广东省潮州市德芳中学高三数学理联考试题含解析

广东省潮州市德芳中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设则a、b、c的大小关系是A．a<b<c B．a<c<b C．c<b<a D．b<a<c参考答案：A2.在复平面内，复数对应的点到直线y=x+1的距离是（）A． B．2 C． D．参考答案：D【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】化简复数，求出它在复平面内的点的坐标，再用点到直线距离公式求之．【解答】解：，复数对应复平面内的点（1，1），它到直线的距离是故选D．3.函数的单调递增区间为（）A.(0,+∞) B.(－∞,0) C.(3,+∞) D.(－∞,－3)参考答案：D试题分析：因为，所以或，由于函数在上递减，函数在定义域内递减，根据复合函数单调性得性质可知函数的单调递增区间为，故选D.考点：1、函数的定义域；2、函数的单调性.4.如图所示的方格纸中有定点，则（

） A．

B．

C．

D．参考答案：C5.如果，那么的值是A．2

B．

C．

D．参考答案：C6.已知满足，则目标函数的最小值是A． B． C．

D．参考答案：C略7.函数f(x)=2x(x＜0)，其值域为D，在区间(－1,2)上随机取一个数x，则x∈D的概率是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B函数的值域为，即，

则在区间上随机取一个数的概率．

故选B．8.已知向量、、满足=+，||=2，||=1，E、F分别是线段BC、CD的中点，若，则向量与的夹角为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意画出图形，结合?求得＜，＞的值，即可求出向量与的夹角．【解答】解：如图所示，?=（﹣）?（﹣）=?﹣﹣=﹣；由||=||=2，||=||=1，可得?=1，∴cos＜，＞=，∴＜，＞=，即向量与的夹角为．故选：B．9.已知数列{}满足，且，则的值是（

）A.

B.

C.5

D.参考答案：B由，得，即，解得，所以数列是公比为3的等比数列。因为，所以。所以，选B.10.设等差数列的前项之和为，已知等于

A．15

B．20

C．25

D．30参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上一点，且

∠PF1F2=30°，∠PF2F1=60°，则椭圆的离心率e=

.参考答案：答案：

12.若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则_________.参考答案：13.设F1、F2是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P是双曲线右支上一点，满足（）=0（O为坐标原点），且3||=4||，则双曲线的离心率为．参考答案：5【考点】双曲线的简单性质．【专题】平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】运用双曲线的定义，结合条件可得|PF1|=8a，|PF2|=6a，再由（）=0，可得|OP|=|OF2|，得到∠F1PF2=90°，由勾股定理及离心率公式，计算即可得到．【解答】解：由于点P在双曲线的右支上，则由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，又|PF1|=|PF2|，解得|PF1|=8a，|PF2|=6a，由（）=0，即为（）?（﹣）=0，即有2=2，则△PF1F2中，|OP|=|OF2|=|OF1|，则∠F1PF2=90°，由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，即有64a2+36a2=4c2，即有c=5a，即e==5．故答案为：5【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查双曲线的离心率的求法，同时考查向量垂直的条件和勾股定理的运用，考查运算能力，属于中档题．14.古代印度数学家婆什迦罗在其所著的《莉拉沃蒂》中有如下题目：“今有人拿钱赠人，第一人给3元，第二人给4元，第三人给5元，其余依次递增，分完后把分掉的钱全部收回，再重新分配，每人恰分得100元，则一共

人．参考答案：195考点：等差数列的通项公式．专题：应用题；方程思想；等差数列与等比数列．分析：由题意，给每个人的钱数组成首项为3，公差为1的等差数列，由此求出等差数列的前n项和，列出方程求解．解答： 解：设共有n人，根据题意得；3n+=100n，解得n=195；∴一共有195人．故答案为：195．点评：本题考查了等差数列的通项公式与前n项和的应用问题，也考查了方程思想的应用问题，是基础题目．15.从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50到350度之间，频率分布直方图如图所示。（I）直方图中的值为

；（II）在这些用户中，用电量落在区间内的户数为

。参考答案：ⅰ)0.0044；ⅱ)70；略16.已知向量,若,则_____________.参考答案：2由,得,解得,所以.17.若是幂函数，且满足，则=

.

A.3

B.-3

C.

D.参考答案：C三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）设函数（1）求的最大值，并写出使取最大值时的集合；（2）已知中，角的对边分别为若，求的最小值.参考答案：（1）……………3分的最大值为………4分要使取最大值，故的集合为………6分（2）由题意；，即化简得……………………8分，，只有，………9分在中，由余弦定理，………10分由知，即，………………11分当时，取最小值…………………12分19.已知函数f（x）=ax+lnx，其中a为常数，设e为自然对数的底数．（1）当a=﹣1时，求f（x）的最大值；（2）设g（x）=xf（x），h（x）=2ax2﹣（2a﹣1）x+a﹣1，若x≥1时，g（x）≤h（x）恒成立，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可；（2）当x≥1时，g（x）≤h（x）恒成立，即为xlnx﹣ax2+（2a﹣1）x≤a﹣1，讨论x=1和x＞1，由参数分离和构造函数g（x）=xlnx﹣（x﹣1）﹣（x﹣1）2（x＞1），求出导数和单调性，即可判断g（x）的单调性，可得a的范围．【解答】解：（1）a=﹣1时，f（x）=﹣x+lnx，f′（x）=﹣1+，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，故f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，故f（x）max=f（1）=﹣1；（2）当x≥1时，g（x）≤h（x）恒成立，即为xlnx﹣ax2+（2a﹣1）x≤a﹣1，当x=1时，上式显然成立．当x＞1时，可得a≥，由﹣1=，设g（x）=xlnx﹣（x﹣1）﹣（x﹣1）2（x＞1），g′（x）=1+lnx﹣1﹣2（x﹣1）=lnx﹣2（x﹣1），由g″（x）=﹣2＜0在x＞1恒成立，可得g′（x）在（1，+∞）递减，可得g′（x）＜g′（1）=0，即g（x）在（1，+∞）递减，可得g（x）＜g（1）=0，则＜1成立，即有a≥1．即a的范围是[1，+∞）．【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查不等式成立问题的解法，注意运用参数分离和构造函数法，求得导数判断单调性，考查化简整理的运算能力，属于中档题．20.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲 如图，的角平分线的延长线交它的外接圆于点（Ⅰ）证明：∽△;（Ⅱ）若的面积，求的大小.参考答案：21.已知函数f（x）=（k+）lnx+，其中常数k＞0．（1）讨论f（x）在（0，2）上的单调性；（2）若k∈[4，+∞），曲线y=f（x）上总存在相异两点M（x1，y1），N（x2，y2）使得曲线y=f（x）在M，N两点处切线互相平行，求x1+x2的取值范围．参考答案：考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（1）求导函数，对k分类讨论，利用导数的正负，即可得到f（x）在区间（0，2）上的单调性；（2）利用过M、N点处的切线互相平行，建立方程，结合基本不等式，再求最值，即可求x1+x2的取值范围．解答： 解：（1）∵f′（x）=﹣﹣1=﹣=﹣，（x＞0，k＞0）①当0＜k＜2时，，且＞2，∴x∈（0，k）时，f′（x）＜0，x∈（k，2）时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，k）上是减函数，在（k，2）上是增函数，；②当k=2时，=k=2，f′（x）＜0恒成立，∴f（x）在（0，2）上是减函数，③∴当k＞2时，0＜＜2，k＞，∴x∈（0，）时，f′（x）＜0，x∈（，2）时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，）上是减函数，在（，2）上是增函数；（2）由题意，可得f′（x1）=f′（x2）（x1，x2＞0，且x1≠x2），即﹣1=﹣﹣1，化简得4（x1+x2）=（k+）x1x2，而x1x2＜，4（x1+x2）＜（k+），即x1+x2＞对k∈[4，+∞）恒成立，令g（k）=k+，则g′（k）=1﹣=＞0对k∈[4，+∞）恒成立，∴g（k）≥g（4）=5，∴≤，∴x1+x2＞，故x1+x2的取值范围为（，+∞）点评：本题运用导数可