数学核心素养解读-数学建模活动与数学探究活动

数学建模活动与数学探究活动数学学科的核心素养之一背景什么是建模？什么是探究？国外实际操作的借鉴目录数学建模与探究教育意义010203040506教学内容与要求背景1.核心素养是新课程标准的纲领；是新课程的价值所在。是个体在面对复杂的、不确定的现实生活情境时，能够综合运用特定学习方式下所孕育出来的学科观念、思维模式和探究技能，结构化的学科知识和技能，世界观、人生观和价值观在内的动力系统，分析情境、提出问题、解决问题、交流结果过程中表现出来的综合性品质什么是人的核心素养（杨向东教授）背景2.为什么数学建模和数学探究是数学科的核心素养之一

高中数学学科的核心素养

1.数学抽象；

2.逻辑推理；

3.数学建模；

4.直观想象；

5数学运算；

6.数据分析；包饺子的数学建模如果饺子馅多了，是包大饺子还是包小饺子？单位体积的表面积模型球型？正方体型？应该将飞机的哪一个部位加厚加固？什么是数学建模？1.数学建模的定义2.数学建模是一种学习方式1.用数学建模的方法解决自然科学、工程技术和社会科学中的问题是一种被广泛使用的方法数学建模(mathematicalmodeling)：数学建模是运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程，它已经成为世界各国不同层次数学教育重要和基本的内容。数学建模学习是寻求建立数学模型的方法的过程。可以看成是问题解决的一部分，它的作用对象更侧重于非数学领域，但需用数学工具来解决的问题。来自日常生活、经济、工程、理、化、生、医等学科中的应用数学问题。这类问题则往往还是“原坯”形的问题，数学建模突出地表现了对原始问题的分析、假设、抽象的数学加工过程；数学工具、方法、模型的选择和分析过程；模型的求解、验证、再分析、修改假设、再求解的迭代过程构成了数学建模的全部内容。数学建模通过以下框图体现2.数学建模是数学学习的一种新的方式数学建模是数学学习的一种新的方式，它为学生提供了自主学习的空间，有助于学生体验数学在解决实际问题中的价值和作用，体验数学与日常生活和其他学科的联系，体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程，增强应用意识；有助于激发学生学习数学的兴趣，发展学生的创新意识和实践能力。数学建模具有丰富的数学教育功能数学建模的教育功能：培养学生数学观念、科学态度、合作精神。激发学生的学习兴趣，培养学生认真求实、崇尚真理、追求完美、讲求效率、联系实际的学习态度和学习习惯。什么是数学探究？1.数学探究的定义2.数学探究也是一种学习方式数学探究的核心是让学生具有发现数学问题、研究数学问题的过程体验数学探究是指学生围绕某个数学问题，自主探究、学习的过程。这个过程包括：观察分析数学事实，提出有意义的数学问题，猜测、探求适当的数学结论或规律，给出解释或证明。数学探究与数学建模区别主要是探究面向课内的学习内容。数学探究是高中数学课程中引入的一种新的学习方式，有助于学生初步了解数学概念和结论产生的过程，初步理解直观和严谨的关系，初步尝试数学研究的过程，体验创造的激情，建立严谨的科学态度和不怕困难的科学精神；有助于培养学生勇于质疑和善于反思的习惯，培养学生发现、提出、解决数学问题的能力；有助于发展学生的创新意识和实践能力。教学内容与要求1.数学建模和数学探究一般以课题的方式呈现2.数学建模和数学探究要符合科学规范数学建模和探究一项综合实践活动

“数学建模活动”是运用模型思想解决实际问题的一类综合实践活动，是高中阶段数学课程的重要内容。“数学探究活动”是围绕某个具体的数学问题，开展自主探究、合作研究并最终解决数学问题的过程。具体表现为：发现和提出有意义的数学问题，猜测合理的数学结论，提出解决问题的思路和方案，通过自主探索、合作研究论证数学结论。“数学探究活动”是运用数学知识解决数学问题的一类综合实践活动，也是数学课程的重要内容。建模和探究在必修中占6课时，选择性必修中占4课时数学建模与探究的教育价值1.数学建模和数学探究是一种数学素养2.数学建模和数学探究是一种学习方法和活动体验数学建模与探究的教育价值

它是一种独立的数学素养，却又是一种综合程度最高的素养，因为建模和探究的过程离不开抽象概括、逻辑推理、直观想象、数学运算、数据分析。中学数学建模首先突出表现了数学学科的特点，主要是数学应用的广泛性，理性精神和文化内涵。其次强调了学生的自主性和实践性，强调“问题”和“问题意识”，强调学习、实践过程的开放性和活动性。数学建模与探究的教育价值它尤其注重学生学习方式的转变，试图改变那种单一的以知识授受为基本方式、以知识结果的获得为直接目的的学习活动。提倡多样化、个性化、有时代特征的学习和实践，如网络搜索、问卷调查、计算机仿真实验、现场观察、合作探究等，强调“做数学、学数学、用数学”。因而，中学数学建模比其他任何数学课程都更强调学生对实际的活动过程的亲历和体验。数学建模与探究的教育价值

在我们的建模和探究实践中，我们特别强调建模和探究学习的“过程”，强调“活动”,强调建模学习的”选题、开题、做题、结题“这四个操作环节，就是要通过建模的学习和实践，给学生提供一个探究发现、合作学习、个性展示、协作支持、工具选择、信息挖掘、交流分享、归纳提升、反思拓展的机会和氛围，通过建模活动，激发学生自主思考，促进学生合作交流，提高学生学习兴趣，发展学生创新精神，培养学生应用意识和实践能力，提升对数学学科价值的理解，积累一定的用数学解决问题的经验，最终使学生提升适应现代社会要求的可持续发展的素养。国外数学建模与探究教育活动的借鉴1.数学建模和数学探究是一种数学素养2.数学建模和数学探究是一种学习方法和活动体验2017年6月，由美国数学及其应用联合会（COMAP）、美国工业与应用数学学会(SIAM)联合原著，由梁贯成、赖明治、乔中华、陈艳萍教授编译的《数学建模教学与评估指南》一书（以下简称《指南》）由上海大学出版社出版发行。“午餐中的问题”：入学前班到二年级，可以收集数据，讨论解决如下程度的问题：讨论我们组要吃掉多少胡萝卜？哪些食物与胡萝卜搭配最好？搭配量是多少？多大的餐盒可以装下这些胡萝卜？怎样用图来表示我们分析得到的结果？….3至5年级可以进一步讨论：胡萝卜和其他蔬菜的营养成份的比较。如何在各种食物中挑出或组成最佳的午餐。（最佳需要学生自己定义）如果把餐盒改成托盘，前面讨论的结果会有什么变化？（修改条件和假设）学校的伙食费有上限时，怎样安排各餐的品种和价位？（量化估计和预测）…。6至8年级可以进一步讨论：给出选择的一个数量范围（成份、价格、是否送餐、口味等），选择决定购买哪种披萨饼。给披萨饼的售价找一个函数，自变量可以是直径、或是配送时间等。…。高中的建模案例就更加丰富、复杂、开放。如“乔丹罚球动态命中率如何算？”，“如何选择购买高性能电脑？”，“上哪个加油站加油更划算？”，尽量均匀的喷灌系统的喷头间距是多少?,“救灾物资的公平分配”，…。涉及的知识多是函数、几何、简单的概率统计。我们给出的建模推进层次在我们的建模实践中，提出了从数学应用渗透到完整数学建模活动的逐步提升的以下层次：（1）为了帮助学生理解、建立概念，函数，定理，公式等而有意设计的实际情境。（2）.直接套用数学概念，函数，定理，公式等，给出有实际意义的结果（如函数值），或者解释、说明、得到结果的实际意义。我们给出的建模推进层次（5）.教师给出实际问题，学生自主完成数学化的，简单、具体的数学应用。（6）.教师给出问题情境，学生自主提出实际问题，师生一起完成“建立模型”和“模型求解”的主要过程的数学活动。教师可以在章节复习中出现（5）、(6)的要求我们给出的建模推进层次（3）.通过简单的变换，间接套用数学概念，函数，定理，公式等，给出有实际意义的结果。（4）.教师给出实际问题，并带领（教材是引领）学生完成数学化的，简单、具体的数学应用。教师应在日常教学中，要有意完成（1）、（2）、（3）、（4）的内容，做好数学建模渗透，要有意识地抓住“渗透点”，如：

指数函数------人口增长，指数爆炸（指数函数）有实际背景和意义的函数图像数列的通项与求和-----存款的本金和利息的计算分段函数-----邮费或打车费用的的计算三角函数的应用-----有实际意义的高度、距离和角度的计算有实际意义的三角函数值，周期的计算或解释直线和二次曲线的实际意义（拱桥曲线，入射线、反射线等）……我们给出的建模推进层次（7）.全过程（选题、开题、做题、结题）、学生部分自主（在发现提出问题，模型的选择和建立，求解模型，给出模型结果的解释等环节中，教师部分参与，给予指导和支持）的数学建模活动。（8）.全过程、全自主（学生自主发现提出问题，自主完成数学化的建模过程，自主求解模型，自主给出模型结果的解释，在整个过程中可以自主寻求教师的帮助）的数学建模活动。（7）、（8）是数学建模的专项要求，教师可根据学生情况，选择做到一定程度建模与探究的教学目标数学建模和探究的课程教学目标基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验提高从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力；提高数学表达和数学交流能力；发展数学应用能力及创新意识；养成良好的数学学习习惯。用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维分析现实世界，用数学的语言表达现实世界；建模与探究的案例介绍案例1：课堂内的探究活动-----正方体可能的截面【情境】用一个平面去截正方体，截面的形状是什么样的？操作建议：激发学生提出一个逐渐深入的问题串，引导学生的讨论走向深入，例如学生提出（或教师引导提出）：(1)给出分类的原则（例如：按截面图形的边数分类）。按照你的分类原则，能得到多少类不同的截面？设计一种方案，找到截得这些形状截面的方法，并在正方体中画出示意图。(2)如果截面是三角形，你认为可以截出几类不同的三角形（分别按边，角分类）？为什么?(3)如果截面是四边形，你认为可以截出几类不同的四边形？为什么?(4)还能截出哪些多边形？为什么?案例：正方体所有可能的截面的类型：

三角形类

．直角三角形

．锐角三角形

．钝角三角形

．等边三角形或等腰三角形

其他：

．五边形

．正五边形

．六边形

．正六边形

．七边形

．多于7边的多边形

四边形类

．正方形

．矩形

．非矩形的平行四边形

．等腰梯形

．非等腰的梯形

．直角梯形

问题：正方体的截面中是否可能出现(5)能否截出正五边形？为什么？(6)能否截出直角三角形？为什么？(7)有没有边数超过6的多边形截面？为什么？(8)是否存在正六边形的截面？为什么？(9)最大面积的三角形截面是哪个？为什么？这是一个跨度很大的数学探究问题串，可以通过多种方法直接实施探究，比如教学条件比较薄弱的学校，可以让学生通过切萝卜块来观察；也可以通过向透明的正方体盒子中注入有颜色的液体，来观察不同位置摆排放、不同水量时的液体表面形状。借助于信息技术（如几何画板）也可以直观快捷地展示各种可能的截面，但是不能代替证明。探究的难点是分类找出所有可能的截面，并实际找出、证明哪种形状的截面一定存在或一定不存在。可以鼓励学生通过观察、操作，形成猜想，再通过论证形成结论。它有利于培养学生观察发现、分类讨论、推理论证、直观想象、作图表达等能力，在具体情境中，提升直观想象、推理论证等核心素养，积累数学活动经验。

选做：其他自己提出的与本问题相关的开放的子课题：

如：1．最大面积的截面三角形是怎样的？

2．最大面积的截面四边形是怎样的？

3．最大面积的截面形状是怎样的？

【案例2】包装的合理设计

（表现不同水平的建模案例）

水平一的问题：各型饮料罐的体积和表面积计算情境与问题：收集并观察市场上的各种饮料罐（圆柱罐，球型罐，棱柱罐等），测量它们必要的外观尺寸如直径、母线长等，选择适用的公式，计算它们的容积和表面积。如果有一张矩形的薄板，用做制罐的材料，已知薄板的场合长和宽分别为2000mm*1000mm,每做一个罐需要多出5%的加工余量用于接口等，请给出一种常见圆柱形饮料罐的下料方案，分析它的合理性，是否符合材料被尽量利用的要求？（可选要求）分小组一起讨论求解方案，算出相应结果，小组交流、理解确认。每个人依据小组的求解结果，撰写结题报告，有可能时选取代表组在全班介绍过程和结果。水平二的问题：关于一定容积饮料罐的合理形状的讨论

情境与问题：一个容积一定的圆柱形罐，它的底面半径为r,高为h,问当h:r为多少时，罐的表面积最小？如果罐变成了有底无盖，无把手的杯子，当h:r为多少时，杯子的表面积最小？对容积为330ml的饮料罐或无把手的杯子，给出表面积最小时，这个罐和杯子的具体尺寸（精确到1mm）,观察一个真实的食品罐头和饮料罐头，分析数学得到的结论和实际使用的产品之间产生差异的原因，给出你的解释。水平三的问题：同种商品但规格、型号不同，应如何定售价？

首先请学生分组到超市收集有关商品的重量、包装、售价的信息。体会建模与探究的课题研究过程案例3：从问题情景、探究任务到课题研究

我们经常能在商场中看到这样的情形：同种商品会有大小不同的型号，价格各不相同，比如在某品牌牙膏有：40克、120克、180克等几种规格的产品，价格分别为3.70元、9.30元、13.20元。任务驱动的学习任务1：以上述牙膏为例，研究该商品价格关于牙膏重量的函数关系；对影响商品销售价格的因素进行分析，选择主要因素，忽略次要的因素；研究主要因素与价格的关系，从而得到该牙膏的以所售牙膏单只重量为自变量的售价公式。任务2：能否根据已有型号的价格推算出此类商品其他型号的价格呢？（检验你建立的商品价格模型，并尝试对结果进行解释。）可以选择一种建立函数关系式时未被使用的型号价格，将利用模型推算出的价格与该型号商品的实际售价进行比较，考虑模型是否能进一步改进，如何改进。表3：“同种商品不同型号的价格问题”

数学建模成果报告表

课题组成员：成员姓名分工与主要工作或贡献建模过程和结果：原始问题，基本数据，模型假设，建模过程，解算和结果，分析和说明参考文献：成果的自我评价：（请说明方法或原理的合理性、特色或创新点、不足之处等）拓展（选做）：在解决问题的过程中发现和提出的新问题，可以延伸或拓广的内容；得到的新结果或猜想等体会：描述在工作中的感受和收获生生评价：

教师或专业人士的评价：交流与反思

让学生经历一个比较完整的“选题，开题，做题，结题”的建模过程。特别是数据采集分析，发现提出问题；合作学习讨论，提出假设，构建或选用数学模型；自己选择工具方法，求解模型；对结果进行分析，验证，调整假设；组织交流，多元评价的环节都是非常重要，并且应该做的更充分的环节。

案例4：有关测量的讨论---你能发现和提出多少问题？？？

测量任务1．测量本校教学楼的高度、本校的旗杆的高度。2．测量学校墙外的一座不可及，但在学校操场上可以看得见的一座高大写字楼的高度。3写出测量方法，实测数据、计算过程和数据结果。测量目标我们的东教学楼有多高？操场上的旗杆有多高？？学校东南角外的“理想大厦”有多高？？？讨论：请你给出几种实用、可行的测量方法解释测量的过程和原理说明使用的工具……不可及物体的测量使用镜子的测量法：分析误差原因后，建议学生二次测量！使用不同的测量方法拓展任务1．本市的最高建筑物-----中央彩电中心电视塔的高度是多少米？2．一座高度为H米的电视塔，它的信号传播半径是多少公里？信号覆盖面积有多大？3．找一张本市的地图，看一看本市的地域面积有多少平方公里？电视塔的位置在地图上的什么地方，按照计算得到的数据，这座电视塔发出的电视信号是否覆盖本市？案例5：打包问题希望在小组学习的过程中,既有热烈的讨论,智慧的碰撞;又有高效率的分工合作.打包问题

市场上一封火柴内装１０盒火柴；一条香烟内装１０包香烟……。它们打包形式一样吗？哪一种包装形式更能节省外包装材料呢？为了讨论方便，我们先来定义一种“规则打包”法，这是指打包时要求包内的相邻两物必须以全等的两个侧面来对接。打包后的结果仍是一个长方体。我们可以更数学地提问：长方体的物品，按“规则打包”的形式将１０包打成一个大包，怎样打包可使表面积最小？

结论：由计算发现：十包香烟表面积最小的打包方法是：第六种，它的最小表面积是：６５２９６ｍｍ２.发展性练习题将上题中的6包改成12包或8包，结果怎样？有没有一个更一般的处理这类问题程序？提示：先将12作“规则因式分解”，即把它表成由小到大的三个因数的乘积，不足三个因数的可用“１”代替。这样１２有如下四种“规则因式分解”：12＝１×１×12；12＝１×２×６；12＝２×２×３；12＝１×３×４。三个因数分别表示在ｘ、ｙ、ｚ方向上摆放的盒数。你还能提出哪些问题？你能设计一个新的打包问题吗？由打包问题你还能联想到那些相关的问题？你有解决这些问题的想法或方案吗？案例6：数学探究案例不同的凸多面体中的顶点数v、棱数e、面数f之间存在着怎样的关系？【探究建议】先对常见的多面体进行实验观察、计数、归纳，如可以填写下表：表3-1常见的多面体几何量的实验观察记录表所选多面体顶点数v棱数e面数f形成猜想正四面体正方体正八面体正十二面体正二十面体四棱柱五棱锥六棱台自选观察体一？自选观察体二？选做：试一试自己提出的一些与本问题相关的新问题，如：

（1）．是否有e,v,f间的不等关系？（2）．每一个棱数