称g(x)为

余弦周期函数，且称T为其余弦周期.已知f(x)是以丁为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R.

设/(%)单调递增，/(0)=0,f(T)=4zr.

(I)验证九(%)=x+sin：是以6兀为余弦周期的余弦周期函数;

(11)设£1<6,证明对任意<：6[/((1),/(6)],存在&e[a,b],使得/(xo)=c；

(ID)证明：“如为方程cos/(x)=1在[0,7]上的解”的充要条件是“劭+7为方程cos/(x)=1在

[7,27]上的解"，并证明对任意x6[0,7]都有〃>+7)=/(x)+f(T).

20.已知函数/(x)=V5sin：cos|—cos2：+£

(1)求函数f(x)的单调递减区间及在[0,扪上的最大值；

(2)若/(a+g)=—|,ae(n-J/r).求cos(a+$的值。

6524

21.已知函数/(x)=Asin(3+3)+B(a>0,3>0),部分自变量、函数值如下表.

n7n

X

312

n37r

a)x+(p0TC27r

22

f(x)24

求：(I)函数/Xx)的单调递增区间;

(11)函数/。)在(0,兀］内的所有零点.

22.在平面直角坐标系xO)，中，直线/的普通方程是y=xtanaC<a<7r),曲线6的参数方程是

@为参数).在以。为极点,X轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中,曲线C2的极

(y—Uoiiicp

坐标方程是p=2bsin8.

(1)写出/及Q的极坐标方程;

(2)已知ab=1,/与G交于0,M两点，/与。2交于O,N两点，求210Ml2+|OM||ON|的最大

值.

(i-t2

23.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为一噎'(t为参数)，以坐标原点。为极点，x轴

的正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为2pcos0+bpsin。+11=0.

(1)求C和/的直角坐标方程;

(2)求C上的点到/距离的最小值.

24.已知函数/(x)=siM(2%-3)-2tsinQx—彳)+-6t+1,(x6号图)，最小值为g(t).

(1)求当t=l时，求的值；

(2)求g(t)的表达式;

(3)当-评tWl时，要使关于r的方程g(t)=k2t一9有一个实数根，求实数上的取值范围.

25.已知函数/'(x)=cos2x+V3sinxcosx.

(1)求函数/(x)的单调递增区间；

(2)4ABC中角A,B,C的对边为a,b,c,若f(4)=1,c=5,cosB=；,求边a的长.

26.已知函数/'(x)=2cos(久-彳)cos(x+£)-2sin2x(xGR)

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)在Z4BC中，/⑷=0,|而|=7n，m€[2,4],若任意实数f恒有|四-t而|>\BC\,^.AABC

面积的最大值.

27.已知沅=(coso)工,V^cos(3x+兀))，n=(sincox,coscox)»其中<w>0,f(x)=m-n,且f(x)相

邻两条对称轴之间的距离为最

⑴若/住)=一,，ae(0>7),求cosa的值；

(2)将函数y=/(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，然后向左平移g个单

O

位长度，得到函数y=g(x)的图象，求函数y=g(x)的单调递增区间.

28.已知向量不=(cosx,b=(Wsinx,cos2x),xeR,设函数/'(x)=E-方

(1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)求函数f(x)的最大值与最小值；

(3)求函数“X)的单调增区间.

29.已知/(x)=Asin(x+20).

(1)若4=1,将/"(X)的图象上各点的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍，再将所得图象上

各点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的2倍，得到g(x)的图象，求g(x)的解析式及对称轴方

程.

7

(2)右aE[0,n],f(a)=cos2a,sin2a=-求A的值.

9

30.已知函数/(%)=siMwc—cosZax+2V5sin3%cos3%+4的图象关于直线％=7T对称，其中a>,A

为常数且3eg,1).

(1)求/(x)的最小正周期;

(2)若函数f(x)的图象经过点&0),求〃x)在［0可上的值域.

【答案与解析】

1.答案：解：(1)BC=OCstna=fjstn。，OB=OCcosd=V7cos6,

则若Rt△C8。的周长为例2国+，

5

则b+小sin。+小cose=仞27+5),

.,2V10

sindn+cosdn——^―，

平方得2si7i0cosJ=

on2sinacosa2tana3

即「----丁=----丁=--

sinza+cosza1+taMa5

解得£加6=3(舍)或「即。=

则3-cos2a

'Jcos2a-sinacosa

2(cos2a+2sin2a)

cos2a—sinacosa

2(1+2tan2a)

1—tana

2(1+2xJ)

=1-1

13

_n

-3,

(2)在RtZkOBC中,BC=OCsinO=^7sin09

OB=OCcosG=夕cos。，

在Rt△OZM中，

OA=DAtan-=—BC=叵sin。,

633

:.AB=OB-OA=A/7(COS。一/COS。)，

则刃•荏=\OA\AB\=V7(cos0-ycosd)•sind

7V3/V3\

=—(sin0cos0———sin920I

7V3/1V3

—sivi2dH——cos2.0—

26

=河侬+9-乂0<")

rr

v0<a<­,

71,C।TTj57r

•,•?<2a+6<T'

...当2a+t=],

即a=?时，市.存有最大值

o6

解析：本题主要考查两个向量的数量积的定义，三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域，考查学

生的运算和推理能力.

(1)由条件利用直角三角形中的边角关系求出三角形的周长，利用三角函数的倍角公式进行化简进行

求解；

(2)结合向量的数量积公式，结合三角函数的带动下进行求解.

2.答案：解：(1)根据题意f(%)=—2acos2x-2y/3asinxcosx+3Q+b可转化为

f(x)=—2<isin(2x+：)+2a+6,

6

=4a4-/?,{^\j'—三+KK,"€Z}；

TTT

(2)当工『(),“：时，sin(2i+

当Q>0时，-2小in(2x4-*)+2n+b6[b,:如+”,

(b=-5

(3a+b=1'

••CL—b——5；

当QV0时，-2小in(2/+I)+2a+be3a+fc.I),

6

(3a+b=-5

lb=1

Aa=-2,b=1.

解析：本题主要考查三角函数的应用，包括同角三角函数的转换和三角函数的定义域、值域问题,

属于中档题.

（1）先将函数化简为/（，）-2^in（2z+2+2o+b,然后对f（x）进行求最值以及x的取值范围即可;

（2）已知定区间和函数的值域，分类讨论不同情况下的。求出匕值即可求出答案.

3.答案：解：（1）由％=pcosO,y=psin。，

可得由E的极坐标方程pcos。xpsinO=1,

设P（p,。）为曲线C是任意一点，

则P绕。顺时针旋转（得到点P'（p,。—》在曲线E上.

由E的直线坐标方程为xy=1可得pcos（。-J）xpsin（9—：）=1,

即p2sin（2。*）=2,

:.p2cos29=p2（cos20—sin20）=x2—y2=—2,

即曲线C的方程为日—兰=L

22

（2）M的直角坐标为（2式,2位）.设/：1"=2噌+tC0Sa>（t为参数），

（y=2V2+tsina

代入%y=1整理后可得t^cosasina4-2V2t（sina+cosa）+7=0,

•••（AM）,|MB|=\trt2\=-~J=>14,

、z11।，g|cosasina||sm2a|

当且仅当。=1兀+3或。=上兀一£（卜62）时取等号，此时d>0,符合条件，

44

故|M川•|MB|的最小值为14.

解析：本题考查了简单曲线的极坐标方程和直线的参数方程，是中档题.

（1）先得出E的极坐标方程，设P（p,。）为曲线C是任意一点，P绕。顺时针旋转%导到点P'（p,0-力在

曲线E上，代入E可得p2sin（28-柒=2,再转为曲线C的直角坐标方程即可：

（2）M的直角坐标为（2近,2&）.设/：卜=2/+tcosa,。为参数），代入盯=1，由参数的几何意义

（y=2V2+tsina

和正弦函数性质可得|MA|•|MB|的最小值.

4.答案：解：（1）由题〃/）=4曲/（；+2）sinx+（8si+siwr）（cosi-sim）-1,

=2[1—cu«（；+z）]siiur+cuerx—sin%—1

=(2+2siiur)sinx-+-1—2siirx-1=2sin工；

⑵由题一夕工(JOX・，.——<%<--+—>

v2/CTT/<2/czr+L%U)2a)323

所以/(%)的单调递增区间为［等一合，等+勺，kEZ,

当々=。时，生等=［一枭勺,

'0)>0

_2L<-a

・••423-2,解得0<0)<-,

、

-T-T>-2-714

\2a)一3

故所求3的取值范围为：(0,勺；

17T

(3)9(%)=.—+af(x)-af(5-%)-a］-1

rsin2工+asinx—acusx—1a—1,

2

令sinx-COST3则sin%=1—,-V2<t<1»

y=l—t2+at--a—1=—t2+at--a=—(t--)24--——-a>

J22'2)42

-

£V_&时，t=时，ymax=_(V2+Q—2=2,・•.Q=-2W+1>2V2,

舍去，

-V2<^<1时，ymax==2,所以Q=-2或4(舍去)，

m>1时，七=1时，ymax=^-1=2,所以Q=6,

综上。的取值为-2或6.

解析：本题考查三角函数的图象与性质的综合，解决问题的关键是：(1)结合半角公式及和差公式化

简即可；(2)根据单调性利用整体性求解对应口的范围；(2)由题

g(0==sin2x+asinr-acosj---a—1,通过令sini—COST=f,换元，分类讨论求解满足条件

。值.

5.答案：解：⑴〃川=由1e+工)由1("工)-疝0«。

V31V3V3

=cosxsinx———(1+cos2x)=-sin2x———cos2x———

所以f(x)的最小正周期T力，

当sin(2工一I时，/(x)最大值为等；

(2)当上€［(),3时，有-qW2f-\47r,

从而一；421一：4：时，即()《工《黑时，f(x)单调递增，

：W2x—g〈兀时，即:［《工42；时，/(x)单调递减，

综上所述，/'(X)单调增区间为［0,争，单调减区间为珞，等.

解析：本题考查了二倍角公式及应用，辅助角公式和函数!/=,1疝Mcr+6的图象与性质.，属于中

档题.

(1)由条件利用二倍角公式和辅助角公式得函数的解析式，再利用函数vJlsin(3+⑴的周期性和

最值得结论；

(2)根据2%—；6［―或用，利用函数J/Asiu(3；+M的单调性得结论.

6.答案：解:(1)/(1：)=\&sin2r+(2cos2x-1)4-m+1

=\/3siii2j,+COM2T+7//+1

因为f（%）加数=2+m+l=2,所以?n=—1

所以/（工）-2疝1（2工+,），

令―/+2A'TTW2l+G4,+2k?r,k€Z,

所以一g：+k7T,A-eZ,

所以/(久)的单调递增区间为［一I+尿］+k司"€Z;

JO

(2)因为/(々))=2+“(2々)+：)=,,所以sin(2z()+:

又乂0e弓亭，所以2%+£；「(；,

所以cos(210+［)=—1，

所以8s5cos[(2x.+-^1

77.7T

sin一

66

4V3.31_3-46

--X——F-X-

525210

解析：本题考查和差角公式、二倍角公式和正弦函数的性质，考查推理能力和计算能力，属于中档

题.

(1)用二倍角公式及辅助角公式化简〃x),求出〃1,再根据正弦函数单调性求出单调区间;

(2)由已知得sin(2j\)+,同时求得8«(2]()+：)=广,再变角，用和差角公式计算.

5

7.答案：解：(1)：(a—b)(sin4+sinB)=(c-b)sinC,

・•,由正弦定理得(a-b)(a+b)=(c-b)c,即b?+c2-a2=be,

.b2+c2-a2be1.4n

••cos/=---------=—=一，A=二

2bc2bc23

(2)•••4=泉•••B+C=拳

又为锐角三角形，

AABCOZ

由正弦定理得b=2sinB,c=2sinC,

7T

/.ft2+c2=4(sin2i3+siiFC)=4[siirZ?4-siir(g-B))=4-如闻2B+(

3V«J

又gvB—<2B+-<—,

62333

可得人+c2w(5,6].

解析：本题主要考查正弦定理，余弦定理，三角函数的恒等变换，以及三角函数的值域，属于中档

题.

(1)利用正弦定理对已知等式(a-b)(sinA+sinB)=(c-b)sinC进行变换，然后利用余弦定理求出

cosA,可得A；

(2)根据已知条件，求出B范围，然后利用正弦定理可得b=2sinB,c=2sinC,代入所求式子，变形，

化为三角函数，利用三角函数的值域求出公。答案.

8.答案：解：连接BP,过P作PPi_LBC垂足为B，

过。作QQi1BC垂足为Qi，

设4PBP1=0（0<e<y）,4MBP=y-e,

若在Rt^PBPi中，PPi=stnB,BP—cos。,

若。=p则PPi=sin。，BP1=cos。,

若/<0<守则PP]=sin9,BPx=COS（TT-0）=~cosO,

又在RtAQCQi中，C；,且QQi=PPi=sin。，

则CQi=与sin8,CQ=乎sin。，

:.PQ=2—cos6—YsinO»

DQ=2一手sin。，

所以总路径长/（。）—~—0+4—cosd—V3sin0,（0<。<—）,

f'⑻=sine-遮cos。-1=2sin（e-^）-1,

令（（0）=0,0=|,

当0＜。＜三时，/（。）＜0,八。）单调递减；

当］＜。＜与时，［（。）＞0，/（。）单调递增;

所以当。=：时，总路径最短.

故当BP1BC时，总路径最短.

解析：本题考查的知识点是利用导数研究函数的最值，三角函数的应用，难度中档.

连接BP,过P作PP11BC垂足为忆过。作QQiJ.BC垂足为Qi，设“BP1=0（0＜3＜§,乙MBP

y-0,则总路径长f(0)=号—8+4-cos。-百sin。，(O<0<y),求导,可得函数的最小值.

9.答案：解：(1)因为BC=10,ZABC=p

AA

所以AB=lOcos?,AC=lOsin-,

22

区域I的面积为Si=|AB-AC=1x10sin1x10cos1=25sin0,

区域HI的面积为S[[[=：兀,52—Si=-1——25sin。，

所以，区域HI的面积为SIH=号^-25sin。,d€(O,TT)；

因为8《(0,砌,所以当6=5时，(SQmin=^—25;

答：区域in面积的最小值为等一25；

(2)因为BC=1O,ZABC=I，

所以AB=lOcosp

BD=ABcos-=lOcos2-=5(1+cos。)，

a0°

AD=ABsin-=lOsin-cos-=5sin0,

222

所以，ABD=|BD-AD=|x5sin。•5(1+cos。)=ysin0(l+cos。)

设f(。)=sin6(l+cos0),6e(0,兀)，

则f(0)—2co«2。+-1(),解得cos。=I，得6=g；

当96(0,今时，cos0>pf(0)>0,f(9)为增函数；

当。€第,兀)时，cose<i,/(。)<0,/(。)为减函数：

所以，当。=轲，/(。)最大，AABD面积最大，

此时,区域n的面积为的=，•(")2+扣.咨)2_Sm=*(")2+"喏)2一声有2_

Sgj]=s图,

且S0=工AB-AC=ixlOsin-xlOcos-=25sin。=—.

u22222

答：当△ABD面积最大时，区域n的面积为任金

2

解析：本题考查了三角函数模型应用问题，也考查了逻辑推理与计算能力，是中档题.

(1)根据题意计算△ABC的面积，即得区域I的面积的；利用半圆的面积减去△ABC的面积，得出区域

HI的面积S„i，再求它的最小值；

(2)由题意，计算AABD的面积，求出面积取最大值时对应的。值，再计算区域口的面积Sm.

10.答案：解：(1)因为一1＜黑£1,且"+y2=(惠)+-^L-=1,

所以C的普通方程为/+y23=l(x*-1).

因为pros。y,

所以直线/的直角坐标方程为％+V3y+4=0.

(2)由(1)可设C的参数方程为｛；:;为参数，-TTVCCTT),

所以C上的点到I的距离为+《sina+4|_12coM(。一班)+d,

2-2

当c:时，2eo«(c-。+4|取得最大值6,

故C上的点到/的距离的最大值为3.

解析：本题考查曲线的参数方程化成普通方程，极坐标方程化成直角坐标方程，及圆的参数方程的

应用，属于中档题.

(1)利用/+y2消去参数f即可得到c的普通方程，注意由一1＜慝＜1得到XH—1;根据公式

工…,y衿iiW直接得到/的直角坐标方程.

(2)利用圆的参数方程｛:(。为参数，-亓＜。＜为，求得C上的点到/的距离为

…+《sina+4|即(°—彳)+[,根据三角函数的性质求最值即可.

22

1L答案：解：(1)对于曲线Ci，因为曲线A。。的解析式为，COSJ1,

所以点。的坐标为(/,nW-1),

所以点O到AD的距离为1-cos/,

而4B=DC=3—3

3

则儿(1)=(3—f)+(1—cotrf)=—t-cowf+4(14f43),

对于曲线C2,因为抛物线的方程为/=

即y=-滓，

所以点。的坐标为。一/2),

所以点。到4。的距离为“2,

而AB=DC=3—3

所以无2©=［产-t+3(1<t<|)；

(2)因为九'(f)=-14-sin/<0,

所以瓦(t)在口,|］上单调递减，

所以当t=l时，b(t)取得最大值为3<妨1,

又坛⑴=*”于+条

rTui<t<1,

所以当t=|时，似。取得最大值为?，

7TI

因为cosl>C5；,,,

所以3—1<3—=,,,

故选用曲线C2,当£=狎"，点E到8c边的距离最大，最大值为|分米.

解析：本题主要考查的是直线与抛物线的位置关系，抛物线的性质及意义，正弦，余弦函数的图象

与性质的有关知识，属于中档题.

(1)对于曲线G，计算点。到AD的距离为1一cost,AB=DC=3-t,可得函数月«)的表达式；对

于曲线。2,点。到AO的距离为*,AB=DC=3-t,可得函数电⑴的表达式；

(2)可判断瓦⑷在［1,|］上单调递减，所以当t=1时，b(t)取得最大值为3-cosl；可判断函数九2©，

当t=|时，九2©取得最大值为|，比较它们的大小，即可得到结论.

12.答案：解:⑴记的中点为。，设NA0B=8,9e(0,=),

则AB=4sin?,BC=4cos0,

总热量单位/(0)=8cos0+8sin1=-16sin21+8sin|+8=-16(sin|-i)2+9,

当sing=；时，/(。)取最大值，

此时BC=(米，总热量最大9(单位).

答：应设计BC长为g米，电热丝辐射的总热量最大，最大值为9单位；

(2)由(1)可知，总热量单位g(。)=4。+8cos。，66(0(),

令g'(0)=0,即4-8sin0=0,。=也

当。6(05)时，令g(。)为增函数，

当。6(*()时，令g(0)为减函数，

当。=着时，9(。)取得最大值，此时BC=4cos0=2痘米.

答：应设计BC长为2%米，电热丝辐射的总热量最大.

解析：本题考查了利用导数研究函数的单调性、最值、三角函数模型的应用，考查了推理能力与计

算能力，属于较难题.

(1)设ZAOB=。，9G(0,^),可得AB=4sing,BC=4cosO,总热量单位/(。)=8cos8+8sing=

—16sin2\+8sing+8=—16(sing-：)？+9,利用二次函数的单调性即可得出；

(2)总热量单位g(。)=46+8cos6,6G(0()，利用导数研究函数的单调性即可得出.

13.答案：解：(1)依题意知，A=®=ln-^=ir,7=4兀，

27r1

.・.W=——=

47r2

由[x]+8=2/OT+1(kez)得：

(P=2kn+^(kEZ),又”(一曷),

n

0=£

•••这条曲线的函数解析式为y=&sinGx+》；

(2)由2而一名三打+2"+箕4€Z)得：

2242

4kn———x—4k7+(fcGZ),

由21兀+1式：％+：式2卜兀+：化€2)得：

4/CTT+^<x<4/CTT+:(k6Z).

•••函数的单增区间是[4/OT—：,4/OT+§(keZ)

单调减区间是[4"+],4"+第(k6Z).

解析：本题考查由y=4sin(3x+*)的部分图象确定其解析式，考查正弦函数的单调性，属于中档

题.

(1)依题意知，A=5/=兀，易求.=也再由;*升0=2"+式A6Z),36(一")可求得

W，从而可得这条曲线的函数解析式；

(2)利用正弦函数的单调性，由球兀-1式：%+?=2k兀+］水€2)可求得函数的单调增区间，由

2kn+^<\x+^<2kn+'^-(keZ)可求得函数的单调减区间.

27r

l+cos2l1+<®s(2x+—)111瓜、

14.答案：解:

/(工)=---z---+-------Z----=2cos2x+o'2CO82X一《-时必)+1

leg、।开

一CO«2N--------SIII2JT+1=]8«(21+-)+1•

44

所以f(x)的最小正周期7=三=兀,

当2上兀一兀42xg42/OT时，f(x)单调递增，

解得：xG\ku-,ku—~］(^€Z),

所以/(x)的单调递增区间为即一表/ot-g(keZ),

自由团可知，f(x)在区间［一点-g上是减函数，

在区间［-？勺上是增函数，

OO

而/(*)=：，/(-？)=?&)=£

所以f(x)在区间［-黑］上的最大值为I，最小值为玄

解析：本题考查余弦二倍角公式及余弦函数的图象和性质等有关知识的综合运用.

(1)借助题设条件余弦二倍角公式及余弦函数单调性求解；

(2)依据题设运用余弦函数的有界性进行探求.

15.答案：解：(1)/(%)=cosxcos(%—；)+V3sin2x一等

/V31\1-cos2x3V3V3,1V3V3

=cosx—cosx+-sinx+V3---------------------=—cos£x+-sinxcosx———cos2x———

\22/242224

V31+cos2x1V3V3

=-------------------F-sin2x——--cosx———

1.V31.n\

=-sinozx-----coso2x=-sinI2x——，

442\3/

/(x)的最小正周期T=^=7T.

(2)由(1)知/0)=/也卜》一§.

当女卜式］时，詈S2%W，-|<|sin(2x-g<i)

即-;<fW<衿t=/(x),则t6

g(x)=a/(x)+b<=>g(x)=at+b,te［-p;］,

令h(t)=at+b,t6［-5，；］.

易知a*0.

①当a>0时，h(t)=at+b在上为增函数，

/i=0—i4-h=0

因此｛,即｛j.解得a=4,b=2.

呜=3-+b=3

②当a<0时，/i(t)=at+b在［―］用上为减函数，

=3--a4-b=3

因此{,BP{2

-a4-h=0

呜=°4

解得a=—4,b=1,

综上所述，真沏真;4

解析：本题考查二倍角公式及两角和与差的三角函数及正弦函数的性质.

(1)利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin(a)x+9)的形式即可求

解；

(2)求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出/'(x)的最大值和最小值，即得到/(x)

的值域，根据g(x)值域为[0,3],即可a,匕的值

16.答案：解：(1)因为2B=4+C,又4+B+C=7r,

得B=p

又3sinC=4sinA,

由正弦定理得3c=4a,即a/

由余弦定理济=a2+c2—2accosB

得13=(亨)2+C2-2X^CXCX1,

解得c=4.

(2)由正弦定理得b2yfl3

sinAsinCsinB3

・•.a=^sMA，c^sinC,

2V13

・•・a+c=---(sinA+sinC)

2V13

=---[sinA+sin(4+B)]

2V13

---[rsinA+sin(i4+

=2V13sin(/l+-),

6

由0<4(景知，当a+3=],即时，

(a+c)max=2V13

解析：本题主要考查了三角形内角和定理，正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦

函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题.

⑴由2B=4+C及三角形内角和定理可求B=或由正弦定理可求。=装进而利用余弦定理可得c

的值.

(2)由正弦定理，可得a=^s讥4,c=^-sinC,利用三角函数恒等变换的应用化简可得a+c=

2gsi武力+勺，由0<力<9,可求范围£<4+£<7,进而利用正弦函数的性质可求最大值.

63666

17.答案：解：

(1)f(x)=1+siu2H+25/3x-?工—>/3=1+siu2z—y/Zcos.lx=2tun(2x-+1,

由2kn—<2x—<2/c7i+-y-,k&Z,

则函数递增区间为[而一拼面+颗kez.

⑵由汴得y若,

4OOJJ

则—<siu(2«r—^-)W1>

则1一次<yW3，即值域为(1-g,3].

解析：本题考查y=4sin(3X+勿)型函数的图象和性质，是基础题.

(1)利用倍角公式降累，再由辅助角公式化积，由复合函数的单调性求函数/(x)的单调递增区间;

(2)由x的范围求得相位的范围，进一步求得函数值域.

18.答案：解:⑴・•・曲线C的极坐标方程为p2-6ps讥。一7=0,且/j-2+y-.^hiOy,

•••曲线C的直角坐标方程为/+丫2-6y-7=0,

即/+(y-3)2=16.

(2)•••直线/的参数方程为:；:鬻(t为参数)，

(y-±ILoificc

・・・将直线的参数方程代入到圆的直角坐标方程得产+(4880lsinn)f-8^0,

..‘1+，2=4v^sin(c—j),ti•0=—8<0,

T

4V^^in2(o-：)+1,

r.IQ川+\QB\=Ml+P2I=|ti—<2!

二最小值为4&.

解析：本题考查了直线的参数方程，简单曲线的极坐标方程，考查运算求解能力，是中档题.

(1)由曲线C的极坐标方程，将/=/+jAwin。y代入即可求出曲线C的直角坐标方程.

(2)将直线的参数方程代入/+⑶-3)2=16,得-+4siun)f-8(),由此能求出|QA|+

|QB|的最小值.

19.答案：解：(I)g(x)=x+sin：；

x+6TTx

:.cosg^x+6TT)=cos(x+6加+sin--——)=cos(x+sin-)=cosg(x)

g(x)是以67r为周期的余弦周期函数；

(!!)•••f(x)的值域为R；

二存在％0，使/'(#0)=c；

又cD(b)］；

/(a)</(x0)<f(b),而/(x)为增函数；

a<xQ<b-,

即存在久0e［a,b］,使/Oo)=C；

(ID)证明：若%+7为方程cosf(x)=1在区间［T,27］上的解；

则：cosf(u0+7)=1,T<u0+T<2T；

cosfQuo')=1,且0<u0<T；

•••"o为方程cosf(x)=1在［0,7］上的解；

•••“如为方程cosf(x)=1在［0,7］上得解”的充分条件是“如+7为方程cos/(x)=1在区间［T,2T］上

的解”；下面证明对任意xe［0,7］,都有f(x+?)=fix)+f(7)：

①当x=0时，/(0)=0,；.显然成立；

②当％=7时，cosfQT)=cosf(T)=1；

f(2T)=2七兀，(hCZ),f(T)=4兀,且2自兀>4兀，二口>2；

1)若人=3,/(2T)=6n,由(2)知存在沏e(0,7),使f(由)=2乃；

cosf(x0+7)=cosf(xo)=1=/(x0+T)=2k2n,k2G.Z；

•••m<f(x°+T)</(27)；

•••47r<2k2n<6TT：

.，-2<<<3,无解；

2)若的>5,/(2T)>10兀，则存在7<xx<x2<2T,使得/(与)=6兀，/(x2)=8兀；

则T,%,x2,2T为cosf(x)=1在［T,2T］上的4个解;

但方程cosf(x)=1在［0,27］上只有/(x)=0,2兀，4兀，3个解，矛盾；

3)当自=4时，f(27)=8兀=/(7)+f(7),结论成立;

③当(0,7)时,f(x)G(0,47r),考查方程cos/(x)=c在(0,7)上的解；

设其解为/'01),/(%2)>.•->/(^n)>(^1<x2<—<