湖南省常德市石门县第六中学高三数学文期末试题含解析

湖南省常德市石门县第六中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若直线y=kx+2的斜率为2，则k=

(A)?2

(B)?

(C)

(D)参考答案：B2.函数f（x）=（x2﹣3）ex，当m在R上变化时，设关于x的方程f2（x）﹣mf（x）﹣=0的不同实数解的个数为n，则n的所有可能的值为（）A．3 B．1或3 C．3或5 D．1或3或5参考答案：A【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】求f（x）的导数，单调区间和极值，作出f（x）的图象，令t=f（x），则t2﹣mt﹣=0，由判别式和根与系数的关系可得方程有一正一负根，结合图象可得原方程实根的个数．【解答】解：函数f（x）=（x2﹣3）ex的导数为f′（x）=（x+3）（x﹣1）ex，当x＞1或x＜﹣3时，f′（x）＞0，f（x）递增；当﹣3＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减．即有f（x）在x=1处取得极小值﹣2e；在x=﹣3处取得极大值6e﹣3，作出f（x）的图象，如图所示；关于x的方程f2（x）﹣mf（x）﹣=0，由判别式为m2+＞0，方程有两个不等实根，令t=f（x），则t2﹣mt﹣=0，t1t2=﹣＜0，则原方程有一正一负实根．当t＞6e﹣3，y=t和y=f（x）有一个交点，当0＜t＜6e﹣3，y=t和y=f（x）有三个交点，当﹣2e＜t＜0时，y=t和y=f（x）有两个交点，当t＜﹣2e时，y=t和y=f（x）没有交点，则x的方程f2（x）﹣mf（x）﹣=0的实根个数为3．故选：A．3.已知集合，，则（

）A．

B．

C.

D．参考答案：B4.设，则的最小值是（）A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：D略5.由直线，x=2，曲线及x轴所围图形的面积为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A6.若，则

(

)

A．

B．

C．

D．

参考答案：B7.从一群学生中收取一个一定容量的样本对他们的学习成绩进行分析，前三组是不超过80分的人，其频数之和为20人，其频率之和（又称累积频率）为0、4，则所抽取的样本的容量是

（

）A、100

B、80

C、40

D、50参考答案：B8.与事定义在R上的偶函数，若时=，则-为(

)A.正数

B.负数

C.零

D.不能确定参考答案：A=

=则

恒成立是单调递增原式0恒成立注意点：若关于轴对称，T=2a

若关于点对称，T=2a

若关于对称，T=4a

9.下列函数中是偶函数，且在（0，2）内单调递增的是(

)A．y=x2﹣2x B．y=cosx+1 C．y=lg|x|+2 D．y=2x参考答案：C【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据偶函数的定义，偶函数图象关于y轴对称的特点，以及对数函数，余弦函数的单调性即可找出正确选项．【解答】解：y=x2﹣2x不是偶函数，所以不符合条件；y=cosx+1，在（0，π）内是减函数，所以不符合条件；y=lg|x|+2=，所以该函数是偶函数，在（0，2）内单调递增，所以该选项正确；y=2x的图象不关于y轴对称，所以不是偶函数，所以不符合条件．故选C．【点评】考查偶函数的定义，偶函数的图象关于y轴对称的特点，以及余弦函数、对数函数的单调性，指数函数的图象．10.某几何体是组合体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B考点：三视图，体积．【名师点睛】三视图还原问题：空间几何体的三视图中如果有两个是三角形，其一定是锥体，第三个视图是多边形，则是棱锥，是几边形就是几棱锥，如是圆，则为圆锥；三视图中如果有两个是矩形，其一定是柱体，第三个视图是多边形，则是棱柱，是几边形就是几棱柱，如是圆，则为圆柱；对于简单几何体的组合体，要分清它是由哪些简单几何体组成的；在还原不规则的三视图时，可灵活应用补形法，将其直观图变为正方体或长方体，然后再将几何体分割为满足原三视图的几何体．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.执行右边的程序框图，若，则输出的n=

.参考答案：4略12.已知直线l1：x＋ay＋6＝0和l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0，则∥的充要条件是a＝.参考答案：-1略13..已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，为球的直径，且,，为等边三角形，三棱锥的体积为，则球的半径为A.3

B.

1

C.2

D.4

参考答案：C略14.已知点P是圆C：x2+y2﹣4ax﹣2by﹣5=0（a＞0，b＞0）上任意一点，若点P关于直线x+2y﹣1=0的对称点仍在圆C上，则+的最小值是．参考答案：18考点：圆的一般方程．专题：计算题；不等式的解法及应用；直线与圆．分析：由题意，x2+y2﹣4ax﹣2by﹣5=0表示的是以（2a，b）为圆心的圆，则直线x+2y﹣1=0过圆心，从而可得a+b=（a＞0，b＞0），利用不等式即可．解答：解：x2+y2﹣4ax﹣2by﹣5=0表示的是以（2a，b）为圆心的圆，故由曲线x2+y2﹣4ax﹣2by﹣5=0上的任意一点关于直线x+2y﹣1=0的对称点仍在圆C上可得，直线x+2y﹣1=0过点（2a，b），则2a+2b﹣1=0，即a+b=（a＞0，b＞0），则+=2（a+b）（+）=2（5++）≥2（5+4）=18．（当且仅当=时，等号成立）故答案为：18．点评：本题考查了恒成立问题及圆的结构特征，同时考查了基本不等式的应用，属于中档题．15.设二项式的展开式中常数项为A，则A=

．参考答案：﹣10【考点】二项式系数的性质．【专题】排列组合．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的系数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．【解答】解：二项式的展开式的通项公式为Tr+1=??（﹣1）r?=（﹣1）r??．令=0，解得r=3，故展开式的常数项为﹣=﹣10，故答案为﹣10．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．16.已知是偶函数，是奇函数，且则

.参考答案：17.（几何证明选讲选做题）如图5，是梯形的中位线，记梯形的面积为，梯形的面积为，若，则

，

．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=x2+（4a﹣2）x+1（x∈[a，a+1]）的最小值为g（a）．求函数y=g（a）的解析式．参考答案：【考点】函数解析式的求解及常用方法；二次函数的性质．【专题】计算题．【分析】由已知中函数f（x）=x2+（4a﹣2）x+1我们可得函数的图象是以x=1﹣2a为对称轴，开口方向朝上的抛物线，分析区间[a，a+1]与对称轴的关系，求出各种情况下g（a）的表达式，综合写成一个分段函数的形式，即可得到函数y=g（a）的解析式．【解答】解：∵函数f（x）的对称轴方程为x=1﹣2a．（1分）（1）当a+1≤1﹣2a时，即a≤0时，f（x）在[a，a+1]上是减函数，g（a）=f（a+1）=（a+1）2+（4a﹣2）（a+1）+1=5a2+4a；（4分）（2）当时，g（a）=f（1﹣2a）=（1﹣2a）2+（4a﹣2）（1﹣2a）+1=﹣4a2+4a（7分）（3）当上是增函数，g（a）=f（a）=a2+（4a﹣2）a+1=5a2﹣2a+1．（10分）所以（12分）【点评】本题考查的知识点是函数解析式的求法，二次函数的性质，其中根据已知中函数f（x）=x2+（4a﹣2）x+1分析出函数图象及性质，以确定后面分段函数的分类标准及各段上g（a）的解析式，是解答本题的关键．19.已知等差数列{an}的公差大于0，且a3，a5是方程x2－14x＋45＝0的两个根，数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn＝(n∈N*)．(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；

(2)若cn＝an·bn，求数列{cn}的前n项和Tn.参考答案：(1)∵a3，a5是方程x2－14x＋45＝0的两根，且数列{an}的公差d>0，∴a3＝5，a5＝9，公差d＝＝2.∴an＝a5＋(n－5)d＝2n－1.

--------------3分又当n＝1时，有b1＝S1＝，∴b1＝，当n≥2时，有bn＝Sn－Sn－1＝(bn－1－bn)，∴＝(n≥2)．∴数列{bn}是首项b1＝，公比q＝的等比数列，∴bn＝b1qn－1＝.

---------------6分20.已知F（1，0），过点A（﹣1，t）作y轴的垂线，与线段AF的垂直平方分线交于点M，点M的轨迹为曲线E．（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）自直线y=2x+3上的动点N作曲线E的两条切线，两切点分别为P，Q，求证：直线PQ经过定点．参考答案：【考点】轨迹方程．【分析】（I）由中垂线的性质可知MF=MA，故而E为以F为焦点的抛物线；（II）设N（x0，y0），过N点的直线方程为x=m（y﹣y0）+x0，联立抛物线方程，令△=0得出切点P，Q坐标及m1，m2的关系，代入两点式方程化简即可得出直线PQ的定点坐标．【解答】解：（I）∵M在AF的中垂线上，∴|MA|=|MF|，∵M在直线y=t上，∴|MA|等于M到直线x=﹣1的距离．∴M的轨迹为以点F（1，0）为焦点，以x=﹣1为准线的抛物线．∴曲线E的方程为y2=4x．（II）设N（x0，y0），过N的切线方程为x=m（y﹣y0）+x0，联立方程组，得y2﹣4my+4my0﹣4x0=0．∵直线与抛物线相切，∴△=16m2﹣16my0+16x0=0，即m2﹣my0+x0=0．∴m1+m2=y0，m1?m2=x0．∴方程组的解为y=2m，x=m2．设P（m12，2m1），Q（m22，2m2）．则直线PQ的方程为：=，∴（m1+m2）（y﹣2m1）﹣2（x﹣m12）=0．即（m1+m2）y﹣2m1m2﹣2x=0．∴y0y﹣2x0﹣2x=0．∵N（x0，y0）在直线y=2x+3上，∴y0=2x0+3．∴直线PQ方程为2x0y+3y﹣2x0﹣2x=0．∴当y=1时，x=．∴直线PQ过定点（，1）．21.一个几何体的三视图如图所示，求此几何体的体积．参考答案：80【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知该几何体为上部是一四棱锥，高为3，下部为正方体，边长为4的组合体．分别求得体积再相加．【解答】